2022-2023学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数运算法则直接求解即可.

【详解】.

故选：A.

2．在中，角所对的边分别是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理，即可求解.

【详解】解：由正弦定理得，，

故选：A.

3．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（    ）

A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98

【答案】D

【分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.

【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，

所以飞行目标被雷达发现的概率为.

故选：D

4．已知向量，，，则向量，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用得到，然后利用数量积的定义可求出，即可得到答案

【详解】因为向量，所以，

由，可得，

所以，

因为，所以，

故选：A

5．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出平面截球体所得的圆的半径，即可求出球半径，得出体积.

【详解】设球的半径为，平面截球体所得的圆的半径为，

则由题可得，解得，所以,

所以球的体积为.

故选：B.

6．下列说法正确的是（    ）

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

D．分别在两个平面内的两条直线是异面直线

【答案】C

【分析】根据棱柱的概念，并举出反例判定A错误；根据圆锥的定义，考虑到一些边所在直线为轴旋转时所得到几何体不是圆锥，判定B错误；利用平面的基本性质可以判定C正确；根据异面直线的定义，并举出反例可以否定D.

【详解】对于A, 上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱，有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，反例如图：

对于B,当以直角三角形的斜边为轴旋转时，所得几何体不是圆锥，故B错误；

设直线AB，BC,AC两两相交于B,C,A三点，则A,B,C不共线，故确定一个平面，记作平面，由于直线AB,BC,CA上都有两个不同点都在平面内，∴这三条直线都在平面内，故C正确；

对于D,分别在两个平面内的直线可能平行，也可能相交，不一定异面，反例如图：

直线分别在平面内，可以相交于两平面的交线上的一点.

故D错误；

故选：C.

7．在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点在平面内作，证明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理计算得到答案.

【详解】过点在平面内作，垂足为点，如图，

因为二面角的平面角为，所以平面平面，

又平面平面，平面，

故平面，又平面，，

在中，，，，则，，

，则，，

在中，，

则，所以，

所以.

故选：C

8．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.

【详解】依题意得所拨数字共有种可能．

要使所拨数字大于200，则

若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，

有种；

若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，

有种，

则所拨数字大于200的概率为，

故选：B．

【点睛】本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．是纯虚数 B．

C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限

【答案】ABD

【分析】由复数除法得，根据乘方（乘法）、模长及共轭复数概念判断各项正误.

【详解】

A：为纯虚数，正确；

B：，正确；

C：，错误；

D：，对应点为在第三象限，正确.

故选：ABD

10．关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ）

A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行

B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为

C．一个梯形的直观图仍然是梯形

D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直

【答案】ABC

【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；

对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，

如图①，

在中，，其面积，

在其直观图（图②）中，

作，则直观图的面积

，

因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的，

故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确；

对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，

故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；

对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误.

故选：ABC.

11．从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是

A．“至少一个红球”和“都是红球”

B．“恰有一个红球”和“都是红球”

C．“恰有一个红球”和“都是黑球”

D．“至少一个红球”和“都是黑球”

【答案】BC

【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．

【详解】解：从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，

在中，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

在中，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确；

在中，“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确；

在中，“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件，故错误．

故选：．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

12．的内角所对的边分别为，已知，有以下结论：其中正确结论有（    ）

A．当时，成等差数列

B．

C．当，时，的面积为；

D．当时，为钝角三角形

【答案】BD

【解析】对于A，利用正弦定理和等差中项分析判断得解；对于B,利用正弦定理和三角形性质分析判断得解；对于C,求三角形的面积即可判断；对于D,利用余弦定理分析判断得解.

【详解】对于A，所以可设，，，，所以所以，所以不成等差数列，所以A不正确；

对于B,根据题意，若，则，

故可设，，，．则有，则，变形可得，所以B正确；

对于C，当，时，则，，则有，所以BC边上的高为此时的面积为，所以C不正确；

对于D，当时，此时，则有，

故为钝角三角形．所以D正确.

故答案为：BD．

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、填空题

13．      .

【答案】/

【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.

【详解】

.

故答案为：

14．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，，则      .

【答案】/

【分析】由余弦定理直接运算求解即可.

【详解】由余弦定理得，即，

解得：或，因为，所以.

故答案为：.

15．已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为        ．

【答案】

【分析】由 知，在上的投影为 ，代入数值计算得投影，而投影向量与共线，求出的单位向量，写出投影向量即可.

【详解】由题知，在上的投影为，又 ， ，

所以 ， ；

所以 ，即在上的投影为 ；

又的单位向量为 ，所以在上的投影向量为

故答案为： .

16．已知菱形的边长为，点分别在边上，且满足，则           .

【答案】/4.5

【分析】由题意，点分别为边的中点，进而有，又，从而即可求解.

【详解】解：因为，所以点分别为边的中点，

所以，

因为菱形的边长为，

所以，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．平面内给定三个向量，，.

(1)求满足的实数，；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）把已知向量的坐标代入，解方程组即得解；

（2）解方程即得解.

【详解】（1）解：因为，，，且，

，，解得，

（2）解：，.

因为，，解得.

18．已知复数在复平面内对应点Z．

(1)若，求；

(2)若点Z在直线上．求m的值．

【答案】(1)29

(2)或

【分析】（1）由复数的运算法则求解

（2）由复数的几何意义求解

【详解】（1）时，，故

（2）若点Z在直线上，则

解得或

19．已知，.

(1)求；

(2)若角的终边上有一点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件求得，将所求式展开计算

（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算

【详解】（1），，则

故

（2）角终边上一点，

则

由（1）可得，

20．如图，直三棱柱中，，，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解；

（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：∵为直三棱柱，∴

又平面，平面，

∴平面

（2）解：在中，，，

则，的面积为

∵为直三棱柱，∴平面，

∴，从而

取的中点，连接，则，

∴的面积为，

设点到平面的距离为，

由于

∴，解得

故点到平面的距离为.

21．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.

(1)求甲两次都没有击中目标的概率；

(2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案；

（2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可，

【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，

则.

因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件，

则所求的概率为.

（2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，

则.

所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为，

所以所求的概率为

22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求异面直线与所成角的正切值；

(3)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

(3)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可；

（3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）解：∵平面，平面，∴，

又四边形是矩形，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴，

又是的中点，，∴，

∵，所以平面.

（2）解：∵底面是矩形，∴，

∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，

由（1）得平面，∴平面，

∵平面，∴，∴为直角三角形，

又是的中点，，∴，

∴在中，即为异面直线与所成角，故，

∴异面直线与所成角的正切值为.

（3）解：取中点为，连接，，

在中，分别为线段的中点，故，

∵平面，∴平面，

∴，

由（1）得平面，∵平面，∴，

∵，∴，又，∴,

∴，

设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，

则，解得：，

故，

所以直线与平面所成角的正弦值为.