2022-2023学年浙江省台州市八校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年浙江省台州市八校联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合基本运算中交集定义即可求得结果.

【详解】根据交集定义以及，可得.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：D

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式可求得函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得，

因此，函数的定义域为.

故选：A.

4．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据解一元二次方程的解法，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】,或，，

显然由不一定能推出，但是由一定能推出，

因此“”是“”的必要而不充分条件，

故选：B

5．若，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】运用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

6．若不等式对一切实数都成立，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式对一切实数都成立分为和两种情况进行分类讨论即可求得结果.

【详解】因为不等式对一切实数都成立，

所以当时，不等式对一切实数都成立，满足题意；

当时，显然时，二次函数开口向上，

不等式对一切实数不恒成立，不满足题意；

所以，且，解得；

综上可知的范围是；

故选：C

7．已知，，则（    ）

A．3 B．1 C．-1 D．-5

【答案】B

【分析】构造，得到为奇函数，求出，进而得到，求出.

【详解】设，定义域为，

则，

故为奇函数，

又，则，

所以.

故选：B

8．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】先令，解得，再令，求出.

【详解】当时，，解得，负值舍去，

当时，，解得，不合要求，舍去，

令，

当时，，解得，负值舍去，

当时，，解得，不合要求，舍去，

综上：.

故选：A

二、多选题

9．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】BD

【分析】A选项，两函数对应法则不一致；BD选项，两函数定义域和对应法则均相同；C选项，两函数定义域不相同.

【详解】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误；

B选项，，，故两函数为同一函数，B正确；

C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误；

D选项，的定义域为，且，

的定义域为，且，

故两函数是同一函数，D正确.

故选：BD

10．已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用不等式性质可知A正确，D错误；利用作差法然后进行因式分解即可知B错误，C正确.

【详解】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；

对于B，易知，又，若时，；若时，；若时，；

所以并不一定成立，即B错误；

对于C，由可知，当时，，，所以，即C正确；

对于D，当时，由不等式性质易知时，，即D错误；

故选：AC

11．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A． B．

C． D．不等式的解集为

【答案】AB

【分析】利用一元二次不等式的解集性质可知，且和是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解.

【详解】对于A，由关于的不等式的解集为可得，故A正确；

对于B，易知和是方程的两个不等实根，所以，又，所以，即B正确；

对于C，令，显然，所以不满足，

将代入可得，即，所以C错误；

对于D，由AB分析可知，即，又，

所以不等式可化为，也即，解得，

因此不等式的解集为，即D错误；

故选：AB

12．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BC

【分析】根据题目条件得到函数在R上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，求出，得到答案.

【详解】因为，所以在R上单调递减，

则要满足，解得，故.

故选：BC

三、填空题

13．已知，，判断a，b大小关系      .（填“>、=、<”）

【答案】

【分析】运用估算法进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，

所以，

故答案为：

14．已知是奇函数，且其定义域为，则的值为      .

【答案】

【分析】根据奇函数的性质进行求解即可,

【详解】因为该函数是奇函数，

所以，

此时，显然为奇函数，

故答案为：

15．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为      .

【答案】（或）

【详解】根据题意可知，当时，，则，

又函数是定义在上的偶函数，所以，

因此当时，，所以的解析式为.

故答案为：

16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为      .

【答案】

【分析】首先设的对称中心为，根据函数为奇函数可得，构造方程组即可解得.

【详解】根据题意，设的对称中心为，

则由函数为奇函数可得，

变形可得，即；

整理可得，所以；

解得，所以其对称中心为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，.

(1)已知，求集合；

(2)已知，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.

【详解】（1）当时，可得集合，

集合

根据集合的运算，可得；

（2）由，可得

集合，

可得，解得.

18．（1）已知，，求的取值范围；

（2）已知正数x，y满足.

（i）求的最大值；

（ii）求的最小值.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）4

【分析】（1）根据不等式的基本性质进行求解；

（2）（i）由基本不等式得到，求出；

（ii）利用基本不等式“1”的妙用进行求解.

【详解】（1）由，得，

又，得；

（2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得，

解得（当且仅当时取等号），

所以的最大值；

（ii）

当且仅当时，即取等号，

故的最小值为4.

19．已知函数，.

(1)判断该函数的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数在上的单调性，并证明.

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)函数在上是增函数，证明见解析

【分析】（1）根据题意可求得函数的解析式及其定义域，利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数；

（2）利用函数单调性定义，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明.

【详解】（1）由可得，所以

易知定义域为关于原点对称，

且满足

所以为奇函数；

（2）函数在上是增函数，理由如下

取，且，则

由，且，所以，

因此可得，即，

即在上是增函数.

20．已知函数，，，

(1)画出函数，的图象；

(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象；

（2）先根据（1）中两函数图象得到的图象，再写出的解析式.

【详解】（1）与的图象如下，

（2）图象法表示，如图，

解析法表示函数.

21．第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆.主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为30年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是5万元，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式:（，为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元. 30年的总维修费用为30万元.记为30年的总费用.（总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用30年的总维修费用）

(1)求的表达式；

(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值.

【答案】(1)

(2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元.

【分析】（1）依题意可得，由每年的能源消耗费用，每厘米隔热层建造成本，以及维修费用总和即可求得；

（2）根据的表达式利用基本不等式即可求得其最小值，验证等号成立可得时最小值为85万元.

【详解】（1）依题意，当，，即，可得，

故，

所以，

即的表达式为；

（2）

，

当且仅当，即当时取得最小值，

所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元.

22．已知二次函数.

(1)若在区间上不单调，求实数的取值范围；

(2)求函数在区间上的最小值；

(3)在（2）的条件下，恒成立，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）配方后，由函数在区间上不单调性得到不等式，求出实数的取值范围；

（2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值；

（3）法一：在（2）基础上得到，参变分离后得到，由基本不等式求出的最大值，从而求出的最小值；

法二：在（2）基础上得到，先得到，再根据对称轴分和两种情况，结合函数单调性得到的最小值.

【详解】（1），

要使函数在区间上不单调，

则，且，

解得:，

实数的取值范围是；

（2）由（1）知，

所以函数图象开口向上，对称轴方程为，

当即时，函数在区间上单调递增，

故当时，取得最小值，最小值为；

当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故当时，的最小值；

当时，函数在区间上单调递减，

当时，取得最小值，最小值为

综上所述，；

（3）法一：由，易知，

∵恒成立，

∴，

∵，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，

∴的最小值为.

法二：由，易知，

∵恒成立，

∴，

当，即时，令，此时在上单调递增，

只需，解得，

当，即时，此时，不合要求，舍去，

综上，

∴的最小值为.