2022-2023学年江苏省射阳中学高一上学期期末数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年江苏省射阳中学高一上学期期末数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省射阳中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1.已知集合,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】求出,从而得到交集.【详解】,故.故选:C2.命题“,”的否定是( )A., B.,C., D.,【答案】C【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.【详解】解:因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题,命题“,”是全称量词的命题,所以其否定是“,”.故选:C3.已知角的终边经过点,且,则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据点,先表示出该点和原点之间的距离,再根据三角函数的定义列出等式,解方程可得答案.【详解】因为角的终边经过点,则 ,因为,所以 ,且 ,解得 ,故选:B.4.函数在上的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【分析】利用函数的奇偶性可排除利用排除选项即可.【详解】因为,所以函数是偶函数,其图象关于轴对称,排除;又,排除.故选:5.已知,,,则a,b,c的大小关系是( ).A. B. C. D.【答案】B【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质,三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数在上单调递增,而,则,,函数在R上单调递增,而,则,即,所以.故选:B6.如果点位于第四象限,那么角所在的象限是( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【详解】∵点位于第四象限,∴,∴角所在的象限是第二象限.故选B.7.已知实数满足,且,若不等式恒成立,则实数的最大值为( )A.9 B.25 C.16 D.12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知,实数均满足是正数,再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.【详解】由得,又因为,所以实数均是正数,若不等式恒成立,即;,当且仅当时,等号成立;所以,,即实数的最大值为25.故选:B.8.若实数x,y满足,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由已知可得,然后构造函数,,再通过判断函数的单调性可得,然后逐个分析判断即可.【详解】因为,所以,令,则,因为和在上均为增函数,所以在上为增函数,所以,对于AB,因为,所以,所以,所以A正确,B错误,对于CD,因为,所以,所以当时,,当时,,当时,,所以CD错误,故选:A 二、多选题9.德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个x,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄利克雷函数,即:当自变量取有理数时,函数值为1;当自变量取无理数时,函数值为0.以下关于狄利克雷函数的性质正确的有:( )A. B.的值域为 C.为奇函数 D.【答案】ABD【分析】利用狄利克雷函数的性质即得ABD正确;利用函数奇偶性的定义判定C不正确.【详解】由题得,则,所以A正确;容易得的值域为,所以B正确;因为,所以为偶函数,所以C不正确;因为,所以,所以D正确.故选:ABD.10.下列命题为真命题的是( )A.若函数的定义域为,则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件B.若幂函数在上单调递减,则实数或C.利用二分法求方程的近似解,可以取的一个区间是D.若方程在区间上有实数解,则实数a的取值范围为【答案】AD【分析】对于A:根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断;对于B:根据幂函数的定义与性质运算求解;对于C:根据函数单调性结合函数零点分析判断;对于选项D:换元令,利用参变分离分析求解.【详解】对于选项A:若,则函数不一定为奇函数,例如,则,但为偶函数;若函数为奇函数,则,令,可得,可得;所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件,故A正确;对于选项B:若幂函数在上单调递减,则,解得,故B错误;对于选项C:令,可知在定义域内单调递增,当时,则,所以在内无零点,即方程在内无根,故C错误;对于选项D:因为,则,且,令,则,可得,则,所以实数a的取值范围为,故D正确;故选:AD.11.函数的部分图象如图所示,下列结论中正确的是( )A.函数的周期为B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数的单调递增区间为D.函数是偶函数【答案】ACD【分析】由图计算周期,判断选项A,从而得,代入最小值计算出值,得函数的解析式,代入计算判断选项B,利用整体法计算函数的单调递增区间,判断选项C,写出函数的解析式并化简,判断选项D.【详解】由图可知,,解得,故A正确;所以,又因为,所以,得,因为,所以,所以,将代入解析式可得,所以不是函数图象的对称轴,故B错误;由整体法可得,,得,所以函数的单调递增区间为,故C正确;,所以函数是偶函数,故D正确.故选:ACD12.已知函数,若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为,,,,,且,则下列说法正确的有( )A. B.C. D.的取值范围为【答案】BCD【分析】作出在上的图象,由方程有五个互不相等的实数根,结合图象可得 ,从而判断A;由对数的性质可得,从而有,结合基本不等式即可判断B;由题意可得,结合,即可判断C;由余弦函数的对称性可得,,代入得,利用二次函数的性质及不等式的性质可求得的范围,从而判断D.【详解】 作出在上的图象,如图所示:对于A,因为,又因为方程有五个互不相等的实数根,所以,故A错误;对于B,由题意可得,且有所以,所以,当且仅当,即时,等号成立, 故B正确;对于C,由题意可得,由A可知,所以, 故C正确;对于D,由图可知:与关于对称,与关于对称,且,, 所以, 所以因为,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,即, 故D正确.故选:BCD【点睛】关键点睛:这道题的关键是能够准确作出在上的图象,再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性,即可求解问题. 三、填空题13.函数的定义域为 .【答案】【分析】使函数有意义的条件是被开方数大于等于0,分母不为0.【详解】要使函数有意义,则,解得且.故函数的定义域为故答案为:14.已知定义在上的函数满足,当时,,则 .【答案】1【分析】根据函数的周期性求解即可.【详解】因为定义在R上的函数满足,所以函数的周期为,所以.因为当时,,所以.故答案为:1.15.以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为,则该勒洛三角形的面积是 .【答案】【分析】计算出一个弓形的面积,由题意可知,勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成,利用弓形和正三角形的面积可求得结果.【详解】由弧长公式可得,可得,所以,由和线段所围成的弓形的面积为,而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成,因此,该勒洛三角形的面积为.故答案为:.16.对于给定的区间,如果存在一个正的常数,使得都有,且对恒成立,那么称函数为上的“增函数”.已知函数,若函数是上的“3增函数”,则实数的取值范围是 .【答案】【分析】先分析出为偶函数,为奇函数,所以为偶函数,且在R上单调递增,分,与三种情况,结合函数的单调性和对称性,得到实数的取值范围.【详解】设,则定义域为R,且,故为偶函数,定义域为R,且,故为奇函数,所以为偶函数,且在上单调递增,故在R上单调递增,若,则画出的图象如下:即在上单调递减,在上单调递增,由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在单调递减,在上单调递增,因为为偶函数,所以有,满足3增函数,若,画出的图象如下:则在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因为为偶函数,所以只需任取,使得,由对称性可知,存在,使得,且,故满足,故满足3增函数,若时,画出的图象如下:则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因为为偶函数,故只需满足任取,使得,由对称性可知:存在,使得,所以要满足,结合,解得:,综上:实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】复合函数的单调性,先考虑函数的定义域,再拆分为内层函数和外层函数,利用同增异减来判断复合函数的单调性;复合函数的奇偶性,先考虑函数定义域是否关于原点对称,再拆分为内层函数和外层函数,利用“内偶则偶,内奇同外”进行判断,即若内层函数为偶函数,则复合函数为偶函数,若内层函数为奇函数,则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性,若外层函数为奇函数,则复合函数为奇函数,若外层函数为偶函数,则复合函数为偶函数. 四、解答题17.设全集,已知集合,集合.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或(2) 【分析】(1)利用并集和补集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解;(2)根据交集的运算结果得出集合间的包含关系,再利用分类讨论即可求出实数的取值范围【详解】(1)因为当时, 所以所以或(2)因为,所以(ⅰ)当时,则,即(ⅱ)当时,则由,得,所以综上所述:实数的取值范围是18.(1)已知,求的值;(2)计算:.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据诱导公式及弦化切公式得出结果;(2)根据指数幂运算以及对数恒等式、换底公式得出结果.【详解】(1)因为,所以;(2).19.为了研究某种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8,14,26.根据实验数据,用y表示第天的群落单位数量,某研究员提出了两种函数模型:①;②,其中且.(1)根据实验数据,分别求出这两种函数模型的解析式;(2)若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98,请从两个函数模型中选出更合适的一个,并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.【答案】(1)函数模型①,函数模型②(2)函数模型②更合适,从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500 【分析】(1)可通过已知条件给到的数据,分别带入函数模型①和函数模型②,列出方程组求解出参数即可完成求解;(2)将第4天和第5天得到的数据与第(1)问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比,即可做出判断并计算.【详解】(1)对于函数模型①:把及相应y值代入得解得,所以.对于函数模型②:把及相应y值代入得解得,所以.(2)对于模型①,当时,,当时,,故模型①不符合观测数据;对于模型②,当时,,当时,,符合观测数据,所以函数模型②更合适.要使,则,即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.20.已知函数的图象关于点对称.(1)当时,求函数的值域;(2)若将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍(其中),所得图象的解析式为.若函数在有两个零点,求的取值范围.【答案】(1);(2). 【分析】(1)由已知条件可得出关于的等式,结合的取值范围可求得,可得出函数的解析式,由可求得的取值范围,结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域;(2)求得,由可求得,根据题中条件可得出关于的不等式,由此可解得的取值范围.【详解】(1)解:因为函数的图象关于点对称,则,可得,,故,所以,,当时,,则,则.因此,当时,函数的值域为.(2)解:由题可得,,当时,因为,则,因为函数在有两个零点,则,解得.因此,的取值范围是.21.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)函数,若存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)求得的定义域和值域及函数的单调性,得,解不等式即可得到所求范围;(2)求得当时,的值域;以及讨论,时的值域,由题意可得和的值域存在交集,即可得到所求范围;【详解】(1)由,可得,故函数定义域为,关于原点对称,又,即为奇函数.又,函数在上单调递减,值域为.由复合函数的单调性质知在上单调递减,且的值域为R,不等式,转化为,因为为奇函数,所以,因为在上单调递减,所以,即,即,即,解得,则原不等式的解集为.(2)因为存在,使得成立,所以时,的值域与的值域有交集.因为在上是减函数,,所以的值域为,当时,在上单调递减,故的值域为,所以即,当时,在上单调递增,故的值域为,不符.综上所述,实数a的取值范围为.22.已知函数.(1)若,判断函数的奇偶性,并加以证明;(2)若函数在R上是增函数,求实数a的取值范围;(3)若存在实数,使得关于x的方程有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围(写出结论即可,无需论证).【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2);(3). 【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可;(2)根据绝对值的性质,结合二次函数的单调性进行求解即可;(3)根据(2)的结论,运用分类讨论法,根据函数的单调性进行求解即可.【详解】(1)当时,,,所以,所以函数为奇函数;(2),当时,的对称轴为;当时,的对称轴为;所以当时,在R上是增函数,即时,函数在R上是增函数;(3)方程的解即为方程的解.①当时,函数在R上是增函数,关于x的方程不可能有三个不相等的实数根;②当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则当时,关于x的方程有三个不相等的实数根;即,因为,所以.设,因为存在实数,使得关于x的方程有三个不相等的实数根,所以,又可证在上单调递增,所以,故;③当时,即,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则当时,关于x的方程有三个不相等的实数根;即,因为,所以,设,因为存在实数,使得关于x的方程有三个不相等的实数根,所以,而函数在上单调递减,所以,故;综上:.【点睛】关键点睛:根据绝对值的性质,结合二次函数的单调性,运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.
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