2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知=(1，2)，=(4，)，下列说法正确的是（    ）

A． B．⊥ C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的模的计算公式，两个向量的差与数量积的坐标运算，两个向量垂直、平行的条件逐一检验各个选项是否正确，从而得到答案.

【详解】错误；

故，正确；

故与不平行，错误；

，错误.

故选：

2．已知集合，，为使得，则实数a可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．e

【答案】A

【分析】先化简集合，再根据已知得到，解不等式即得解.

【详解】由题得，，

因为，所以.

所以.

故选：A

3．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.

【详解】

对应的点为，在第四象限，

故选：

4．在中，，，，则的面积为（    ）

A．24 B．18 C．12 D．9

【答案】C

【分析】根据平方关系求出，再由面积公式计算可得.

【详解】，，，

又，，

．

故选：C．

5．已知等差数列中，，，则数列的前5项和为（    ）

A．35 B．40 C．45 D．80

【答案】D

【分析】根据等差数列的定义，利用首项和公差，结合题意，建立方程，解得公差，利用前项和的计算公式，可得答案.

【详解】由等差数列，可设其公差为，

，解得，

数列的前项和.

故选：D

6．已知侧棱长为的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将正三棱锥放到棱长为的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.

【详解】如图可将正三棱锥放到棱长为的正方体中，

则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，

设外接球的半径为，则，即，即（负值舍去），

所以外接球的表面积.

故选：C

7．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】的解集即为的解集，画出与的图象即可求解.

【详解】令,可得,

在同一直角坐标系中画出与的图象：

由图可得，与的图象有两个交点，

又，，

由图可得的解集为,即的解集为.

故选:B.

8．已知，，，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得.

【详解】因为，即，

即，即，

所以，

所以

，

因为，

所以当时取最大值，最大值为.

故选：B

9．已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定.

【详解】充分性：设等比数列的公比为，

，，

，

可得或，

又，

当时，若为奇数，，

，，当为奇数时单调增，则无最大值，

当时，

，,单调增, 则无最大值；

必要性：当时，，又，则无最大值.

可得“”不是“无最大值”的必要条件；

由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件.

故选：A.

10．如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ）

①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.

【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形，

平面，平面，平面，

平面，又，所以与AM是异面直线，正确；

对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，，

又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；

对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面，

即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：

当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM，

四点共面，平面，，

即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图：

错误；

对于④，在正方形ABCD内，

所以，又平面ABCD，平面ABCD，

，平面，平面，

平面AEM，平面平面，正确；

故选：C.

【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状.

二、填空题

11．已知复数的模为5，则          .

【答案】

【分析】根据复数的模长公式，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，可得，且，解得.

故答案为：.

12．已知函数的最大值为2，则=          .

【答案】

【分析】利用辅助角公式可得，再求函数值即可.

【详解】函数，，

故函数的最大值为，由已知得，解得，

所以，

所以.

故答案为：.

13．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点是的中点，则三棱锥的体积为           .

【答案】

【分析】设底面，连接，则平面，再利用勾股定理求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】设底面，连接，由正四棱锥的性质可知平面，

又底面边长为，侧棱长为，所以，

则，

因为点是的中点，所以点到平面的距离，

所以.

故答案为：

14．已知函数在区间上是单调函数，则正数的一个取值为           .

【答案】（答案不唯一，只要满足即可）

【分析】首先分析函数在上单调递增，则在上单调递增且函数值大于等于，当时求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为在上单调递增，且当时，

又函数在区间上是单调函数，

则在上单调递增且函数值大于等于，

当时，且，

则，则在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

又，所以.

故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）

15．已知函数，取点，过作曲线的切线交y轴于，取点，过作曲线的切线交y轴于......依此类推，直到当时停止操作，此时得到数列.给出下列四个结论：①；②当时，；③当时，恒成立；④若存在k∈N*，使得，，…，成等差数列，则k的取值只能为3.其中，所有正确结论的序号是          .

【答案】②③④

【分析】对函数进行求导之后，利用导数的几何意义可以利用直线的点斜式方程写出切线方程，令，即可求出，判断出②正确；利用，求出，利用，可以判断出①错误；利用，构造函数，利用函数的单调性求出最大值，即可判断出③正确；假设存在正整数满足条件，利用等差数列的定义得到数列也为等比数列，公差为零，得出矛盾,再验证满足条件，从而④正确.

【详解】因为，所以则，

所以在点处的切线方程为，

令，得，

所以，所以②正确；

根据上式，令，则，解得，故①错误；

又当时，，

设，

则，

令，得令，得

则在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以

所以当时，，故③正确；

假设存在正整数使得，，…，成等差数列，设公差为，

则

所以，

可知该数列既是等差数列又是等比数列，

故但与矛盾，故该数列不是等差数列，

故不存在正整数使得，，…，成等差数列.

当时，

又由得，

令，

其中

故存在，使得即

所以存在，使得，，…，成等差数列，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、解答题

16．已知在中，.

(1)求；

(2)若，且，求边上的高.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求的值，由的范围即可求解；

（2）由余弦定理求出,过作延长线的垂线，垂足为，在中求即可.

【详解】（1）由及正弦定理可得，

即，

即，

所以.

因为,所以,所以.

因为，所以.

（2）因为，，

所以由余弦定理可得，

所以，即，

所以.

因为，所以.

因为，所以.

过作延长线的垂线，垂足为，

则边上的高.

17．已知首项为0的无穷等差数列中，，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前2n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）等差数列的公差为，由等比数列的性质列式可得或，验证可得，根据等差数列的通项公式即可求解；

（2），由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

因为，，成等比数列，所以，

即，即，解得或.

若，则，则，不能是等比数列中的项，故不符合题意.

所以，,

可得，，符合，，成等比数列，

所以.

（2），

所以

.

所以.

18．如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接、，设，连接，即可得到，从而得证；

（2）首先证明平面，得到，再证，即可得到平面，从而得证.

【详解】（1）在长方体中，，点和点在棱上，且，

连接、，设，连接，

则为的中点，又为的中点，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）在长方体中，，则为正方形，

所以，

平面，平面，所以，

，平面，所以平面，

平面，所以，

又，，，，

所以，所以，所以，

又，所以，

所以，

又，平面，

所以平面，又平面，所以.

19．已知函数，其中，有如下三个条件：条件①：；条件②：；条件③：.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.

(1)求的单调递增区间；

(2)若在区间上的最大值为1，求实数m的最小值.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得，分别选择条件①，②，③都可得到，再根据正弦函数的单调性求解即可；

（2）令，画出图象，数形结合即可求解.

【详解】（1）

.

若选①，

，

因为，所以，

所以，解得.

若选②，

，所以是的一个周期.

所以，即，

所以，

即.

因为，所以，所以，解得.

若选③，

 因为，所以为函数的对称轴，

所以，所以，

所以.

因为，所以.

综上，，所以.

令，解得.

所以的单调递增区间为.

（2）时，，

令，则在上的最大值为1，

画出在图象如图所示：

当，,

由图可知，要在上的最大值为1，

则，解得,

所以实数的最小值为.

20．已知函数，若函数在点处的切线方程为.

(1)求，的值；

(2)求的单调区间；

(3)当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.

【答案】(1)、

(2)单调递减区间为，，单调递增区间为

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（3）由（2）不妨设，则，则只需证明，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】（1）因为，所以，

因为函数在点处的切线方程为，所以，即，

解得.

（2）由（1）可得定义域为，

则，

因为，

所以当或时，当时，

所以的单调递减区间为，，单调递增区间为.

（3）由（1）可得当时的单调递减区间为，单调递增区间为，

则在处取得极小值，

因为当时，存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，

即与有两个交点，则，

不妨设，则，

要证，

即证，又，所以，

因为在上单调递增，

所以只需证明，

又，则只需证明，

令，

则

，

令，，则，

则在上单调递减，且，所以，

所以，即在上单调递减，

所以，

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

则.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21．给定正整数n，记S(n)为所有由2n个非负实数组成的2行n列的数表构成的集合.对于AS(n)，用，分别表示的第i行，第j列各数之和(i=1，2；j=1，2，...，n).将A的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A的一个残表.

(1)对如下数表A，写出A的所有残表A'，使得；

(2)已知AS(2)且(j=1，2)，求证：一定存在A的某个残表A'使得，均不超过；

(3)已知AS(23)且(j=1，2，...，23)，求证：一定存在A的某个残表A'使得，均不超过6.

【答案】(1)见详解

(2)证明见详解

(3)此题解析征解

【分析】（1）由题意，注意对残表的理解，可得出答案；（2）由AS(2)且(j=1，2)，可知，数表中每列两数的和为1，设为，；，，易发现，取值情况，分析可得证.（3）用反证法，可得证.

【详解】（1）解：根据残表的定义，数表A的所有残表A'，且满足如下：

（2）证明：由AS(2)且(j=1，2)，可知，不妨设数表如下：

显然，，.不难发现其残表满足：

，或，或，或

当，时， A的残表：

使得，均不超过.

当，时，A的残表：

使得，均不超过.

当，时，A的残表：

当，时，A的残表：

使得，均不超过.

当，时，A的残表：

使得，均不超过.

当，时，A的残表：

使得，均不超过.

综上，一定存在A的某个残表A'使得，均不超过.

（3）此题解析征解

【点睛】思路点睛：本题是新概念题，要准确理解数表以及残表的概念，采取从特殊到一般的方法，逐层突破.