2022-2023学年四川省成都市树德中学光华校区高一下学期数学测试（六）含答案

2022-2023学年四川省成都市树德中学光华校区高一下学期数学测试（六）

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】根据复数的定义与计算，可得，

可得复数在复平面所对应的点坐标为，位于第三象限．

故选：C．

2．如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球

【答案】A

【分析】由圆锥的定义即可求解

【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥

故选：A

3．如图，在正六边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案.

【详解】连接，，交于点，

由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，

所以且，

，

故选：C

4．如图，空间四边形ABCD四边相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（    ）

A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．空间四边形

【答案】C

【分析】取中点为，分别连接，利用中位线性质结合平行四边形判定证明其为平行四边形，再利用线面垂直的判定和性质即可证明其为矩形.

【详解】取中点为，分别连接，如图，

因为，且各边中点分别为E，F，G，H，

所以，，，

所以，所以四边形为平行四边形，

又因为平面，所以平面，

因为平面，所以，因为，所以，

又因为，所以，所以四边形为矩形，

易知与不一定相等，故与不一定相等，故四边形不一定为正方形.

故选：C.

5．如图，是的直观图，则是（    ）

A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的规则，画出的直观图，结合图形，即可求解.

【详解】因为线段与轴相交，设交点为，如图（1）所示，

在直角坐标系中，点在轴上，可得，点C在y轴上，可得，

如图（2）所示，因此点必在线段的延长线上，所以，

所以是钝角三角形．

故选：C．

6．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.

【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，

令，则，而，，

于是得，

因此，，

所以与所成角的大小为.

故选：B

7．半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据球与相切面的几何特点即可得到最远距离.

【详解】设球心到墙角的距离为，球心半径为，则，

则距离为棱长为1的正方体的对角线长，即，

则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于.

故选：D.

8．在中，已知，则的形状一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】B

【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可得，再根据A、的范围可得答案．

【详解】由，得，

即，又因为A，，所以，，所以，得，

所以一定为直角三角形．

故选：B．

二、多选题

9．下面四个命题中，正确的为（    ）

A．相交于同一点的三条直线在同一平面内．

B．在平面外，其三边延长线分别和交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线

C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等

D．在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．

【答案】BD

【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；求出三个平面分空间所成部分数的最大值判断D作答.

【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，A错误；

对于B， 所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，B正确；

对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，C错误；

对于D，当三个平面互相平行时，三个平面分空间成4部分；当两个平面平行，与第三个都相交

或三个平面相交于一条直线时，三个平面分空间成6部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线平行时，

三个平面分空间成7部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线交于一点时，三个平面分空间成8部分，

所以三个平面最多把空间分成8部分，D正确.

故选：BD

10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若为斜三角形，则

C．若，则是锐角三角形

D．若，则一定是等边三角形

【答案】AB

【分析】利用正弦定理推理判断AD；利用和角的正切及诱导公式推理判断B；利用平面向量的数量积定义确定角C判断C作答.

【详解】对于A，由正弦定理，

得，A正确；

对于B，斜中，，

则，即，B正确；

对于C，由，得，则，

因此C为钝角，是钝角三角形，C错误；

对于D，由正弦定理及，得，

即，而，则，为等腰直角三角形，D错误．

故选：AB

11．如图，直四棱柱，的底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点．平面截该棱柱得到的截面多边形为，则下列说法正确的是（    ）

A．是梯形 B．是菱形

C．的面积为 D．以为底面，C为顶点的棱锥体积是

【答案】BC

【分析】作出截面并判断形状判断AB；计算截面的面积判断C；利用割补法、等体积法求出锥体体积判断D作答.

【详解】在直四棱柱中，取的中点，连接，

显然四边形是直角梯形，有，则四边形是平行四边形，

于是，在矩形中，E，F分别为棱，的中点，有，

从而，四边形是平行四边形，而，

则是菱形，显然即为截面，所以是菱形，A错误，B正确；

连接，由平面知，，则，

等腰底边上的高为，

所以截面的面积，C正确；

显然平面，，

所以以为底面，C为顶点的棱锥体积是，D错误.

故选：BC

12．若函数在上为单调函数，则实数的可能值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】分和两种情况讨论，当时，利用辅助角公式结合三角函数的单调性即可得出答案.

【详解】当时，在上不单调，故，

当时，，

其中，

由，得，

若函数在上单调递减，

则，

解得或，

此时，

若函数在上单调递增，

则，

解得或，

此时，

综上所述，

因为，所以，故A符合，

因为，故BC不符合，

因为，故D符合.

故选：AD.

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：

（1）将函数解析式变形为或的形式；

（2）将看成一个整体；

（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.

三、填空题

13．已知向量，，且，则      ．

【答案】10

【分析】根据求得值，再计算.

【详解】因为向量，，且，所以，解得．

所以．故，

所以．

故答案为：10

14．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为      ．

【答案】

【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积.

【详解】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，

可得球心到两截面圆的距离分别为，．

当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，

所以，解得或（舍）；

当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．

综上，，故该球的体积为．

故答案为：

15．四面体中，是边长为12的等边三角形，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是      ．

【答案】

【分析】连接，易得，则或其补角即为异面直线与所成角，利用勾股定理求出，再解即可.

【详解】如图，连接，

因为为的中点，为的中点，

所以，且，

则或其补角即为异面直线与所成角，

因为，所以，

，

所以，

因为为的中点，所以，则，

，

则，所以，

故，

即异面直线与所成角的正切值是.

故答案为：.

16．已知非零向量，，满足，，，则对任意实数t，的最小值为      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出向量与的夹角，变形等式，作出几何图形，借助向量的几何意义求出最小值作答.

【详解】因为，，则，而，于是，

又，则，作，使，如图，

由，得，即，令，则，

因此的终点在以点为圆心，2为半径的圆上，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，

于是是圆上的点与直线上的点的距离，过作线段于，交圆于，

所以.

所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．如图所示，从底面半径为2a，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积 之比.

【答案】.

【解析】求出圆柱的表面积和挖去圆锥后的几何体的表面积，即可求解.

【详解】由题意，知

，

挖去圆锥的母线长为

.

∴.

【点睛】本题考查圆柱及组合体的表面积，属于基础题

18．已知，．

(1)求；

(2)求证：．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）由平方得，再利用计算即可；

（2）计算，即可证明.

【详解】（1）由，得，

所以，所以，所以．

（2）因为，

所以．

19．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；

(2)求多面体的体积；

(3)求证：平面平面AB1D．

【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；

（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；

（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明.

【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

20．如图，在梯形ABCD中，，．

(1)求证：；

(2)若，，求梯形ABCD的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）在两个三角形中结合使用正弦定理证明即可；

（2）根据余弦定理分别求出边长，再求高，最后应用梯形面积公式求解即得.

【详解】（1）连接BD．

因为，所以．

在中，由正弦定理得，①

在中，由正弦定理得，②

由，，结合①②可得．

（2）由（1）知，，

，又，所以，则．

连接BD，

在中，由余弦定理得

；

在中，由余弦定理得

，

所以，解得或．

当时，连接AC，在中，由余弦定理，得

，

所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意，

此时梯形ABCD的高，

当时，梯形ABCD的面积；

所以梯形ABCD的面积为．

21．在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.

(1)当为边中点时，若，求的长度；

(2)当为的平分线时，若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；

（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.

【详解】（1）解：因为，

所以，即.

由正弦定理，得.

因为，所以.

因为，所以.

又因为，所以，所以.

因为为边中点，所以，则.

又，

所以，即，即，

所以.

（2）在中，由余弦定理，得.

又，所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以，所以.

因为平分，

所以，

所以，

所以.

令，则.

因为在上单调递增，

所以当即时，取得最大值为，

所以的最大值为.

22．如图，已知在直三棱柱中, ，，点D是线段的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求三棱锥体积．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，只需找线线平行即可，根据三角形的中位线可得∥，即可得证；（Ⅱ）当三棱柱的底面积最大时，体积最大，利用基本不等式可知当，三角形为正三角形时取最大值，再利用等积法求体积.

【详解】  

（Ⅰ）证明：记，为三角形的中位线，

∥，平面, 平面，

所以∥平面

（Ⅱ）当三棱柱的底面积最大时，体积最大，

当，三角形为正三角形时,底面积取最大值

因为∥平面，点和到平面的距离相等，