2022-2023学年河北省邢台市南宫中学等高一下学期6月联考数学试题含答案

2022-2023学年河北省邢台市南宫中学等高一下学期6月联考数学试题

一、单选题

1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概念求得，由复数的几何意义可得结论．

【详解】由题意，

，对应点坐标为，在第一象限，

故选：A．

2．已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调查，则抽取、两村贫困户的户数比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出两村抽取的户数，再各自乘以贫困率可得出两村抽取的贫困户数.

【详解】在村抽取的户数为，所以抽取村贫困户的户数为，

在村抽取的户数为，所以抽取村贫困户的户数为，

则抽取、两村贫困户的户数比是.

故选：B.

3．设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对各选项逐项分析，确定正确选项.

【详解】由，可得m，n平行或异面，A错，

由，则n与可能斜交，B错，

由，则与可能相交，可能平行，C错，

由，，可得，D对，

故选：D.

4．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，

据此可得，

则.

故选：C.

5．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC.

【详解】设红球为，白球为，黄球为，

其中任取两个球的所有样本点包含，共15个，

事件所包含的样本点为，共4个，

所以， 故A错误；

表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误；

事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球

或没有白球的两个互斥事件和，

事件是必然事件，因此，故C正确；

事件与是对立事件，所以，故D错误.

故选：C

6．某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ）

A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项分析可得答案.

【详解】当击中环数大于0且小于6时，与同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项A B错误；

与显然为互斥事件，当击中环数为时，与都不发生，故与不是对立事件，故选项C错误；选项D正确.

故选：D

7．6月22日是端午节，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰.某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大时，半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当蛋黄近似的球体与正四面体内切时，蛋黄的最大，再利用等体积法求解即可.

【详解】由题意，当蛋黄近似的球体与正四面体内切时，蛋黄的最大，

如图，设正四面体为，为的中心，

则为三棱锥的高，且在的边的中线上，，

设点为内切球的球心，内切球的半径为，

，

，则，

由，

得，

解得.

故选：C.

8．甲、乙二人进行一次比赛，约定5局3胜制.假设在每一局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各局比赛结果相互独立，那么在第一局比赛甲胜的情况下，甲为比赛胜方的概率最为接近的是（    ）

A．0.6 B．0.8 C．0.7 D．0.9

【答案】B

【分析】根据题意可得甲还需要胜两局比赛，分类讨论结合独立事件分析计算即可.

【详解】由题意可得在第一局比赛甲胜的情况下甲获胜，则甲还需要胜两局比赛，

若再比赛2局甲获胜，则概率为，

若再比赛3局甲获胜，则概率为，

若再比赛4局甲获胜，则概率为，

所以在第一局比赛甲胜的情况下，甲为比赛胜方的概率为，

最接近，

故选：B

二、多选题

9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）

A．对应的点位于第二象限

B．为实数

C．的模长等于

D．的共轭复数为

【答案】ABC

【分析】根据欧拉公式定义结合复数的相关概念逐项运算判断可得答案.

【详解】对于A：由题意可得：，则其对应的点为，

∵，则，

∴对应的点位于第二象限，故A正确；

对于B：由题意可得：为实数，故B正确；

对于C：由题意可得：

，

则，

，故C正确；

对于D：由题意可得：，

则的共轭复数为，故D错误；

故选：ABC.

10．下列说法正确的有（    ）

A．掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“点数之和为奇数”，事件“出现3点”，则

B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球，则“两球不同色”的概率是

C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靬率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98

D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

【答案】BC

【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率可判断CD.

【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种不同的结果，

事件“点数之和为奇数且出现3点”有共6种不同的结果，则，故A错误；

对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：

，共10个，

其中两球不同色的结果有：共6个，

所以“两球不同色”的概率是，故B正确；

对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，故C正确；

对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，

第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故D错误.

故选：BC.

11．某公司在甲销售区域有10家分公司，在乙销售区域有20家分公司.2022年该公司在甲销售区域的10家分公司的销售额（单位：百万元）的平均数为25，方差为100，在乙销售区域的20家分公司的销售额的平均数为22，方差为80，则关于2022年该公司在甲、乙两销售区域的总体平均数和总体方差，下列叙述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据总体平均数的计算以及结合方差的计算公式求得总体方差，一一判断各选项，即得答案.

【详解】由题意可得，A错误；B正确；

设甲销售区域的10家分公司的销售额为，

则，整理得，

设乙销售区域的20家分公司的销售额为，

则，整理得，

故

，C正确，D错误，

故选：BC

12．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法错误的是（    ）

A．

B．与平面所成的角为

C．

D．与平面所成的角为

【答案】AB

【分析】根据长方体性质可知和是直线与平面和平面所成的角，设经计算可得可知A错误；易知即为与平面所成的角，而可知B错误；经计算可得，易知是直线与平面所成的角，且，即CD正确.

【详解】如下图所示:

连接，因为平面，所以是直线与平面所成的角，

所以在中，，不妨设，则，

则；

同理易知是直线与平面所成的角，

所以在中，，因为，所以；

所以，

因此在中，；

对于选项A，易得，，即可得，所以A错误；

对于B，作于，如下图所示：

显然平面，平面，所以，

又平面，所以平面；

因此也即为与平面所成的角，

所以，即，即B错误；

对于C，由，可得，所以C正确；

对于D，由长方体性质易知平面，所以是直线与平面所成的角，

在中，，所以，即，所以D正确.

故选：AB

三、填空题

13．已知向量，若，则           .

【答案】

【分析】利用向量垂直的坐标表示进行求解.

【详解】因为，所以；

因为，所以，即.

故答案为：.

14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为       .

【答案】

【分析】利用正弦定理直接判断.

【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，

即，解得：.

故实数m的取值范围为.

故答案为：

15．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品的概率为，若每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品的概率是.则丙机床加工的零件是一等品的概率是      .

【答案】

【分析】每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品，该事件包含3个互斥事件，再由概率的加法公式，相互独立事件的乘法公式，可得丙机床加工的零件是一等品的概率.

【详解】设事件A表示甲机床加工的零件是一等品，

事件B表示乙机床加工的零件是一等品，

事件C表示丙机床加工的零件是一等品，

事件D表示每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品，

则，，.

由概率的加法公式，

，由概率的乘法公式可得，

即，解得.

故答案为：.

四、双空题

16．已知正方体的棱长为2，为的中点，且点在四边形内部及其边界上运动，（1）若总是保持平面，则动点的轨迹长度为      ；（2）若总是保持与的夹角为，则动点的轨迹长度为      .

【答案】     2    

【分析】分别取的中点，连接，可证得平面∥平面，从而可得点的轨迹是，进而可求出其长度，由可得，则得点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角，从而可求出其长度.

【详解】分别取的中点，连接，则，

因为∥，，所以∥，，

所以四边形为平行四边形，所以∥，

因为为的中点，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，∥平面，

因为，所以平面∥平面，

因为平面平面，点在四边形内部及其边界上运动，平面，

所以点的轨迹是，

因为，所以动点的轨迹长度为2，

因为平面，平面，所以，

在中，，则，

所以，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角，

所以动点的轨迹长度为，

故答案为：2，

【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查求立体图形中的轨迹长度问题，解题的关键是根据题意求出动点的轨迹，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.

五、解答题

17．已知向量与的夹角，且，.

(1)求与的夹角的余弦值.

(2)若，求在上的投影向量的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由数量积公式计算出，对平方再开方求出；设与的夹角为，再由向量的夹角公式计算可得答案；

（2）根据投影向量公式直接计算可得答案.

【详解】（1）由已知，得，

；

设与的夹角为，

则，

因此，与的夹角的余弦值为；

（2）因为，

所以在上的投影向量为

.

18．某校高三年级甲班50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，.其中，且.（说明：数学成绩满分为150分）

(1)根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；

(2)求数学成绩的第80百分位数.

【答案】(1)117.8分

(2)132.5

【分析】（1）根据所给条件及频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出、、的值，再计算平均数即可；

（2）设第百分位数是，首先判断，即可得到方程，解得即可.

【详解】（1）因为，且，

所以，可得，

由频率分布直方图，可得

所以，解得，所以、，     

所以估计甲班数学成绩的平均分为：

（分）.

（2）设第百分位数是，

由，

得，则

解得.

19．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，已知______.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）①②③中任选一个均先利用正弦定理边角互换，再利用三角恒等变换化简即可求解.

(2)由正弦定理，将表示为，由三角形的内角和为和辅助角公式将原式整理为，找出角的范围，从而得解.

【详解】（1）若选①，

，

∵；

若选②，，

∵；

若选③

∵，

而.

（2）因为，所以由正弦定理得：，

，

∵是锐角三角形，∴,

∴,

∴∴∴.

20．在直角梯形中，，∥，，，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.

(1)求证：∥平面；

(2)若二面角为，判断所在的位置；

(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)点为中点

(3)存在，为中点，证明见解析

【分析】（1）在直角梯形中，由已知可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由题意得即为二面角的平面角，即=，在直角三角形中可求得结果，

（3）存在为中点时，使， 取的中点，连接，由线面垂直和线线平行可得结论.

【详解】（1）∵在直角梯形中，，∥，，∴∥，

∵平面，平面，

∴∥平面；

（2）∵，∴即为二面角的平面角，即=，

∴在直角三角形中，，∴

∵，∴点为中点.

（3）存在为中点时，使，

取的中点，连接，

∵，∴，

∵，，平面，

∴平面，∵平面，∴，

∵，平面，∴平面，

∵为中点，为的中点，∴∥，

∵∥，∴∥，∴点在平面上，

∴平面，∴.

21．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校的强基计划考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.7，0.5，0.6，能通过面试的概率分别是0.7，0.6，0.5.

(1)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人通过笔试的概率；

(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率（精确到0.01）.

【答案】(1)0.65

(2)0.75

【分析】（1）确定甲、乙、丙三名学生中至少有两人通过笔试的情况有4种可能，根据互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可求得答案.

（2）利用对立事件的概率求法即可得答案.

【详解】（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“至少有两人通过笔试”，

则   

=，

即至少有两人通过笔试的概率是0.65；

（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，

则.

事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，

则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，，

于是

，

即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.75

22．如图，四棱雉中，，，，为中点，，

(1)证明：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）计算相关线段的长，求的面积，点到平面的距离即为三棱锥的高，利用，即可求得答案.

【详解】（1）证明：由，，，，

可得底面为直角梯形，如图，作于F，

则，

，，

从而是等边三角形，，而,

故平分.

为中点，故，，

又，平面，平面.

平面，平面平面；

（2）由（1）知，平面，平面，则平面平面，

取中点，连接，，则.

平面平面，平面平面，

平面，平面.

，，

连接OC，,故

在直角三角形POC中，，，

在三角形PCD中，，，

所以PC边上的高为，

，

设点到平面的距离为h，则，解得.