2022-2023学年湖南省衡阳市衡钢中学高一下学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市衡钢中学高一下学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省衡阳市衡钢中学高一下学期开学考试数学试题 一、单选题1．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.【详解】“，”的否定为“，”，故选：C.2．计算的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数诱导公式转化为特殊角三角函数值即可解决.【详解】故选：C3．若二次函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据判别式可求参数的取值范围.【详解】因为二次函数的图象都在轴下方，所以，故，故选：B.4．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}，集合{参加游泳队的学生}，则，设三项都参加的有人，即，，所以由即，解得，三项都参加的有4人，故选：C.5．函数（且）的图象不可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】分两类，当时，和进行讨论，即可得到答案.【详解】当时，函数为减函数，取时，函数值，又，所以故C选项符合题意，D选项不符合题意；当时，函数为增函数，取时，函数值，又，所以，故A选项符合题意，B选项也符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.6．已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．【详解】解：因为函数，，，所以函数，，均为增函数，当时，恒成立，故的零点小于0，即，当时，恒成立，当时，，所以，当时，，故，故．故选：A．7．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】解方程可依次求得，结合基本不等式可得大小关系.【详解】由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；又，（当且仅当时取等号），.故选：A.8．方程在的解为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据的范围求得，结合函数图象对称性得，将换掉求得，然后根据范围结合同角三角函数的基本关系式及诱导公式求得结果.【详解】因为，所以，又因为，是的两根，结合图像可知或即或，当时，，又因为，，所以，所以，所以，所以；当时，，又因为，，所以，且所以，所以，所以.综上两个情况都有，故选：A.【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性及诱导公式、同角三角函数的基本关系式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 二、多选题9．下列运算法则正确的是（    ）A．B．C．（且）D．【答案】CD【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.10．下列说法正确的是（    ）A．若的终边上的一点坐标为，则B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角C．对，恒成立D．若，，则【答案】ABD【分析】根据任意角的三角函数可判断选项A；根据象限角的性质可判断选项B；根据同角三角函数的基本关系和任意角的三角函数可判断选项C；根据同角三角函数的基本关系可判断选项D.【详解】对于A,因为角的终边上的一点坐标为，由任意角的三角函数可得：，故选项A正确；对于B，因为是第一象限角，即，则，当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第-象限角；所以是第一或第三象限角，故选项B正确；对于C，因为，，所以，故选项C错误；对于D，因为，则，所以，又因为，所以为钝角，则，故选项D正确.故选：ABD.11．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的有（    ）A．函数的图象关于直线对称 B．函数是周期函数C．函数在上单调递增 D．函数有最小值【答案】ABD【分析】根据奇函数和可得，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周期性即可判断D.【详解】A.由题意知，，则，有，所以函数图象关于直线对称，故A正确；B.由，得，所以4是函数的周期，故B正确；C.由选项B可知，为的周期函数，所以函数在上单调递增，即为函数在上单调递增.又函数在上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线对称，则函数在上单调递减，所以函数在上不单调，故C错误；D.由选项C的分析可知，在一个周期中，函数在上单调递增，在上单调递减，又为奇函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故D正确.故选：ABD12．已知实数x，y满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D.【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；所以，即可得；所以A错误；对于B，由于，再根据不等式，得，所以，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；即B正确；对于C，，再根据不等式，得，即可得，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；所以C正确；对于D，由，可知，即；当且仅当或时，不等式的等号成立，由得，而，即所以，即可得；当且仅当或时，不等式的等号成立；所以；即D正确.故选：BCD. 三、填空题13．角的终边经过点，且，则b的值为         ．【答案】【分析】根据三角函数的定义建立方程关系即可．【详解】因为角的终边经过点且，所以 则，解得.故答案为：14．若，且，则实数的值为      .【答案】12【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】由题设，，，所以，则.故答案为：12.15．已知正实数，满足，则的最小值是      .【答案】【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由正实数，满足，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，即的最小值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，其中解答点关键是基本不等式的条件的配凑，利用“1”的代换技巧的应用，着重考查推理与运算能力.16．已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④ 四、解答题17．已知集合，集合，其中．(1)若，求﹔(2)设命题p：，命题q：，若是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案；（2）由是的充分不必要条件，得，，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】（1），或．若，则或，，；（2）若是的充分不必要条件，或，则，，解得．的取值范围是．18．已知角满足.(1)若角是第一象限角，求的值；(2)若角是第三象限角，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系先求得的值，进而求得的值；（2）先利用三角函数诱导公式化简，进而求得的值.【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去得，解得或，又角是第一象限角，则．（2）因为角是第三象限角，所以，，所以.19．如图所示，有一块扇形钢板，面积是平方米，其所在圆的半径为1米.(1)求扇形圆心角的大小；(2)现在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大.设，试问如何确定的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？【答案】(1)(2)是的中点，平方米 【分析】（1）利用扇形面积公式列方程，从而求得扇形圆心角的大小.（2）连接，设，将裁下的钢板的面积用来表示，结合三角函数的性质求得面积的最大值以及此时点的位置.【详解】（1）依题意，，设，则，，即扇形圆心角的大小为.（2）连接，设，过作，垂足为，在中，，所以，设四边形的面积为，则，由于，，，所以当，时，取得最大值为（平方米）.所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.20．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．；B．；C．．(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】(1)模型C,理由见解析(2)①210万元; ②不会. 【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释.【详解】（1）模型A．，因为，所以匀速增长，模型B．，因为，先慢后快增长，模型C．，因为，先快后慢增长，所以模型C最符合题意.（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，所以，即，又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以，即，由解得，所以，①如果总奖金不少于9万元，即，即，即，解得，所以至少应完成销售利润210万元.②设，即，因为与有交点，且增长速度比慢，所以当时，恒在的下方，所以无解，所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.21．哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：当时，；当时，；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小.并求最小值.【答案】(1)，；(2)当时，取得最小值，且最小值为万元. 【分析】(1)由题意知本题分两部分讨论.当时，由求出，求出对应，当时，求出.(2) 当时,利用均值不等式求出，当时，二次函数，故.【详解】（1）由题意知若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元，解得，当时， 当时，，（2）当时，，当且仅当时等号成立.当时，当时，，所以，当时，取得最小值，且最小值为万元.22．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．性质1：对任意，有；性质2：对任意，有．(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；     ②；(2)若是函数的“区间”，求m的取值范围；(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．【答案】(1)①是，②不是；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，不是函数的“区间”.（2）记， ，注意到，因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.当时，在上单调递增，且，所以不包含于，不合题意；当时，，符合题意；当时，，所以，不合题意.综上，.（3）对于任意区间，记，依题意，在上单调递减，则.因为，所以，即S的长度大于的长度，故不满足性质①.因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即，即只需存在使得，或存在使得.因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" .记，先证明函数有唯一零点；因为在上单调递减，所以在上单调递减.若，则为的唯一零点；若，则，即，由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；若，则，即，由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；综上，函数有唯一零点，即，已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.