2022-2023学年四川省遂宁市安居育才中学校高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年四川省遂宁市安居育才中学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合间的交集运算即可.

【详解】由，，所以.

故选：A.

2．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.

【详解】因为在上为减函数，在上为增函数，

故在上为减函数，

而，，

故的零点在区间中，

故选：D.

3．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】A

【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，的定义域是，，且定义域为，是相同函数，A选项正确.

B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

C选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

故选：A

4．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，

【解析】全称命题与特称命题

5．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据反比例函数的图像及性质得解单调区间.

【详解】因为函数是反比例函数，函数图像为一三象限双曲线，定义域为，

函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和.

故选：A

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项A，D．再通过，排除选项B即得解.

【详解】解：由题可知的定义域为，

，

所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，D．

因为，排除选项B.

故选：C．

7．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．

【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值.

令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得，

所以实数的取值范围是．

故选：C．

8．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围

【详解】作出函数的大致图象如图所示．

由可得．

由图可知，方程有两个不等的实根，

由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．

故选:

二、多选题

9．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.

【详解】若命题:，成立，则，解得，

故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.

故选：AD.

10．已知函数，若，则实数的值可以是（    ）

A．3 B． C．4 D．-4

【答案】BC

【分析】分与两种情况求解的值即可.

【详解】当时，得，解得或（舍去）；当时，得，解得.

故选：BC

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域是

B．函数是R上的增函数，若，则；

C．方程在在区间上有且只有1个实根

D．函数（且）的图象过定点

【答案】BCD

【分析】由二次根式的性质解不等式可判断A错误；由可得或，再由增函数性质可证B正确；结合零点存在定理可判断C正确；由对数函数的性质和平移法则可判断D正确.

【详解】满足，解得，故的定义域是，故A错；

因为是R上的增函数，若，即或，所以，所以，故B正确；

要使，令，在连续，，，，

又当上单调递减，单调递增，所以单调递减，

故方程在在区间上有且只有1个实根，故C正确；

是由向右平移一个单位，向上平移两个单位得到，过，所以的图象过定点，故D项正确.

故选：BCD

12．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（    ）

A． B．是偶函数

C．关于中心对称 D．

【答案】BCD

【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.

【详解】令，则或，故A错误，

若时，令，则，此时是偶函数

若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，

令，则，所以关于中心对称，故C正确，

由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，

令，则，故，

进而，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．对任意实数，函数的图象必过定点           .

【答案】

【分析】根据指数函数图象性质解决即可.

【详解】由题知，函数，，

根据指数函数图象性质恒过定点，

所以令，得，此时，

所以函数的图象必过定点，

故答案为：

14．函数在上是严格减函数，则的取值范围是          .

【答案】

【分析】由于函数在上是严格减函数，所以，且，由此可求得的取值范围.

【详解】根据对数函数定义可知且，

令，所以在上是减函数，

根据复合函数单调性可知，在上是增函数，即，

且满足真数恒大于零，即只需即可，

所以，.

故答案为：

15．若，则的最小值为            ．

【答案】/

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】∵，

∴

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值是．

故答案为：

16．已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为           .

【答案】5

【分析】根据是奇函数,可知关于对称,根据解析式可知,关于对称,根据解析式及对称性在同一坐标系下画出两函数图象,判断交点个数及位置,即可得出方程根之和.

【详解】解:由题知是奇函数,

则有:,

关于对称,且,

当时,,

,

恒过,且关于对称,

方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,

根据对称性及解析式画出图象如下:

由图像可知,有5个交点,其中一个交点横坐标为1,

另外四个,两两分别关于对称,

故五个交点横坐标和为,

即所有根之和5.

故答案为:5

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求，；

(2)若C⊆B，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）利用并集的概念计算出，再计算出，从而计算出；

（2）分与两种情况进行求解.

【详解】（1），

∵，

∴或，

∴；

（2）①当时，满足C⊆B，此时，得；

②当时，要想C⊆B，则，解得：，

由①②，得.

∴a的取值范围是.

18．（1）若，求的值；

（2）求值：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据指数的运算可得答案；

（2）根据对数的运算可得答案

【详解】（1）

；

（2）原式

.

19．设为常数，函数．

(1)若，解不等式：；

(2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)直接由定义域和单调性结合对数不等式和分式不等式的求法即可求解；

(2)根据题意结合奇偶性的定义分和两种情况分别讨论即可.

【详解】（1）因为，所以，

要使函数有意义则即，解得或，

由得，即，

则有，所以，解得，

故原不等式的解集为.

（2）当时，，

要使函数有意义，则，即，即或，

此时函数的定义域为关于原点对称，

且，

所以此时函数为奇函数，

当且时，要使函数有意义，则，即，

即或，

此时函数的定义域为不关于原点对称，

所以此时函数为非奇非偶函数.

20．《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议月日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本万元经计算若年产量千件低于千件，则这千件产品成本若年产量千件不低于千件时，则这千件产品成本每千件产品售价为万元，设该企业生产的产品能全部售完．

(1)写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大最大利润是多少

【答案】(1)

(2)当该企业年产量为千件时，所获得利润最大，最大利润是万元．

【分析】（1）根据题意列解析式

（2）根据二次函数，和基本不等式求最值

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以．

（2）当时，，

当时，取得最大值，

当时，，

当且仅当，即时取等号，而，所以当该企业年产量为千件时，所获得利润最大，最大利润是万元．

21．已知是定义在上的奇函数，且.

(1)若，求的值；

(2)对任意的，，，恒有，解关于的不等式.

【答案】(1)0；

(2).

【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可得解；

（2）由可推出函数单调递减，可得单调递减，不等式可转化为，利用单调性求解即可.

【详解】（1）因为是奇函数，所以，

则，

因为，所以；

（2）不妨设，则，

又因为，

所以，

则在上单调递增，

所以在上单调递增；

因为，

所以，

所以，

又因为为奇函数，所以，

又因为在上单调递增，所以

，

则不等式的解集为.

22．函数，，记，且为偶函数.

(1)求常数的值；

(2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数的值；

（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，利用换元法和基本不等式求出的最大值，即可得实数的取值范围；

（3）将函数与的图象有且只有一个公共点，转化为仅有一解，设，依题意只有一个正实根，分类讨论a的不同情况，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，，，

为偶函数，，

即，

，

，，

.

（2）由（1）得，

条件，即：，

，

设，

令，

当且仅当，即时等式成立，

，

即；

（3）依题意：，即仅有一解，

则

即，故

设，依题意只有一个正实根.

当时，，

（舍）

当时，方程有一正根，一负根，

由，得.

当时，方程有两个相等的正根.

由，得，

即，

其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是

【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.