2022-2023学年河北省衡水市饶阳中学高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河北省衡水市饶阳中学高一下学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省衡水市饶阳中学高一下学期期末数学试题 一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以在复平面内复数对应的点为，位于第二象限.故选：B2．为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（    ）A．83 B．83.5 C．84 D．70【答案】B【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】将10个数据从小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，，故其第80百分位数是，故选：B.3．，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（    ）A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7【答案】B【分析】根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率.【详解】由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，即去乙城市的概率为0.4，去乙城市的概率为0.8，所以，去同一城市上大学的概率，所以则，不去同一城市上大学的概率，故选：B.4．在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则．故选：C.5．若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角的弧度为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据扇形的周长及面积公式，转化为二次函数求最值，据此利用弧长公式求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，故当时，取最大值，此时，所以，故选：B6．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出、的关系式，即可求得的值.【详解】因为向量，，且，则，若，则，这与矛盾，故，因此，.故选：D.7．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，圆锥的底面半径为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，结合圆锥的侧面积和体积公式求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，由题意知母线长为则，所以，当且仅当，即时，取得等号，故选：C8．已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.【详解】由于，且，则，整理得，则，整理得，所以.故选：D. 二、多选题9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（    ）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【答案】ABC【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，由于是的中点，所以，C选项正确.根据正方体的性质可知平面，由于平面，所以，所以，A选项正确.由于，所以，B选项正确.由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.故选：ABC10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（    ）  A．最小正周期为B．的最大值为2C．在区间上单调递增D．为偶函数【答案】BC【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，解得，A错误；B选项，因为，所以，解得，故，将代入解析式得，因为，所以解得，因为函数经过点，所以，故，的最大值为2，B正确；C选项，，当时，，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.故选：BC11．下列说法正确的是（    ）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A正确；对于B，数据的众数为3，故B正确；对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.故选：AB12．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）A．若，，则为等边三角形B．是成立的充要条件C．若的面积为，则D．若点满足，且，则【答案】ABD【分析】利用正弦、余弦定理，三角形面积公式及诱导公式，结合各个选项的条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A，因为，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故选项A正确；选项B，因为，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大边对大角，得，又以上过程均可逆，故选项B正确；选项C，因为，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故选项C错误；选项D，如图，在中，，在中，，两式相比得，因为，且，所以，，且，所以，故，所以选项D正确.  故选：ABD. 三、填空题13．已知点在角的终边上，则      .【答案】【分析】首先求，再由齐次式化简求值.【详解】由题意可知 ，∴ .故答案为：.14．已知向量，，，则向量与的夹角为      ．【答案】【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.【详解】，则，则，又，则故答案为：.15．在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为           【答案】【分析】取的中点为,连接，利用中位线性质得，则异面直线夹角转化为求，再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出即可得到答案.【详解】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，  则即为所求，因为平面，所以平面,则，，则，因为，所以.故答案为：.16．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为        米.【答案】121【分析】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶，求出各参数，可得函数解析式，将代入，即可求得答案.【详解】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,由题意可知,, ,即,又：，即,由于，故，故，所以（米），故答案为：121 四、解答题17．在中，，，.(1)求的面积；(2)求c及的值.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.【详解】（1）由且，则，所以.（2）由，则，而，则.18．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．  (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过直线与直线平行证直线与面平行.（2）通过等体积转化进行求解.【详解】（1）解：连接，与相交于，连接，则是的中点，  又为的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连，则，且，又面，，且，∴面，，.19．全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为: (1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案；（2）由（1）结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.【详解】（1）由频率分布直方图,；注意到前3个矩形对应频率之和为：,前4个矩形对应频率之和为：,则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.（2）评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.则从6人中选取2人的情况为：,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,故相应概率为：.20．已知向量，函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；(2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.【答案】(1)，此时自变量的取值集合为(2) 【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.【详解】（1）由题知，，当，即时，最大，且最大值为，即，此时自变量的取值集合为.（2）由（1）知，，则，因为在中， ，所以，所以，所以，又由余弦定理及，得：，即，所以，即（当且仅当时等号成立）.所以.21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1);(2)100（百辆），2300万元. 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，所以利润  ,故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .（2）当时，，故当时，；当时，,当且仅当， 即时取得等号；综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．22．已知梯形中，，，E为线段上一点（不在端点），沿线段将折成，使得平面平面.(1)当点E为CD的中点时，证明：平面平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定得出平面即可；（2）过作交于点，连，再根据与平面所成角的正弦值为得出图形中的各边关系，进而证明平面，求锐二面角的余弦值时，方法一，可根据面积的比值计算；方法二，可分别取的中点，连接，根据平面平面，过作交于点，连，再证明为二面角的平面角求解即可【详解】（1）当点为的中点时，由题得，故，，且都在平面中，故平面.又平面，故平面平面（2）如图过作交于点，连，则平面平面，平面平面，，平面，故平面所以是直线在平面上的投影直线与平面所成角即为直线与直线所成角，即为，又，在Rt中，，在Rt中，，则，在中，，则所以平面平面，平面平面，，平面，故平面法1：由上易证平面平面所以是的投影三角形设平面与平面所成的锐二面角为则法2：分别取的中点，连接易证平面平面所以平面与平面所成的锐二面角即为二面角所成角由上可得平面，且可得中，中，过作交于点，连由平面，且面所以又，可证面所以所以为二面角的平面角在Rt中，所以