2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知复数，则        .

【答案】

【分析】根据复数的概念可得结果.

【详解】因为，则复数的虚部为，即.

故答案为：.

2．用集合符号表述语句“平面经过直线”：           .

【答案】

【分析】根据线面关系可得结果.

【详解】因为平面经过直线，则.

故答案为：.

3．把化为弧度          .

【答案】/

【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案.

【详解】由题意得，

故答案为：

4．已知函数的最小正周期为，则          ．

【答案】

【分析】根据正切型三角函数周期公式求得正确答案.

【详解】依题意，函数的最小正周期为.

故答案为：

5．函数的单调减区间是         ．

【答案】

【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.

【详解】由，

得，

所以函数的单调减区间为.

故答案为：.

6．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为         .

【答案】

【分析】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标.

【详解】因向量所对应的复数是，

所以，

因，所以.

故答案为：.

7．在棱长为的正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为         .

【答案】

【分析】取的中点，连接、、，分析可知直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理可求得结果.

【详解】取的中点，连接、、，如下图所示：

因为，，所以，四边形为平行四边形，故，

因为、分别为、的中点，所以，，所以，，

所以，直线与所成角为或其补角，

在中，由勾股定理可得，，，

由余弦定理可得，

因此，异面直线与所成角的大小为.

故答案为：.

8．已知，且与垂直，则实数=      .

【答案】

【分析】求得向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.

【详解】由题意得，

由与垂直，可得，

即，

故答案为：

9．已知复数，则         .

【答案】4

【分析】化简，进而求得.

【详解】

，

所以.

故答案为：

10．在复数范围内分解因式=               .

【答案】

【分析】先求得的根，然后进行因式分解.

【详解】由得，

解得，

所以.

故答案为：

11．若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为        ．

【答案】(0，2)

【解析】先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出.

【详解】因为在基底下的坐标为(－2，2)，

即，

令，

所以，即，

所以在基底下的坐标为(0，2)．

故答案为：(0，2).

【点睛】本题考查向量基本定理的坐标表示，属于基础题.

12．若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为              .

【答案】

【分析】先求得，然后根据投影的知识求得正确答案.

【详解】设，

则，

，

联立方程组得①，

由于向量绕原点按逆时针方向旋转得到，

所以方程组①解得，

，

所以在方向上的投影为：

.

故答案为：

二、单选题

13．当时，化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】由于，所以，

.

故选：B

14．下列命题为真命题的是（    ）

A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面

B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线

C．若两直线、都与平面平行，则

D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线

【答案】D

【分析】根据已知条件判断各选项中线线、线面位置关系，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，记经过直线的平面为，

若两直线、互相平行，则或，A错；

对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错；

对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错；

对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对.

故选：D.

15．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案.

【详解】由于，所以对应点在单位圆上，

表示单位圆上的点和点的距离，

其最小值为.

故选：D

16．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设，，∴，，

，∴.

【解析】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．

三、解答题

17．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值.

【答案】

【分析】由题意可得，求出的取值范围，求出实系数方程的两个虚根，结合可得出关于的等式，解之即可.

【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，

则，解得，

由可得，可得，解得，

不妨取，，

所以，，解得，合乎题意.

因此，.

18．已知，与的夹角为，求.

【答案】

【分析】通过平方的方法求得.

【详解】，

.

19．用向量方法证明两角差的余弦公式．

【答案】证明见解析

【解析】在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可.

【详解】证明：如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以x轴的非负半轴为始边作角,,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B．则

,．

由向量数量积的坐标表示,有

．

设与的夹角为,则

．

所以．

另一方面,易得．所以

．

于是．

【点睛】本题主要考查了利用向量证明两角差的余弦公式,属于中等题型.

20．如图，在长方体中，已知，，为棱的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的正切值．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）根据长方体的性质，点到平面的距离就是，再根据四棱锥的体积公式即可解得.

（2）连接，，可证得直线与平面所成角就是，根据即可求得.

【详解】（1）因为长方体，所以点到平面的距离就是，

故四棱锥的体积为．

（2）连接，，因为长方体，且，

所以平面，故直线与平面所成角就是，

在中，由已知可得，，

因此，，

即直线与平面所成角的正切值为．

【点睛】本题主要考查了空间几何中四棱锥的体积计算，直线与平面所成的角的计算.

21．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并作答.

在中，内角所对的边分别是，且______.

(1)求角B的大小；

(2)若点D满足，且，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）选条件①：由正弦定理得化简得，结合余弦定理求得，即可求解；

选条件②：由余弦定理化简得到，结合余弦定理求得，即可求解；

选条件③：由余弦定理证得得到，即可求解；

（2）由，得到，由余弦定理和基本不等式，求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：若选条件①：因为，由正弦定理得，

所以，整理得，

所以，因为，所以.

若选条件②：因为，由余弦定理得，

化简得，所以，

因为，所以.

若选条件③：因为，由余弦定理得，

化简得，因为，所以.

（2）解：因为，所以，

在中，由余弦定理得，

即，

所以，当且仅当，即，时等号成立，所以，

所以，

所以面积的最大值为.