2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学高一（实验班）下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学高一（实验班）下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．（1，3）

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合B，然后再求两集合的并集即可.

【详解】由，得，解得或，

所以或，

因为，

所以，

故选：C

2．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数运算即可求得复数，再得共轭复数，根据复数的几何意义即可得答案.

【详解】，，，

故在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D．

3．已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解.

【详解】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，，

从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件，

当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形，

从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件.

故选：A

4．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，即可得到残差.

【详解】将代入，，

去除两个样本点和后，所以，，，

故去除样本点和后的回归直线方程为．

当时，，则样本的残差为．

故选：B

5．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.

【详解】由点在单位圆上，则，解得，

由锐角，即，则，

故，

所以

.

故选：D

6．为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ）人

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】B

【分析】设出男性人数，列出列联表，算出的观测值表达式，列出不等式求解作答.

【详解】设男性人数为，依题意，得列联表如下：

则的观测值为，

因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，

于是，即，解得，而，因此

故选：B

7．某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.

【详解】解：设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,

由题得,,

所以.

故选：C

8．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】由余弦定理可得，则，

由正弦定理可得

，

因为为锐角三角形，则，，所以，，

又因为函数在内单调递增，所以，，可得，

由于为锐角三角形，则，即，解得，

，

因为，则，

因为存在最大值，则，解得.

故选：C.

【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用和的最值直接求；

②把形如的三角函数化为的形式求最值；

③利用和的关系转换成二次函数求最值；

④形如或转换成二次函数求最值.

二、多选题

9．下列命题中真命题是（    ）

A．设一组数据的平均数为，方差为，则

B．已知随机变量，若，则

C．两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强

D．若随机变量服从正态分布，且，则

【答案】AD

【分析】利用方差的定义计算判断A；利用二项分布方差公式及性质计算判断B；利用相关系数与相关性大小的关系判断C；利用正态分布的对称性求出概率判断D作答.

【详解】对于A，依题意，，方差

，A正确；

对于B，由，得，由，得，

因此，解得，B错误；

对于C，两个变量的相关系数的绝对值（不超过1）越大，它们的相关程度越强，C错误；

对于D，随机变量服从正态分布，且，

则，D正确.

故选：AD

10．已知函数的导函数的部分图象如图所示，其中点分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，则（    ）

A．

B．图象的对称轴为直线

C．函数在上单调递增

D．将的图象向右平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象．

【答案】BCD

【分析】求出，结合函数图象求出，再逐项分析判断作答.

【详解】函数，则，函数的周期，，

而，即有，又，于是，

因此，，A错误；

由，得，则图象的对称轴为直线，B正确；

当时，，余弦函数在上单调递增，

因此函数在上单调递增，C正确；

将的图象向右平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，

得的图象，即函数的图象，D正确.

故选：BCD

11．如图，已知正六边形的边长为1，记，则（    ）

A．

B．

C．

D．在方向上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】连接交于，利用向量加法判断A；利用数量积定义及运算律计算判断B；利用数量积定义计算判断C；求出投影向量判断D作答.

【详解】正六边形的边长为1，

对于A，连接交于，则为正三角形，且为的中点，，

而，则，，

所以，A不正确；

对于B，，，，B正确；

对于C，，则有，因此，C正确；

对于D，，，，

向量在方向上的投影向量为，D正确.

故选：BCD

12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．恒成立

C．，

D．，且，则

【答案】ACD

【分析】通过计算和即可判断A；求出和的值域，即可判断B；首先判断函数的单调性，再设，，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断C；不妨设，由在上单调递增，得出，即可判断D．

【详解】对于A：，，

，

，

所以，故A正确；

对于B：设，则，

则，

，当且仅当，即时等号成立，

所以，

所以，故B错误；

对于C：因为，

所以在上单调递增，

设，，

则，

因为，

所以，

所以在上单调递增，

所以，即，

所以，，故C正确；

对于D：不妨设，则，

由C得，，在上单调递增，且，

又因为，即为上奇函数，

所以在上单调递增，且，

所以在上单调递增，

所以，

即，

所以，故D正确，

故选：ACD．

三、填空题

13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为          ．

【答案】7200

【分析】先排5个独唱节目，在五个节目之间形成的空位不包括第一个中，由插空法再排3个舞蹈节目，根据分步计数原理可得答案.

【详解】先排5个独唱节目有种排法，

在五个节目之间形成的空位不包括第一个中，放入3个舞蹈节目有种排法，

根据分步计数原理可得不同的排法总数为种.

故答案为：.

14．向量，且，则          ．

【答案】/0.8

【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答.

【详解】由，得，即，而，则，即，

以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，

则，于是，有，

所以.

故答案为：

15．已知，则的最小值为          ．

【答案】/

【分析】设，，结合已知，把用的正余弦表示，再借助三角函数性质求解作答.

【详解】设，，则，而，显然，

因此

，其中锐角由确定，

函数，当时，，当时，，

因此，即有，

所以的最小值为.

故答案为：

16．已知当时，有，若对任意的都有，则      .

【答案】228

【分析】由得到，则可把化为，由为展开式中的系数即可求出.

【详解】当时，有，

所以，

则，

则为展开式中的系数，

因为，所以.

故答案为：228

四、解答题

17．已知中，是边（含端点）上的动点．

(1)若点为与的交点，请用表示；

(2)若点使得，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三点共线，令，由得，然后由C、O、Q三点共线，求出作答.

（2）由（1）中信息，设，则，再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律，求出，借助函数的单调求解作答.

【详解】（1）因为，则 ，又A、O、P三点共线，有，，

又，即有，而C、O、Q三点共线，于是，解得，

所以.

（2）由（1）知，，而，设，则，

由，得，即，

整理得，即，

于是，显然函数在上单调递增，

因此，

所以的取值范围.

18．的内角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)设，当的值最大时，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边转角，再结合条件即可求出结果；

（2）根据条件，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用边转角得到，再根据条件得到，进而求出，再利用，求出，再求出，利用面积公式即可求出结果.

【详解】（1）由题意在中，，，由正弦定理得，

又因为，故，故，

又，所以，得到.

（2）由题意及（1）知，，，由正弦定理知外接圆直径，

故

，

，                

其中，且，

因为，故，而，

故的最大值为1，此时，即

故，，

所以，            

又，

故，            

此时.

19．如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．

(1)若点为的中点时，求的长；

(2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为

【答案】(1)；

(2)存在，点为的中点.

【分析】（1）取的中点，结合已知，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

（2）借助（1）的坐标系，确定点的坐标，借助共线向量表示出的坐标，利用空间向量结合线面角的正弦求解作答.

【详解】（1）在三棱锥中，，取的中点，连接，则，

而平面平面，平面平面，平面，则平面，

在平面内过作，则平面，于是两两垂直，

以为原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

而，则，

，线段中点，

于是，由，得，

解得，而，则，即，

所以.

（2）由（1）知，当时，点，，

由为线段上的动点，得，，即点，

则，显然平面的法向量，令直线与平面所成的角为，

则，解得，即点为的中点，

所以当点为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知向量，其中，若函数的最小正期为．

(1)求函数在上的单调递增区间；

(2)若关于的方程在有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，再利用三角恒等变换求出函数的解析式，并求出单调递增区间作答.

（2）由（1）结合三角恒等变换化简方程，再利用换元法借助二次方程在闭区间上有解求解作答.

【详解】（1）由，，

得，

由函数的最小正周期为，得，解得，则，

由，得，

而，当时，，当时，，

所以函数在上的单调递增区间是，.

（2）由（1）知，，

，

，

方程，

即方程，

由，得，令，

因为，则，

原方程化为，整理得，

因此原方程在上有解等价于方程在上有解，

显然，

当时，；当时，令，，

当时，，显然函数对单调递减，

当时，，即有，从而；

当时，，显然函数对单调递增，对单调递减，

当时，，当时，，即有，从而，因此，

所以实数的取值范围是.

21．为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度.某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为.

(1)若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)当，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

【答案】(1)

(2)理论上至少要进行19轮竞赛

【分析】（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；

（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率P，通过基本不等式求的范围，再利用二次函数的性质分析P的最大值，结合二项分布期望值公式即可求解.

【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有：

甲答对1次，乙答对2次的概率；

甲对2次，乙答对1次的概率；

甲答对2次，乙答对2次的概率

故所求的概率.

（2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率

由基本不等式，当且仅当时，等号成立，

令

则，

当时，，设他们小组在轮竞赛中获“优秀小组”的次数为，

则，由，得，

所以理论上至少要进行19轮竞赛.

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若都有，求的取值范围．

【答案】(1)函数是R上的增函数；

(2).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再判断导数值正负作答.

（2）求出函数的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.

【详解】（1）当时，函数的定义域为R，

，

所以函数是R上的增函数.

（2）函数，，

求导得，

当时，，即函数在上单调递增，，，因此；

当时，令，求导得，

函数在上单调递减，，

则存在，使得，当时，，在上单调递增，

当时，，即，

因此当时，，即，不符合题意；

当时，，不符合题意，

综上得，

所以的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.