2022-2023学年广东省佛山市三水区三水中学高一下学期第一次统测数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市三水区三水中学高一下学期第一次统测数学试题

一、单选题

1．已知则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意可知，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】因为，解得，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．下列函数中最小正周期为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依次计算4个选项的周期即可.

【详解】对于A，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，正确；

对于B，的最小正周期为，错误；

对于C，的最小正周期为，错误；

对于D，最小正周期为，错误.

故选：A.

3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．

【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，

所以，

则．

故选：B．

4．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式，计算求得的值．

【详解】，，

平方相加可得，

求得，即．

故选：C．

5．函数的定义域是

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由知，解得，故选B．

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求.

【详解】由，即，

又.

故选：D

7．曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为,,,,,…,则等于

A． B．2 C．3 D．

【答案】B

【详解】曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标转化为根，解简单三角方程可得对应的横坐标分别为，，故选B.

【思路点睛】本题主要考查三角函数的图象以及简单的三角方程，属于中档题.解答本题的关键是将曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标转化为根，可得 或，令 取特殊值即可求得，从而可得.

8．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（    ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.

【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.

故选：C

二、多选题

9．给出下列四个命题，其中是真命题的为（　　）

A．如果是第一或第四象限角，那么

B．若为第二象限角，则为第一象限角

C．终边在轴上的角的集合为

D．正切函数图象的对称中心为

【答案】AC

【分析】由象限角的定义判断AB，由终边相同角的定义判断C，由正切函数的图象判断D．

【详解】对于A，如果是第一或第四象限角，那么，故A正确；

对于B，若为第二象限角，则，

所以，即为第一或第三象限角，故B错误；

对于C，终边在轴上的角的集合为，故C正确；

对于D，正切函数图象的对称中心为，故D错误．

故选：AC．

10．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度

B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来

【答案】AC

【分析】根据函数图象的变换法则，从两种方式：先平移后伸缩，先伸缩后平移，进行考虑，即可．

【详解】对于A和B，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其向左平移个单位长度，得到，故A正确，B错误；

对于C和D，将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C正确，D错误．

故选：AC．

11．已知函数（其中，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于点中心对称

B．在区间上单调递增

C．的图象关于直线对称

D．

【答案】BCD

【详解】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图像和性质，得出结论．

【解答】解：根据函数（其中，，的部分图像，

可得，，则；

再根据五点法作图，可得，

，故D正确；

则，

令，求得，可得的图像不关于点中心对称，故A错误；

在区间上，，函数单调递增，故B正确；

令，求得，是最小值，可得的图像关于直线对称，故C正确；

故选：BCD．

12．定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是的“原形函数”．下列函数是的“原形函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据“原形函数”的定义逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】解：由知，将的图象向右移动1个单位可得到的图象，故选项A正确；

由知，将的图象向右移动个单位可得到的图象，故选项B正确；

由知，将的图象向下移动个单位可得到的图象，故选项C不正确；

由知，将的图象向右移动个单位可得到的图象，故选项D正确．

故选ABD．

三、填空题

13．求值：          .

【答案】

【分析】利用诱导公式，将所求的式子的角化为，再由同角间的三角函数关系，即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

14．若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的      .

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.

【详解】因为点与点关于轴对称，则，

因此，解得，取.

故答案为：

15．函数的值域为           ．

【答案】

【分析】设，得出，，用表示，从而求出的值域．

【详解】设，则，且，

所以，

所以，

所以可化为，，

当时，取得最小值0，当时，取得最大值2，

所以的值域为，即的值域为．

故答案为：．

16．设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为   ．

【答案】20

【分析】由已知，根据题意，先判断函数的奇偶性，以及根据得到函数关于直线对称，可通过画出函数与函数的图像，来观察其在区间的零点情况，然后根据两函数交点的对称情况，求出零点之和，结合周期性，得到在区间的零点之和，最后相加即可．

【详解】由已知，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，

由可知，函数的图像的对称轴为，

，即，则函数的周期为2，

由于函数与函数均关于直线对称，

不妨先看在区间上函数的零点之和，

只需求函数与函数的交点，如图所示：

可知函数与函数在区间上有，，，，共5个交点，

其中和都是关于直线对称，而点则是两函数与的交点，

所以在区间上所有零点的和为，

因为函数的周期为2，

故在区间上函数的零点也是5个，可以看成在区间上所有零点向右平移2个单位，

故在区间上函数的零点之和，

则函数在区间上的所有零点的和为．

故答案为：20．

四、解答题

17．已知．

(1)若角的终边过点，求；

(2)若，分别求和的值．

【答案】(1)

(2)3；

【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式以及任意角的三角函数的定义即可求解；

（2）由题意可求，进而利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．

【详解】（1），

若角的终边过点，则，

则；

（2）若，可得，所以，

所以，

．

18．已知函数．

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；

(2)求的单调递增区间．

【答案】(1)答案见解析

(2)，．

【分析】（1）分别令，，，，，列表描点连线可得函数图像；

（2）将表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．

【详解】（1）分别令，，，，，可得：

画出在一个周期的图像如图所示：

（2），

若求单调递增区间，需满足，，

，，

则的单调递增区间为，．

19．（1）已知，，，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由已知结合同角基本关系及和差角公式先求出，进而可求；

（2）由已知结合同角平方关系可求，然后结合二倍角公式及和差角公式即可求解．

【详解】（1）因为，，所以，

因为，，

所以，，

，所以；

（2）因为，，

两边平方得，所以，

所以，

则，

与已知联立得，故，

.

20．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和在区间上的值域；

(2)若，函数在区间上单调递增，求的值．

【答案】(1)最小正周期为，值域为

(2)4

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，从而求得其最小正周期，再利用正弦函数的图像性质即可求得在上的值域；

（2）先利用正弦函数的单调性得到，从而得到，再由推得，从而得到，由此得解.

【详解】（1）因为，

所以函数的最小正周期为，

因为，所以，

所以.

（2）因为，

又，所以，

因为在区间上单调递增，

又在递增，

所以，

即，解得，

又，所以，解得，

所以，此时，故正整数的值为4．

21．如图，在正方形ABCD中，M，N分别为BC，CD上的动点，其中∠MAB＝＞0，∠MAN＝＞0，∠NAD＝＞0．

(1)若M为BC的中点，DN＝DC，求

(2)求证：＋＋＝1．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得及，又，即可得；

（2）由，整理后可证明结论.

【详解】（1）由题意得，，

故，由题可得均为锐角，则.

又，则；

（2）证明：因，则，

故，

即，则，

故．

22．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100，最低点距离地面10，摩天轮上均匀设置了依次标号为1~36号的36个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t后距离地面的高度为H，转一周需要30.

(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；

(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.

【答案】(1)

(2)最大高度差45m.

【分析】(1)利用正弦函数的图象性质求解；

(2)利用三角恒等变换公式表示得即可求解.

【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，

以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，

设，

因为摩天轮最高点距离地面100，最低点距离地面10，

所以解得,

根据转一周需要30可得，所以，

时，游客位于点，

所以，即，

因为以为终边的角为，所以，

所以.

（2）如图，甲乙两人的位置用表示，，

经过后，甲距离地面高度

点相对于落后，所以乙距离地面高度

所以高度差为

因为

，

所以

所以当或，

即当或时，两人高度差最大，最大值为m.