2022-2023学年吉林省长春市第五中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春市第五中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的除法和共轭复数的定义求解.

【详解】若，

则，所以.

故选：D

2．已知向量，，若与共线，则m的值为（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】向量，，则，，

而与共线，因此，解得，

所以m的值为.

故选：D

3．已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．，则

B．与异面，，则不存在，使得

C．，则

D．，则

【答案】A

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，因为，如下图，

若分别为面、面、面，且为，

显然面，则，故A正确；

对于B，如下图，为直线，为直线，为直线，

取的中点，连接，

所以四边形为，存在，使得，故B错误；

对于C，若，则相交、平行、异面，所以C错误；

对于D，若，则，所以D错误.

故选：A.

4．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．

【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．

.又动点Q在所在平面内运动，

所以，解得.

故选：B

5．下列命题中是真命题的是（    ）

A．一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同；

B．有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为；

C．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲；

D．一组数，，，，，，，，，的分位数为．

【答案】A

【分析】由平均数、中位数、众数的求法判断A；由分层抽样的性质判断B；由方差的求法以及性质判断C；由百分位数的求法判断D.

【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确；

对于B：设样本容量为，则，解得，故B错误；

对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；

对于D：因为，所以这组数据的分位数为，故D错误；

故选：A

6．正三棱台中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将正三棱台补全为正三棱锥，取的中点，连接，，则，则即为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得.

【详解】如图将正三棱台补全为正三棱锥，

因为平面，即平面，根据正三棱锥的性质可得平面，平面，

平面，所以，，又平面，，

又，所以为的中点，同理可得为的中点，为的中点，

取的中点，连接，，则，

所以即为异面直线与所成的角（或补角），

不妨令，则，，，

在中由余弦定理，

即，解得，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

7．在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正方体性质面面，结合题设知共面，根据已知向量的线性关系有，即可求值.

【详解】如下图，由正方体性质知：面面，要使面面，

∴在面上，即共面，又，，

∴，可得.

故选：D

8．三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案.

【详解】

如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接.

因为，，中点为，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面.

设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面.

因为，，

所以，，，.

设，，过作交于点，连接，

则，.

又平面，，

在中，有.

又在中，有.

所以，有，解得，

所以，.

所以，三棱锥外接球的表面积为.

故选：B.

【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上.

二、多选题

9．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ）

A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为

C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为

【答案】AB

【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A项；结合对立事件的概率关系可判断B项；再由相互独立事件的概率公式可判断C项；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D项.

【详解】对于A项，由独立事件的概率乘法公式可知，甲乙都研发成功的概率为，故A项正确；

对于B项，因为疫苗A研发失败的概率为，

所以疫苗A研发成功的概率为， 故B项正确；

对于C项，由独立事件的概率乘法公式可知，疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为，故C项错误；

对于D项，仅有一款疫苗成功的概率为，故D项错误.

故选：AB.

10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（    ）

A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成

C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元

【答案】ACD

【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.

【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确

由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误

由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，

周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确．

由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确

故选：ACD．

11．四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和平面所成的角为，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此确定正确选项.

【详解】是边长为的等边三角形，是以为直角的等腰三角形，

设的中点为，则，二面角的平面角为.

以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，设.

则，即，

，

平面的法向量为，

直线与平面所成角为，

则，

，

，

所以.

故选：AB

12．如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．平面

C．

D．与夹角的余弦值为

【答案】ABD

【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，连接，

由于分别是的中点，所以，

根据棱柱的性质可知，所以,

由于平面，平面，

所以平面，所以A选项正确.

B选项，，

，

，

所以，

由于平面，所以平面，B选项正确.

，

所以，即，所以C选项错误.

D选项，，，，

，

所以与夹角为，

则.

故选：ABD

三、填空题

13．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则      .

【答案】2

【分析】根据投影向量公式求得结果即可.

【详解】

在上的投影向量为，

所以.

故答案为：2.

14．已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为      ．

【答案】

【分析】首先利用几何体中的垂直关系求出，进一步求出截面，再求出周长．

【详解】长方体中，，点为的中点，且，如图所示：

设，由于点为的中点，则，,

由于，利用勾股定理，

即，解得，故，

设为平面与棱的交点，

则平面被长方体截得的平面图形为四边形，

连接，由于平面平面，平面平面，平面平面，

，又，，

为的中点，为的中点，

所以，，，，，

因此，截面图形的周长为.

故答案为：.

15．咸阳市的标志性建筑清渭楼，古朴典雅，蔚为壮观．为了测量清渭楼最高点M与其附近一观测点N之间的距离，取水平方向距离1200米的P，Q两点，测得，，，，其中点M，N，P，Q在同一铅垂面内，则M，N两点之间的距离为   米．

【答案】

【分析】先在中利用正弦定理求得的长，进而在中利用余弦定理即可求得M，N两点之间的距离

【详解】由题意知，，所以，

所以在中，米，米．

又，，所以．

在中，由正弦定理，得，

所以（米）．

在中，．由余弦定理得，

（米）．

故答案为：

16．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为        .

【答案】

【分析】基本事件总数n=15×15×15=3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.

【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数n=15×15×15=3375，

至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，

则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.

【点睛】概率的计算:

(1) 等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件（也可用排列组合计算事件个数）,直接套公式求概率；

(2)互斥（对立）事件、相互独立事件（条件概率）套公式求概率

(3)二项分布（超几何分布）直接套公式求概率.

四、解答题

17．共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图.

(1)求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率.

【答案】(1)，平均数75.5，中位数75

(2)

【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解．

（2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可．

【详解】（1）由题意知，解得.

满意度评分值的平均数；

设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75.

（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人），

抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，

满意度评分值在内的有（人），记为.

从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，

其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，

所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率.

18．已知的内角，，的对边分别为，，．

(1)若，，，求的面积；

(2)若，证明：．

【答案】(1)9

(2)证明见解析

【分析】（1）先由求出，然后利用三角形面积公式求解即可；

（2）由已知条件结合余弦定理可得，再利用正弦定理统一成角的形式，化简后可证得结论.

【详解】（1）因为，所以，即，

因为，

所以解得．

所以的面积．

（2）证明：因为，，

所以，化简得，

所以，

即，

所以，

所以．

因为，，

所以或（舍去），

所以．

19．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

(1)求证：平面ACF：

(2)求点B到平面ACF的距离．

【答案】(1)证明见详解.

(2).

【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.

（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.

【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,

设面的一个法向量为，，

可得，即，不妨令则,

平面.

（2），则点到平面的距离为.

20．直三棱柱中，，为的中点，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接并延长与交与，连接，由、为的中点可得为的中点，继而可以由中位线证得线线平行，则线面平行可证；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后求出法向量，继而用向量法求二面角的余弦值.

【详解】（1）连接并延长与交与，连接,

直三棱柱中,为的中点，

,即为的中点，

又为的中点,

,

又平面,平面,

平面.

（2）直三棱柱中，平面

,,

以为原点，以所在的直线分别为轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

,,,,

又为的中点，

,

,,,

设平面的法向量为,

即

令可得,

设平面的法向量为,

即

令可得,

则，

令平面与平面所成二面角为，且为锐角，

，

故平面与平面所成二面角的余弦值为.

21．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.

(1)若平面，证明：是的中点.

(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，且O为的中点，则E是的中点；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，列出与相关的方程，解出即可.

【详解】（1）证明：如图，连接交于点O，连接，

因为是正方形，所以O是的中点，

又平面，平面，平面平面，

所以，

因为O为的中点，所以E是的中点.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

设（），设，，,

，则，

则，，，

由且，可知是平面的一个法向量.

设为平面的法向量，则，

即，取，，，则，

，解得，即.