2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一下学期期末考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数除法法则计算得到，从而确定复数对应的点所在象限.【详解】，所以复数对应的点坐标为，位于第三象限.故选：C2．在△ABC中，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案.【详解】解：.故选：D.3．在中，，则的值为（　　）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.【详解】在中，角所对的边分别为，，由正弦定理得，令，由余弦定理得：.故选：A4．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（    ）A．7 B．7．2 C．7．5 D．8【答案】D【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为，所以第80％分位数为第8个数，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8.故选：D．5．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，由古典概型得，故选：D.6．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由 ，则，则圆锥的体积为 .故选：A7．若m，n是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可.【详解】对于A：由线面平行的性质可知，故A正确；对于B：垂直于同一个平面的两条直线平行，故B正确；对于C：平面内两条相交直线分别和另一个平面平行，则两个平面平行，故C正确； 对于D：，则或或或与相交，故D错误；故选：D8．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.【详解】由题意，易知三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.因为，所以.因为，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选B.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）A．该试验样本空间共有个样本点 B．C．与为互斥事件 D．与为相互独立事件【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；对于D：，，，所以，故D正确．故选：ABD.10．某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ）A．长度在的产品数最多 B．C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5【答案】ABD【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.【详解】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，故A项正确；对于B项，由得，故B项正确；对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选：ABD.11．已知向量，则下列说法正确的是（    ）A． B．若，则C．在上的投影向量为 D．若∥，则【答案】AC【分析】由向量数量积的坐标运算判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影向量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D.【详解】解：对于A，因为，所以，故正确；对于B，因为，，所以，解得，故错误；对于C，在上的投影向量为：，故正确；对于D，因为，，∥，所以，解得，故错误.故选：AC.12．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的是有两个D．若，则是钝角三角形【答案】BD【分析】A．根据已知条件得到或，由此进行判断即可；B．根据正弦定理得到边之间的关系，然后进行判断即可；C．根据之间的大小关系进行判断即可；D．利用余弦定理计算出的取值正负，从而进行判断.【详解】A．因为，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；B．因为，所以（为外接圆半径），所以，由“大边对大角”可知，故正确；C．因为，所以没有符合条件的三角形，故错误；D．因为，所以，所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故正确；故选：BD.【点睛】结论点睛：在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，结论（1）：大边对大角，小边对小角；结论（2）：若，可证明为钝角三角形；若且为最大边，可证明为锐角三角形（若未限定为最大边，则无法说明）. 三、填空题13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是          .【答案】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率【详解】设数学题没被解出来为事件A，则，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：.故答案为：14．i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．      ．【答案】（答案不唯一，满足（）均可）【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设，（），则，，因为，所以，解得：，所以，（）所以可以取.故答案为：（答案不唯一，满足（）均可）.15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则     .【答案】【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，于是有，由余弦定理可知：，故答案为：16．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是          m．【答案】【分析】利用圆锥的展开图，连接即为所求.【详解】轴截面是边长为4米的正，则圆锥底面直径为4，底面半径为2，所以底面周长为，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为4，所以其展开图为一个半径为4的半圆.由图可知，，，所以.故答案为：. 四、解答题17．已知平面向量.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；（2）由数量积的坐标表示可得.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以.18．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）.  (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，则成绩位于有几人；(3)估计所抽取的100名学生成绩的中位数（保留一位小数）.【答案】(1)，分(2)2人(3)分 【分析】（1）利用各组频率和为求，然后利用频率分布直方图平均数的计算方法可得；（2）根据分层抽样抽样比计算可得；（3）利用频率分布直方图中位数的计算方法可得【详解】（1）由频率分布直方图得，，得，所以平均分为：；（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，故抽样比为，抽取的6人中成绩位于上的有人.（3）由频率分布直方图：的频率为，的频率为，的频率为，因前两组的频率之和为，而前三组的频率之和为故中位数在之间，设中位数为，则，得，故中位数为：分19．如图，正方体，其外接球与内切球的表面积之和为，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；(2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.【答案】(1)答案见解析(2)， 【分析】（1）从作两条面对角线，再连接另外两点即可；（2）设正方体的棱长为，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，根据球的表面积公式得到方程，求出，再求出两部分的体积，最后再求表面积即可；【详解】（1）解：连接，则为所求三角形（作法不唯一），如图所示（2）解：设正方体的棱长为，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，所以，解得，平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分，所以，，因此体积较大的几何体是多面体，其体积为，由，所以，，，故多面体的表面积为.20．北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.(1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；(2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.【答案】(1)(2) 【分析】利用列举法，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可.【详解】（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）.从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果有：，，，，，，，，，，共10种，其中，抽取到的这2个项目都是趣味项目的有：，，，共3种，故所求概率为.（2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，其可能的结果有：，，，，，，共6种，其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1种，故所求概率为.21．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面角的定义进行求解即可.【详解】（1）在正方形中，，因为，所以，又因为侧面是正方形，所以，因为平面，所以平面，而平面，则，而，∴，而，又平面，∴平面（2）连接，如图所示：∵为正方形，，∴，而平面，∴平面，∴为直线与平面所成的角，∵，∴，所以直线与平面所成的角为.22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，作边化角处理，然后化简可求解.（2）利用正弦定理，可得周长，化简后，利用三角函数的性质可求得周长的范围.【详解】（1）因为，整理得，，，，，可得，，，，最后可得，（2），，周长，，，，周长的范围为