2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：由得韦恩图：

或

对于①，等价于，故①正确；

对于②，等价于，故②不正确；

对于③，等价于，故③正确；

对于④，与A、B是全集的真子集相矛盾，故④不正确；

对于⑤，是的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，

所以与命题等价的有①③，共2个，

故选：B.

2．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ）

A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④

【答案】D

【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.

【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合，故正确，即②正确；

对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；

对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；

对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；

对⑥：显然成立，因此⑥正确．

综上，本题不正确的有③④，

故选：D

3．下列说法正确的是

A．0与的意义相同 B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合

C．集合是有限集 D．方程的解集只有一个元素

【答案】D

【详解】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D．

4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得到，建立不等式，即可求出的取值范围．

【详解】解：，，且

所以，当时，解得；

当时，

解得

故选：B

【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．

5．若全集，，，则集合等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断．

【详解】因为全集，，，

因为，，，，

，，

则集合 ，

故A、B、C错误，D正确.

故选：D．

6．设，若关于的不等式在上有解，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.

【详解】由在上有解，得在上有解，

则，由于，而在单调递增，

故当时，取最大值为，故，

故选：C

7．已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据韦达定理可求另外一根．

【详解】设另一根为x，由韦达定理可知，，

即，

故选：A．

8．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．

【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；

对于B，，定义域不同，故不为同一函数；

对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：

对于D，，定义域不同，故不为同函数．

故选：C．

9．已知函数则等于（     ）

A．4 B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.

【详解】因为函数

所以，

所以，

故选：D

10．设，，，则下列说法错误的是（    ）

A．ab的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为9 D．的最小值为

【答案】D

【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确.

【详解】因为，，，

则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；

因为，

故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；

，

当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；

，

故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．

故选：D．

11．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果.

【详解】分两种情况讨论：

（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，

从而可以求得，

（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，

可求得，

所以，

从而可选出正确的图象，

故选A.

【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于 中档题目.

二、填空题

12．方程的解集为，方程的解集为，已知，则               ．

【答案】

【详解】由，将代入得解得

则方程可以化简为，，

方程可以化简为，，

所以

13．若时，的最大值是            .

【答案】-7

【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案.

【详解】.

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：

14．若，则关于的不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解．

【详解】，，则，

，

或．

故答案为：．

15．函数的最小值为            ．

【答案】

【分析】将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。

【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。

三、解答题

16．设全集，集合，.

（1）求及；

（2）求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；

（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.

【详解】解：（1）因为，，

所以，

（2）因为，所以，

所以.

17．已知命题：和命题：

（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由一元二次不等式可得命题：，命题：，即可得解；

（2）由命题间的关系转化条件为，即可得解.

【详解】不等式即，解得，

不等式即，解得，

则命题：，命题：，

（1）当时，命题：，命题：，

若和都是真命题，则；

（2）因为是的充分不必要条件，所以，

所以且等号不同时成立，解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知函数．

（1）根据定义证明在上为增函数；

（2）若对，恒有，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；

（2）由（1）得到在是增函数，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解.

【详解】（1）任取，，且，

则

因为，所以且，所以．

即，即．

所以在上是增函数．

（2）由（1）可得函数在是增函数，所以．

所以，解得，所以取值范围是．

19．比较大小.

（1）比较与的大小；

（2），，比较与的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系；

（2）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系.

【详解】（1）因为，

又，

所以，

所以；

（2）因为，

又，，

所以，

所以.

20．已知非空集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；

（2）转化为集合间关系后列式求解.

【详解】（1）当时，，，

则或,

；

（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，

所以且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是.

21．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2，3）；（2）（1，2]．

【分析】先由p、q分别解出对应的不等式：

（1）若a＝1，且p∧q为真，取交集，求出x的范围；

（2）由p是q的必要不充分条件，得到两个解集的包含关系，求出a的范围.

【详解】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．

命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．

（1）a＝1时，p：1＜x＜3．

p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．

实数x的取值范围是（2，3）．

（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，又a＞0，解得1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]．

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．