2022-2023学年山东省青岛第三中学高一下学期第一学段数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省青岛第三中学高一下学期第一学段数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛第三中学高一下学期第一学段数学试题 一、单选题1．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的定义即可得出答案.【详解】因为，所以，故复数的虚部为.故选：A.2．等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算即可.【详解】.故选：C.3．已知，是不共线的向量，且，，，则（    ）A．B，C，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．A，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线【答案】C【分析】利用平面向量共线向量定理求解.【详解】因为，所以，，，若B，C，D三点共线，则，即，无解，故A错误；若A，B，C三点共线，则，即，无解，故B错误；若A，C，D三点共线，则，即，解得，故C正确；若A，B，D三点共线，则，即，无解，故D错误.故选：C.4．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知变换过程反过来结合三角函数的平移变换、相位变换可得．【详解】象上各点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得图象的解析式为，再把图象向右平移个单位得图象解析式为，故选：C．5．在中，若，则的形状是（      ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，所以.因为，所以.又因为，所以，为直角三角形.故选：B6．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度.【详解】在图2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面积为，高为2，∴四棱柱的体积为，设图1中容器内水面高度为h，则V，解得h.∴图1中容器内水面的高度是.故选：D.7．一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据题意可得周期，由可得，由最值可得A，然后可得答案.【详解】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，函数周期，所以由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以，得.故选：A8．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】AD【分析】利用平面图形和直观图的定义的应用判断AC；利用棱柱的定义判断B；利用棱锥的定义判断D.【详解】对于A，在斜二测画法中，平行的线段在直观图中仍然平行，故A正确；对于B，长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，故B错误；对于C，水平摆放正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中邻边变成了原来的2倍关系，故C错误；对于D，正棱锥底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，故D正确；故选：AD10．已知复数，（其中是虚数单位），则下列命题中正确的是（    ）A．是纯虚数 B．在复平面上对应点在第二象限C． D．的共轭复数是【答案】AC【分析】利用纯虚数的定义判断A；利用复数的减法运算及几何意义可判断B；利用复数的乘法运算及复数模长公式判断C；利用共轭复数的定义判断D.【详解】对于A，是纯虚数，故A正确；对于B，，在复平面上对应点在第四象限，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，的共轭复数是，故D错误；故选：AC11．已知向量，，，则（    ）A． B．C．与夹角的余弦值为 D．在上的投影向量坐标为【答案】BCD【分析】利用向量垂直的坐标运算判断A；利用向量的线性运算与共线向量的运算判断B；利用向量的夹角公式判断C；利用向量的投影向量坐标运算判断D.【详解】对于A，，故与不垂直，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，在上的投影向量为，故D正确；故选：BCD12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（    ）A．的面积为 B．在中角C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为【答案】BCD【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式求解可判断A；利用余弦定理可判断B；由正弦定理求解可判断C；利用三角形面积求解可判断D．【详解】由题意结合正弦定理可得：，设，周长为，即，，，，.由题中公式得，故A正确；由余弦定理得：，而，则，故B错误；设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，故C错误；设的内切圆半径为r，则的面积，解得，故D错误.故选：BCD. 三、填空题13．已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则      ．【答案】【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求解.【详解】因为，，所以，，故答案为：14．若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为      .【答案】4【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长与圆锥的底面周长相等，求得圆锥底面的半径，进而得圆锥的高.【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则 ，解得，可得圆锥的高为.故答案为：4.15．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则      .【答案】【分析】把代入方程并化简，利用复数相等的概念得到的值，即得的值．【详解】把代入方程得，所以，所以，所以，解得，所以．故答案为：．16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则      .【答案】/【分析】利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可得解.【详解】在中，，由余弦定理得，即，解得或（舍去）.由正弦定理得，即解得，，所以.故答案为：. 四、解答题17．在①；②；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解.问题：若锐角满足______，求的值.【答案】条件选择见解析，【分析】若选①：先逆用二倍角的正弦公式求解出的值，然后根据同角三角函数的基本关系求解出的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果；若选②：先根据降幂公式求解出的值，然后再根据同角三角函数的基本关系求解出的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果；若选③：先逆用二倍角的正切公式求解出的值，然后然后再根据同角三角函数的基本关系求解出、的值，利用诱导公式先化简原式，然后代入相关值即可求解出结果.【详解】解：选择条件①：由条件①，得，所以.由，得，因为是锐角，所以，所以.所以，；选择条件②：由条件②，因为，所以.由，得，因为是锐角，所以，所以，所以，；选择条件③：由条件③，得，所以，所以.由，得，，因为是锐角，所以，，所以，.所以，.18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是，圆柱筒长.  (1)这种“浮球”的体积是多少?(2)要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶20克，那么共需涂胶约多少克?【答案】(1)(2)克 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果；（2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.【详解】（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，两个半球的体积之和为，又，该“浮球”的体积是.（2）上下两个半球的表面积，“浮球”的圆柱筒侧面积为，个“浮球”的表面积为，个“浮球”的表面积的和为，每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.19．已知，，且．当为何值时，(1)向量与互相垂直；(2)向量与平行.【答案】(1)或.(2) 【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出，根据向量垂直列式求解；（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，若向量与互相垂直，则，∴，∴，∴，解得或.（2）因为，即，则，所以不共线，若向量与平行，则存在实数使得成立，所以且，解得.20．已知向量，，.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间：(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【答案】(1)；(2)当时，的最大值为，当时，的最小值为 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦函数性质求解其周期与减区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.【详解】（1）已知向量，，所以.故函数的最小正周期为；由，解得：，，故函数的单调递减区间为.（2）由于，得.故当，即时，取得最大值，最大值为；当，即时，取得最小值，最小值为.21．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底同在水平面内的两个测点与.在点测得塔底在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达，测得此时塔底在北偏东方向.  (1)求点到塔底的距离；(2)若在点测得塔顶的仰角为，求铁塔高.【答案】(1)米(2)米 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长；（2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得.【详解】（1）解：由题意可知，，，故 ，在中，由正弦定理，得， 即，所以，（米）因此，点D到塔底B的距离BD为米.（2）解：在中，由正弦定理，得，所以，.在中，.所以，铁塔高为米.22．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理结合基本不等式求得，利用三角形面积公式进行求解即可；（3）根据和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，则，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域.【详解】（1）由，根据正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以；（2）由，代入得：，根据基本不等式得，得，当且仅当时，等号成立，则的面积为：，故面积的最大值为.（3）在中，，，根据正弦定理得：，令，则，所以，，根据二次函数的性质得：当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围为.