2022-2023学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若（是虚数单位），则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】先求得，再根据模长公式即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：C

2．已知向量，，若，则m的值为（    ）

A．－1 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案.

【详解】因为，

所以，

解得：.

故选：D

3．某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（    ）

A．21 B．19 C．16 D．18

【答案】A

【分析】根据分层抽样的性质列式计算求解.

【详解】高三年级应该抽取的人数为.

故选：A.

4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则直线

C．若，，则

D．若，，则

【答案】C

【分析】根据题意，结合线面（面面）平行（垂直）的判定定理和性质定理，逐一判断即可.

【详解】对于A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A错；

对于B，根据面面平行的性质定理可知，不一定平行于，它们可以异面，故B错；

对于C，由线面垂直的性质定理可知，，故C正确；

对于D，根据面面垂直的判定定理知，不一定垂直于，它可以与平行、相交、在平面内，故D错.

故选：C.

5．某班有男生20名，女生30名．一次数学考试（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分为（    ）

A．94 B．94.5 C．95 D．95.5

【答案】C

【分析】根据平均数的计算公式即可得到答案.

【详解】设该班数学成绩平均分为，

根据平均数定义得分，

故选：C.

6．用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】C

【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法即可求出边长.

【详解】由直观图还原得到原图形如下，

由斜二测画法可得，，，

所以，

故选：C.

7．已知向量，且在上的投影为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】综合应用平面向量的数量积和两角和与差的二倍角公式即可解决问题.

【详解】因为，

所以在上的投影为，可得，

则，

故选：B.

8．白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求解圆柱部分与圆台部分的体积，即可得该组合体的体积.

【详解】由题可知圆柱部分的底面半径，高为，

所以圆柱的体积为，

圆台部分上底面半径为，下底面半径为，高为，

所以圆台部分的体积为，

则该组合体的体积为.

故选：D.

二、多选题

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，，故A选项正确.

B选项，的虚部为，故B选项错误.

C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.

D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.

故选：AD

10．某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：

则下列结论正确的为（    ）

A．平均数为48 B．极差为9

C．中位数为47 D．第75百分位数为51

【答案】BC

【分析】运用平均数、极差、中位数及百分位数的公式计算即可.

【详解】对于A项，平均数为，故A项错误；

对于B项，极差为，故B项正确；

对于C项，这组数从小到大排序为：、、、、、、、、、，

所以中位数为.故C项正确；

对于D项，因为，所以第75百分位数为49.

故选：BC.

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（    ）

A．若，则A＝30°

B．若A＞90°，则

C．若，b＝4，B＝60°，则有两组解

D．若，则是钝角三角形

【答案】BD

【分析】根据正、余弦定理结合三角恒等变换逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若，由正弦定理可得，

因为，则，可得，即，

又因为，则或，故A错误；

对于选项B：若A＞90°，则，

因为，则，即，

可得，即，故B正确；

对于选项C：由余弦定理可得，

即，即，

解得（舍去）或，

所以有且仅有一组解，故C错误；

对于选项D：若，有正弦定理可得，

可得，且，

所以为钝角，则是钝角三角形，故D正确；

故选：BD.

12．如图，在棱长为1的正方体中（    ）

A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为

C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，

则，

∴，，即，与的夹角为，故A错误；

设平面的法向量为，，

所以，令，则，

平面的法向量可取，二面角的平面角为，

则，所以，故B正确；

因为，设与平面所成角为，

则，故C正确；

因为，设点到平面的距离为，则

，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则         .

【答案】

【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得.

【详解】因为，所以，

即，解得.

故答案为：

14．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为      .

【答案】

【分析】根据给定条件，直接求出关于坐标面对称点的坐标作答.

【详解】点关于平面的对称点的坐标为.

故答案为：

15．在中，，点为外接圆的圆心，则        .

【答案】14

【分析】由题知点为边的中点，由平面向量的线性运算得，，再由平面向量的数量积运算即可求解.

【详解】因为在中，，点为外接圆的圆心，所以点为边的中点，由平面向量的线性运算得，，

所以.

故答案为：14.

16．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为        .

【答案】

【分析】先由球的表面积求得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入万能求积公式，即可求解.

【详解】如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为，上底面截面小圆上一点，连接，

因为球的表面积为，解得，所以，

又因为且，

所以截面小圆半径,

根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；

（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；

【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，

由，可得，

即，解得，即，

所以；

（Ⅱ）依题意，

可得，即，

所以，

因为，

所以与的夹角大小是．

18．在一次校园诗朗诵比赛中，由10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组为选手打分．已知某参赛选手的得分如下：

(1)分别计算该选手在A组和B组得分的平均数；

(2)选择一个可以度量打分一致性的量，并对每组评委的打分计算该度量值，根据这个值判断A组与B组哪个是专业评委组，哪个是观众代表组？

【答案】(1)该选手在A组和B组得分的平均数均为8；

(2)选择方差作为度量值，组为专业组，组为观众组.

【分析】（1）利用平均数的定义求出该选手在A组和B组得分的平均数作答.

（2）求出该选手在A组和B组得分的方差，比较方差的大小作答.

【详解】（1）小组的打分中，选手得分的均值，

小组的打分中，选手得分的均值.

（2）由（1）知，该选手在A组和B组得分的平均数相同，于是选择方差度量打分一致性，

组数据的方差，

组数据的方差，

由以上数据知，组的打分方差较大，数据波动较大，所以组为专业组，组为观众组.

19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)若，且，求△ABC的面积；

(2)求的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.

（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.

【详解】（1）由，故，而，

所以，故.

（2）由，故，即，

由余弦定理知：，即，

所以，即，又，

故，

由，则或（舍），

所以，则，即，

，而，

所以，当时有最大值为.

【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.

20．为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”．为了解学生对“校本课程”工作的认可程度，学校随机调查了600名学生．根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中的值和第60百分位数；

(2)为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；

(3)若学生认可系数不低于0.85，“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．根据你所学的统计知识．结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理由．

【答案】(1)，85

(2)10

(3)“校本课程”工作需要进一步整改，理由见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出的值，再根据百分位数的计算规则计算可得；

（2）首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得；

（3）求出平均数，即可判断.

【详解】（1）由图可知：，

解得.  

因为内的频率为，

内的频率为，

所以第百分位数位于区间内，设为，

所以，解得，所以第百分位数为85.

（2）低于分的学生中三组学生的人数比例为，

则应选取评分在的学生人数为：（人）；

（3）由图可知，认可程度平均分为：

，

所以“校本课程”工作需要进一步整改.

21．今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．

(1)为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带总长为多少米？

(2)就餐区域的面积最小值为多少平方米？

【答案】(1)米

(2)平方米

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解.

【详解】（1）因为为等腰角形，且顶角为，所以，

在中，由，则，

由正弦定理，即，

，同理，在中，

则，由正弦定理可得，

，所以灯带总长为米.

（2）设，则，

由正弦定理可，

，

，

∴当即时，，

面积最小为，

所以就餐区域面积最小值为平方米.

22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.

(1)证明：若，直线平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，或

【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；

（2）利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；

（3）设，可表示点与，再根据线面夹角求得的值.

【详解】（1）

如图所示，在线段上取一点，使，连接，，

，

，

又，，

，四边形为平行四边形，

，

又，，

所以平面平面，

平面，

平面；

（2）

如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

又是中点，则，

所以，，，

设平面的法向量，

则，令，则，

设平面的法向量，

则，令，则，

所以，

则二面角的正弦值为；

（3）存在，或

假设存在点，设，即，，

由（2）得，，，且平面的法向量，

则，，

则，

，

解得或，

故存在点，此时或.