2022-2023学年江西省南昌市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省南昌市高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式即可得集合，再根据交集运算即可.【详解】因为，解得，所以得，所以.故选：C.2．命题“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为（    ）A．存在两个相同的无理数，使得是有理数B．存在两个相同的有理数，使得是有理数C．任意两个不同的无理数，都有是无理数D．任意两个不同的无理数，都有是有理数【答案】D【分析】根据特称命题的否定直接书写命题即可.【详解】“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为“任意两个不同的无理数，都有是有理数”，故选：D.3．若函数为奇函数，则实数（    ）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义列方程求解即可【详解】因为为奇函数，所以，得，因为，所以，故选：A.4．成立的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解.【详解】对于A，由题可知成立的充要条件是，当时，能得出，而成立，不能得出，故是的充分不必要条件，故A错误；对于B，是的充分必要条件，故B错误；对于C，当时，不能得出，而时，不能推出，故是的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，当时，不能得出，而时，能推出，故是的必要不充分条件，故D正确；故选：D.5．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据指数函数的性质即可得的大小关系.【详解】解：，因为，所以，因此.故选：B.6．网贷因高利息和多套路，令人深恶痛绝.某平台的还款金额（单位：元）与贷款时长（单位：月）满足的函数关系式为，某人在该平台贷款若干，若贷款2个月需还1200元，贷款5个月需还1500元，则贷款11个月大约需还（    ）A．2078元 B．2100元 C．2344元 D．2432元【答案】C【分析】根据条件得到方程组，求出，进而计算出答案.【详解】由题意得，，则，故贷款11个月大约需还元.故选：C.7．函数的大致图象为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】根据函数奇偶性，取值情况即可判断图象.【详解】因为函数定义域为，则，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除；又当时，，所以，排除.故选：.8．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：  ①对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个；②函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；③函数可以是某个圆的“太极函数”；④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.其中正确的命题为（    ）A．①② B．①②④ C．②③ D．①④【答案】A【分析】直接利用定义性函数中的信息对①②③④的结论进行判断．【详解】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆心为原点的圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心为原点的圆的“太极函数”，故②正确；不存在圆可以让的图象将其周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”，故③错误；函数的图象是中心对称图形，但不是“太极函数”，反之，如图，  函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故④错误，故选：A. 二、多选题9．已知，则下列不等式中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由判断AD；由不等式的性质判断B；由指数函数的单调性判断C.【详解】取，则，，所以选项AD错误；因为，所以，故选项B正确；因为函数单调递增，所以，故选项C正确.故选：BC.10．已知集合，则下列选项中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据已知集合逐个分析判断【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：ACD11．已知，则下列式子的值为整数的是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据指数幂的运算逐项判断即可.【详解】因为所以.故选：BD.12．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于AB，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可，对于CD，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可.【详解】对于AB，因为，所以，又为偶函数，则，因为在上单调递减，所以，从而，因此选项A正确，B错误；对于CD，因为，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递减，所以，所以，所以选项C正确，D错误，故选：AC. 三、填空题13．函数的定义域是  ．【答案】【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.【详解】由，得，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.14．已知函数，则          .【答案】【分析】由解析式求值即可.【详解】因为，所以.故答案为：15．已知函数在上的最大值是3，则实数的值是          .【答案】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值.【详解】函数的对称轴为直线，因为当时，，得；当时，，得，综上，实数的值是.故答案为：.16．若，则的最小值为          .【答案】4【分析】根据基本不等式分析计算【详解】因为，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：4 四、解答题17．某商店购进一批科学计算器，若按每个45元的价格销售，每天能售出30个，若每个售价每降低1元，日销售量则增加2个，设每个售价降低元，这批科学计算器每天的总销售额为元.(1)写出关于的函数关系式；(2)为了使这批科学计算器每天的总销售额不低于1750元，求每个售价最低为多少元？【答案】(1)，，且(2)25 【分析】（1）由题意可得每个售价为元时，销售量为个，即可得，及定义域；（2）由解得，从而得，即可得每个售价的最低价．【详解】（1）由题意知，当每个售价降低元即每个售价为元时，销售量为个，所以这批科学计算器每天的总销售额为定义域为，且.（2）为了使这批科学计算器每天的总销售额不低于1750元，所以，即，化简得，解得，所以，所以，所以每个售价最低为25元.18．已知函数，__________.从以下三个条件中，选择合适的两个条件补充在横线上，并解答下列问题.①；②；③.(1)求的解析式；(2)用定义法证明在上单调递增.注：若选择多种组合分别求解，按第一个解答计分.【答案】(1)选①②或②③，(2)证明见解析 【分析】（1）首先应该判断①和③两个条件是等价的，之后通过所选条件列发挥工程组即可解决；（2）通过取值、作差、变形、判断符号，即可利用定义法证明函数的单调性.【详解】（1）易知与是等价条件，故选①②或③②填入横线上.方案一：选择条件①②由得，①由得，②联立①②解得，，从而的解析式为.方案二：选择条件②③由得，①由得，②联立①②解得，，从而的解析式为（2）证明：任取，不妨设，因为，所以从而，即因此在上单调递增.19．已知函数，不等式的解集为.(1)求；(2)当时，求函数的最值.【答案】(1)(2)最大值3，最小值. 【分析】（1）由题意可得方程的两根为然后根据根与系数的关系可求出；（2）再根据二次函数的性质可求出函数的最值.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以方程的两根为从而由韦达定理得，解得.（2）函数.令所以当，即时，函数取得最小值，当，即时，函数取得最大值3.20．已知函数为减函数，实数的取值集合为.(1)求集合；(2)集合，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据单调性列出不等式，得出集合；（2）由得，，讨论，结合包含关系得出实数的取值范围.【详解】（1）因为函数为减函数，则在上单调递减，所以，解得又在上单调递减，所以.又，解得，综上，，则.（2）由得，，不等式可化为，进一步得，当时，，不满足当时，，不满足当时，，因为，所以，解得.综上，实数的取值范围是.21．已知函数.(1)若，求的最小值；(2)若对任意的都有，设，求证：为偶函数.【答案】(1)9(2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）根据条件求出、的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义证明即可.【详解】（1）由，得，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.（2）由得：化简得所以，解得.又，得，所以，从而，所以，，又，所以为偶函数.22．已知定义在上的偶函数和奇函数，满足.(1)求的值域；(2)记，求证：对任意的实数、，均存在以、、为三边边长的三角形.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式，化简可得出，可得出，由可得出关于的不等式，即可解得函数的值域；（2）求出函数的值域，结合不等式的基本性质以及三角形三边关系可证得结论成立.【详解】（1）解：由得，，因为为偶函数，为奇函数，所以，①又，②，由①②解得，，设，则，因为，所以，解得，所以的值域为.（2）证明：由（1）知，所以，，从而，，则，又，所以，从而对任意的实数、，均存在以、、为三边边长的三角形.