2022-2023学年湖南省长沙市长沙县第一中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市长沙县第一中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数，则是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简复数.

【详解】.

故选：A.

2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，

由 ，则，

则圆锥的体积为 .

故选：A

3．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ）

A．5人 B．6人 C．7人 D．8人

【答案】C

【分析】利用分层抽样的性质直接求解.

【详解】依题意得：

某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，

欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，

则应抽取高三的人数为：

.

故选：C.

4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为（    ）．

A．12 B． C． D．3

【答案】B

【分析】由题意结合斜二测画法的法则整理计算即可求得原图形的面积.

【详解】解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，

则梯形的面积为：，则，

原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，

其面积.

故选：B

5．在中，，，，则边（    ）

A．6 B．12 C．6或12 D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理直接求解即可.

【详解】由余弦定理可得

，

即,解得或.

故选:C.

6．要得到函数的图象，需（    ）

A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

C．将函数图象上所有点向左平移个单位．

D．将函数图象上所有点向左平移个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到

的图象，故B 错误；

将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.

故选：D.

7．如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.

【详解】因为为中点，为中点，

所以

，

所以，则.

故选：D

8．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（    ）

A．与互斥 B．与对立

C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】D

【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：

对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.

【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.

其中事件A包括： .

事件B包括： .

事件C包括：.

事件D包括： .

对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；

对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；

对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；

对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.

故选：D

二、多选题

9．下列有关复数的说法正确的是（    ）

A．若复数，则 B．若，则是纯虚数

C．若是复数，则一定有 D．若，则

【答案】AD

【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令及判断；D设，，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出判断.

【详解】A：令，则，若，即有，故，正确；

B：当时，，而不是纯虚数，错误；

C：当，则，而，显然不成立，错误；

D：令，，则，故，

又，，则，

所以，正确.

故选：AD

10．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A．的相反向量是 B．若，则

C．在上的投影向量为 D．若，则

【答案】AC

【分析】对于A：由相反向量的定义，直接判断；对于B：利用向量平行的条件列方程求出k，即可判断；对于C：利用投影向量的定义，直接求解；对于D：利用向量垂直的条件列方程求出k，即可判断.

【详解】对于A：由相反向量的定义，即可得到的相反向量是；

对于B：因为，，所以.

又，且，所以，解得：.

故B错误；

对于C：因为，，所以，所以在上的投影为，

所以在上的投影向量为.

故C正确；

对于D：因为，，所以.

又，且，所以，解得：.

故D错误.

故选：AC

11．函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．在区间上单调递增

D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数

【答案】AC

【分析】根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点 ，求得，得到函数的解析式，然后再逐项判断即可.

【详解】由函数图象得：A=2，,

所以，

又因为函数图象过点 ，

所以，即 ，

解得 ，即 ，

因为，所以，

所以，

A. ，故正确；

B. ，故错误；

C. 因为，所以，故正确；

D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，非奇非偶函数，故错误；

故选：AC.

12．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．平面

C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角

【答案】AB

【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项.

【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；

B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；

C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；

D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；

故选：AB.

三、填空题

13．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：

这10名同学数学成绩的分位数是           .

【答案】146

【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.

【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：

140,142,142,143,144,145,147,147,148,150

根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；

10名同学数学成绩的分位数为：.

故答案为：146

14．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则           .

【答案】10

【分析】先求出角C，用正弦定理即可求得.

【详解】在中，因为所以.

由正弦定理得：，

即，解得：10.

故答案为：10

15．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是     .

【答案】

【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．已知正四面体的棱长为，且，，，四点都在球的球面上，则球的体积为        .

【答案】

【分析】将正四面体放到正方体中，求出正方体的棱长，再求出正方体的外接球半径作答.

【详解】正四面体的棱长为，由于正四面体的相对棱互相垂直且相等，

于是正四面体可以放置于棱长为1的正方体中，如图，

正四面体与该正方体有相同的外接球，球半径为正方体的对角线长的一半，

因此正四面体的外接球半径，

所以球的体积.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数（）的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；

（2）整体法求解函数单调递减区间.

【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，

所以，所以

（2）令，

解得：，

故函数的单调递减区间.是

18．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）

(1)求实数及；

(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模；

（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）∵，∴，

，

为纯虚数，

，解得，

故，则

（2），

，

复数所对应的点在第二象限，

，解得，

故实数的取值范围为.

19．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．

(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．

【答案】(1)，平均分为；

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值；

（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率．

【详解】（1）由频率分布直方图，，，

平均分为；

（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，

抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为，

从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为．

20．已知向量，．

（1）求的坐标以及与之间的夹角；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结果；

（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.

【详解】（1）因为，，所以，

设与之间的夹角为，

则，

因为，所以与之间的夹角为.

（2），

因为，所以，

故的取值范围是.

21．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；

（2）由可得，然后利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）由正弦定理，得，

得，

得，

因为，所以，即.

（2）因为，

所以.

因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），

所以．故△ABC面积的最小值为.

22．如图，在三棱锥中，，底面ABC

(1)证明：平面平面PAC

(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角求解.

【详解】（1）证明：因为，

所以，又底面ABC，

所以，又，

所以平面PAC，

因为平面PBC，

所以平面平面PAC；

（2）如图所示：

作，连接OM，

因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，

 所以平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角，

设，则，

所以，又，

所以，

所以AM与平面PBC所成角的正切值为.