2022-2023学年北京市怀柔区高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年北京市怀柔区高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

选C

2．在平面直角坐标系xoy中，角以ox为始边，终边经过点，则值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的定义求解即可.

【详解】因为角以ox为始边，终边经过点，

由三角函数的定义可知：.

故选：B.

3．化简的结果等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用向量加法法则及减法法则计算即可.

【详解】.

故选：D.

4．若，且是第二象限角，则值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由同角间的三角函数关系，求出.

【详解】因为为第二象限角，,

所以，

所以.

故选：B．

5．已知中，，则角A的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得：，则，

解得：，则或，

因为，所以，所以.

故选：A.

6．已知则满足（    ）

A．周期是，在上单调递增 B．周期是，在上单调递减

C．周期是，在上单调递增 D．周期是，在上单调递减

【答案】C

【分析】先利用余弦的二倍角公式化简可得周期，再利用余弦函数的单调性判断可得答案.

【详解】，所以周期；

当时，，

因为在单调递减，所以在单调递增，

所以在上单调递增.

故选：C.

7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数图象关于原点对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，

所以，

因为函数图象关于原点对称，，

所以，因为，所以的最小值是.

故选：C.

8．已知一条直线l和两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质来分析，进而得出答案.

【详解】A中，若，则与平行或相交，故A错误；

B中，若，则可能，故B错误；

C中，若，则可能，故C错误；

D中，若，则，故D正确.

故选：D .

9．已知非零向量，那么“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由可得向量与平行且同向即可得到答案

【详解】由及向量的加法法则，可得向量与平行且同向，且可得向量，平行且同向或者反向，

因此“”是“”的必要不充分条件.

故选：B．

10．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.

【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，

所以，因为D为BC的中点，所以，

，设，所以，

所以，可得，，

所以，

因为，所以.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.

二、填空题

11．某圆柱体的底面半径为2，母线长为4，则该圆柱体的表面积为           ．

【答案】

【分析】算出圆柱的侧面积和上下底面积可得答案.

【详解】由题知圆柱的底面半径为，母线长为，

所以，该圆柱的侧面积为，

圆柱的上下底面面积都为，

所以则该圆柱体的表面积为.

故答案为：.

12．神州十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点         公里．

【答案】

【分析】根据题意做出数学模型图，根据余弦定理即可求解.

【详解】  

记着陆点为点C，

如图，公里，公里，，，

，

在中，由余弦定理得，

解得公里.

故答案为：.

13．在平行四边形ABCD中，点P满足，若，则的值是        ．

【答案】/

【分析】根据平面向量的基本定理及向量的加、减法法则得出结果.

【详解】由得出点P为的中点，

在平行四边形ABCD中，，，，

所以，，则.

故答案为：.

三、双空题

14．已知函数的部分图象如图所示．则            ；若，且，则的值为           ．

【答案】         

【分析】由题意先求出函数的解析式，再把代入可得函数值，由，可得的取值，再根据，确定的值，从而得出答案.

【详解】由题意可知，，所以，

则，所以函数为，又因为函数在处取得最大值，

即，，

，当时，满足条件， ；

故函数为，则；

当时，，或，

即或，

若，且，

即当时，，，

故.

故答案为：；.

四、填空题

15．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是          ．

①不可能为等腰三角形；

②平面PEF；

③当E为AB中点时，三棱锥体积的最大值为；

④存在点E，P，使得．

【答案】②③④

【分析】证明,即可判断①；根据线面平行的判断定理，判断②；表示三棱锥的体积后，即可判断③；利用垂直关系转化，结合条件即可判断④，由此可得结论.

【详解】对于①，因为是等腰直角三角形，所以三角形PEF也是等腰直角三角形，则，

因为，，所以，且

当时，,所以，

此时是等腰三角形，故①错误；

对于②，因为，平面，平面，

所以平面，故②正确；

对于③，当E为AB中点时，则为中点，，

当底面的面积一定时，

若平面平面，即平面时，三棱锥的体积最大，

设，

，故③正确；

对于④，因为，且，，

且平面，平面，所以平面，平面，

所以平面平面，且平面平面，

如图，过点作，连接，

则平面，平面，所以，

若，，平面，平面，

所以平面，平面，

所以，

如图，，延长，交于点，

则和都是等腰直角三角形，

则，点到直线的距离等于，

这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，

设，则，则，

则存在点E，P，使得，故④正确；

故选：②③④

【点睛】思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，最值问题，本题的关键是④，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.

五、解答题

16．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，．

(1)求；

(2)若，求m值；

(3)若与的夹角为钝角，求m的取值范围．

【答案】(1)，，

(2)

(3)且

【分析】（1）根据向量坐标表示再计算模和数量积即可；

（2）应用向量平行公式求参即得；

（3）因为夹角为钝角计算数量积小于0，且向量不共线即可得范围.

【详解】（1）由条件可知：       

（2）∵

∵，∴∴，

（3）∵与的夹角为钝角

∴且,    与不平行

∴且

17．如图，正方体的棱长为2．

(1)证明：平面；

(2)证明：平面；

(3)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；

（2）由线面垂直的判定定理可得答案；

（3）设，由已知条件可得即为二面角的平面角，在中计算可得答案.

【详解】（1）在正方体，且，

∴为平行四边形，∴，

∵平面，平面

∴平面；

（2）∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，

∴，

∵正方形ABCD中，，

又∵平面，平面，，

∴平面；

（3）∵在正方形ABCD中，设，连接，

∴，，

∵中，，为等腰三角形，∴，

∴即为二面角的平面角，

∵在中，，

∴，即二面角的正弦值为.

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若，求函数的值域；

(3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，根据周期公式求得结果；

（2）根据，求出整体角的取值范围，再根据正弦函数的单调性求出结果；

（3）根据整体角的范围及正弦函数的零点求得结果.

【详解】（1），

所以函数最小正周期.

（2）当时，，

则，

，，

因此，函数在区间上的值域为.

（3）∵，

由得，

若函数在上有且仅有两个零点，则，

则，解得.

即.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．

(1)求的值；

(2)求c边及的面积．

【答案】(1)

(2)，的面积为

【分析】（1）在中由正弦定理可得答案；

（2）方法一：根据平方关系求出、，可得，利用正弦定理可得，再由可得答案；

方法二：由余弦定理求出，再由平方关系求出，可得.

【详解】（1）因为，，

所以在中，由正弦定理得，

所以，

故；

（2）方法一：

由（1）知，所以，

所以，

又因为，所以，可得，

所以，

在中，，

所以，；

方法二：由余弦定理，

，或，

当时，即B为钝角，

∵，∴与B为钝角矛盾，

∴舍，∴，

∵，∴，可得，

.

20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求角B的大小；

(2)若________，求的周长．

从①，②，的面积为；③．三个条件中任选一个作为已知，使存在并作答．

【答案】(1)

(2)选①，存在，周长为18；选②，存在，周长为3；选③，不存在

【分析】（1）在中由正弦定理可得答案；

（2）选①求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出可得答案；

选②由求出，在中由余弦定理得可得答案；

选③由正弦定理可知：可得答案．

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

∵，代入化简得，

∵，∴且，

，，

∵中，∴，

，

∵，∴；

（2）选①∵ ，，∴，

∴由正弦定理得，

∴由余弦定理，

∴即，

∴，

∵时，与已知矛盾，∴舍去，

周长；

选②∵，由，得，

在中，由余弦定理，得，

∴，∴，

∴的周长为3，

选③由正弦定理可知：，

∴A无解，即无法构成三角形．

21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．

(1)证明：平面平面；

(2)设平面平面于直线l，证明：；

(3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)存在，

【分析】（1） 由面面垂直的线面垂直的判定定理即可证明；          

（2） 由线面平行的性质定理即可证明；        

（3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案.

【详解】（1）∵底面，平面，∴         

又底面为正方形，∴                            

而，平面， ∴平面，                            

又∵平面PBD，∴平面平面.

（2）在正方形中，，平面，平面，

∴平面 ，∵平面，平面平面，

∴.

（3）存在点F在BC的处，使得平面．

在线段PA上取点K，使连接KE，KB，EF．

∵中，，即，

∴，且，

在正方形中，F在BC的处，∴，且，

∴，且，∴为平行四边形，

∴，又平面，平面，∴平面，

在AD的处取点M，连接．

中，点E，M分别为的处，∴，且

∵平面，∴平面，

∴EF在平面上的射影MF，

∴即为EF与底面所成角，                          

在中，，若，∴