2022-2023学年江苏省徐州市沛县高一下学期第二次学情调研数学试题含答案

2022-2023学年江苏省徐州市沛县高一下学期第二次学情调研数学试题

一、单选题

1．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．，则 B．，则

C．，则 D．，则

【答案】D

【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答.

【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，

显然满足，而，此时不成立，A错误；

对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，

显然满足，而，此时不成立，B错误；

对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，

显然满足，而，此时不成立，C错误；

对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.

故选：D

2．为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（    ）

A．180 B．90 C．18 D．9

【答案】C

【分析】根据分层抽样的定义即可得解.

【详解】该市中型企业和大型企业的家数比为，

由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是.

故选：C.

3．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如果一个半球的半径为3，那么这个半球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意代入球的表面积计算公式即可求解.

【详解】设半球的半径为，则，所以这个半球的表面积，

故选：C.

4．如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（    ）

A． B． C．24 D．48

【答案】D

【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可.

【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，

其面积为.

故选：D.

5．已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】解：因为，，，

所以，

，

所以，

故选：C.

6．卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点为的中点，则，所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】找出的平行线且与相交，并以此构造一个三角形，再根据几何关系求出三角形的三边，最后用余弦定理即可求解出，所成角的余弦值.

【详解】如图设点F为AB中点，连接EF，设，则，

在中，根据余弦定理可知：

即，

解得，，，

根据余弦定理可知，

因为，所以为，所成角的余弦值.

故选：C.

7．在中，CD为角C的平分线，若，，则等于（   ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在中利用正弦定理可得，化简计算可得答案

【详解】因为为角的平分线，所以

因为，所以

所以不妨设，

因为在中，，

所以

因为在中，，

所以

所以.

故选：C

8．如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解.

【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，

又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，

故选：B

二、多选题

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则z在复平面内对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆

【答案】AD

【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.

【详解】A. ，故A正确；

B.虚数不能比较大小，故B错误；

C. ，则z在复平面内对应的点为，在第三象限，故C错误；

D.根据复数模的几何意义，可知D正确.

故选：AD

10．如图，正方体中，，点Q为的中点，点N为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．与为异面直线 B．

C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积为

【答案】AB

【分析】对A，直接观察判断即可；对B，根据平面判断即可；对C，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D，利用等体积法求解即可.

【详解】对A，由图可得，共面，且不在平面内，则与为异面直线,故A正确；

对B，由正方体性质可得平面，又平面，故,故B正确；

对C，由平面可得直线与平面所成角为，

又，则，

故，故，故C错误；

对D，，故D错误.

故选：AB

11．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥，如果于点，，，下列说法正确的是（    ）

A．是等腰直角三角形 B．平面平面

C．平面 D．到，，，距离均相等

【答案】AB

【分析】依题意可得且，即可判断A，由，，即可证明平面，即可判断B，过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再利用反例说明C、D.

【详解】因为且，所以与均为等腰直角三角形，且，

所以，且，则，所以是等腰直角三角形，故A正确；

因为，，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故B正确；

过点作于点，因为平面平面，平面，

所以平面，

若，则不为点，此时平面不成立，故C错误；

设点到，，，的距离分别为、、、，

若到，，，距离均相等，则，

则，故点为与的角平分线的交点，当时不在的平分线上，故D错误.

故选：AB

12．如图，在四边形中，，，，.下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥.折法①：将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②；将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2.下列说法正确的是（      ）

A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为

B．按照折法①，存在满足

C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为

D．按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为

【答案】AC

【分析】利用翻折的性质，结合空间几何体的结构性质，推理计算，依次判断选项即可.

【详解】A：由题意，，，

则AC的中点O到A，B，C，D的距离相等，故O为棱锥外接球的球心，

AC为直径，所以外接球的半径为2，所以该外接球的表面积为，故A正确；

B：若，且，，平面，

则平面，,这与矛盾，

所以不存在满足，故B错误；

C：当三棱锥的体积最大时，平面平面，

由已知可得为等边三角形，易求点到平面的距离为1，

所以，故C正确；

D：当时，，又平面，

所以平面，则即为BC与平面所成角，

由，根据勾股定理得，

在中，，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．    .

【答案】/0.125

【分析】根据三角函数诱导公式以及正弦二倍角公式求得结果.

【详解】.

故答案为：.

14．圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是      .

【答案】

【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.

【详解】由图可得，圆台的高为，

故圆台的体积为.

故答案为：

15．如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是        .

【答案】

【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长.

【详解】为中点，连接，

正方体中，，，则四边形为平行四边形，

有，，

为中点，是的中点，则，得，

则平面截正方体所得的截面图形为梯形，

其中，，，

则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是

故答案为：

16．如图，已知，，是圆柱的三条母线，为底面圆的直径，且，则三棱锥的体积最大值为        .

【答案】18

【分析】连接,结合圆柱特征可设，可得，利用基本不等式可得，进而利用等体积法表示出三棱锥的体积，即可求得答案.

【详解】连接,,故四边形为平行四边形，

则,设，则，

∴，即，当且仅当时取等号，

由于为底面圆的直径，则,

而平面平面,故,

平面，故平面；

由平面平面,故,即,

∴三棱锥的体积为，

即三棱锥的体积最大值为18，

故答案为：18.

四、解答题

17．已知向量．

(1)若，求的值；

(2)若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由向量加减运算的坐标表示分别求出和，再根据向量平行列出方程得出的值；

（2）根据向量与的夹角为锐角得出且不共线，列出不等式，即可求出实数的取值范围．

【详解】（1）由已知得，，

因为，

所以，解得，

故的值为．

（2）当时，，

因为与的夹角为锐角，

所以且与不共线，

当与共线时，，故与的夹角为锐角时，

由得，，解得,

所以实数的取值范围是．

18．六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示.

(1)求该六角螺帽的体积；

(2)求该六角螺帽的表面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可.

（2）根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案.

【详解】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，

，

（2）六角螺帽的表面积：

.

19．如图四边形ABCD是矩形，平面BCE，，点F为线段BE的中点.

(1)求证：平面ABE；

(2)求证：平面ACF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；

（2）连接交于点，连接，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得答案.

【详解】（1）因为平面BCE，平面BCE，所以，

因为，，平面，

所以平面ABE；

（2）  

连接交于点，连接，所以点为中点，

因为点F为线段BE的中点，所以，因为平面，平面，

所以平面.

20．记的内角的对边分别为，已知.

(1)求角的大小；

(2)若是锐角三角形，且，求外接圆面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意和正弦定理化简得到，结合两角和的余弦公式，求得，进而求得的值；

（2）由（1）结合题意，求得，得到，结合正弦定理求得，利用圆的面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得，

因为，可得，所以，

即，即，

又因为，所以，所以.

（2）解：由，可得，即

因为为锐角三角形，所以且，

解得，所以，

设的外接圆的半径为，因为，由正弦定理得，

可得，所以外接圆的面积，

所以外接圆的面积的取值范围为.

21．如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为1，延长直径到点，使得，分别过点作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.

(1)证明：平面平面；

(2)点到平面的距离为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得．

（2）利用等体积法求点到平面的距离为.

【详解】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，

所以平面，则，且，

又平面

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为，，，

所以，

又，，

所以，

所以，

所以，且的面积为，

因为，

所以，

所以为等腰三角形，其底边上的高为，

所以的面积为，

因为，

所以

所以.

22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．

(1)求证：平面平面；

(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；

（2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知，根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果.

【详解】（1）为中点，，，，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

分别为中点，，

平面，平面，平面；

，平面，平面平面.

（2）平面平面，平面平面，平面，，

平面，即为直线与平面所成角，即；

设，则，

平面，平面，，；

，，平面，平面，平面平面，

即为二面角的平面角，

，，，

即二面角的大小为.