2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出并化简集合B，利用集合的补集和交集运算即可得出答案.

【详解】由已知得，，所以，从而A正确；

故选：A

2．已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据点坐标得向量，结合方向向量的定义以及向量共线即可求解.

【详解】由题知，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．D选项中的向量与线，所以是直线的方向向量．

故选：D．

3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）

A． B．

C．或 D．与的位置关系不能判断

【答案】B

【分析】观察到的直线的方向向量与平面的法向量共线，由此得到位置关系．

【详解】解：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，

显然它们共线，所以．

故选：B．

4．使“”成立的充要条件是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的概念求解.

【详解】对A，若，则成立，即充分性成立，

反之，若，则不一定成立，

所以是成立的一个充分不必要条件，不满足条件；

对B，当时，由得，则不成立，

即不是充分条件，不满足条件；

对C，由，若，，则，则不一定成立，

所以不是的充分条件，不满足条件;

对D，由可得，则是成立的充要条件，满足题意.

故选:D.

5．已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是.若的夹角是，且母线的长是高的2倍，则该圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可推得圆锥的母线，.作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径，然后代入圆锥的体积公式，即可得出答案.

【详解】设圆锥的母线长是，过母线的截面即为，

由已知可得，解得，

所以高.

作出圆锥的轴截面如下图为等腰三角形，底面圆的圆心为，半径，

如图有，，所以，即，

所以该圆锥的体积是.

故选：B.

6．已知函数，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：C.

7．如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】在直观图中，利用余弦定理求出，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答.

【详解】在中，，，由余弦定理得：

，即，而，解得，

由斜二测画图法知：，，

在中，，所以.

故选：C

8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，由题意计算得外接圆的半径，从而计算出外接球的半径，根据球的表面积公式求得的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即可.

【详解】设，因为，所以.

于是（是外接圆的半径），.

又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，

所以球的半径为.

所以球的表面积为，解得.

因此.

于是直三棱柱的表面积是

.

故选：D.

二、多选题

9．下列选项中哪些是正确的（    ）

A．

B．的最大值为1

C．

D．复数可能为纯虚数

【答案】AC

【分析】由向量加法法则判断A；辅助角公式化简，结合正弦型函数确定最值判断B；应用二倍角正弦公式化简求值判断C；由纯虚数定义列方程组求参数即可判断D.

【详解】A：，正确；

B：，故最大值为，错误；

C：，正确；

D：若为纯虚数，则，显然无解，错误.

故选：AC

10．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ）

A．直线共面 B．直线相交

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】

由于分别是的重心，所以分别延长交

于中点.因此正确.

因为，所以，因此.

直线相交，B正确.

因为是的重心，所以，因此，C不正确.

因为，所以.因此，D正确.

故选：ABD.

11．在中，角的对边分别是，，，且，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由已知可得.分别求出当，以及时，的值，根据余弦定理，即可得出答案.

【详解】因为，所以.

当时，由余弦定理可知，

，整理可得，，

解得，或（舍去），

所以，由余弦定理可得；

当时，由余弦定理可知，

，整理可得，，

解得，或（舍去），

所以，由余弦定理可得.

综上所述，，或.

故选：CD.

12．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数在上单调递减

C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称

D．若圆的半径为，则函数的解析式为

【答案】AC

【分析】由中心对称得到周期，从而得，由可得，从而可判断A，B，D，结合平移后的解析式可判断C.

【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为，

所以的最小正周期，故A正确；

对于B，由周期可得，又，

即，，且，

所以，因此，由，

可得，

所以函数在上不单调，故B错误；

对于C，函数的图像向左平移个单位后，

得到函数，

令，则，

当时，，故关于直线对称，故C正确；

对于D，若圆半径为，则，所以，

函数解析式为，故D错误．

故选：AC.

三、填空题

13．已知，则          .

【答案】-3

【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.

【详解】∵，∴，

故答案为：-3.

14．已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为         ；

【答案】

【分析】求向量在法向量上的投影向量的长度即可得结论.

【详解】设点到平面的距离为，

因为，平面的法向量为，

所以点到平面的距离为向量在法向量上的投影向量的长度，

所以

又，，

所以，

故答案为：.

15．设点是外接圆的圆心，，则的值是          .

【答案】

【分析】作出辅助线，得到⊥，变形得到，从而列出方程，求出，再由正弦定理得到答案.

【详解】设点是边的中点，连接，则⊥，

则

，

即.因此.

故答案为：

16．依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是          .

【答案】

【分析】作出图形，根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的体积计算公式即可求解.

【详解】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，

如图，

该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为，所以该正八面体的体积是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数为虚数单位．

(1)求；

(2)若，求的共轭复数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数减法运算求，再由模的公式求结论；

（2）根据复数运算法则求，结合共轭复数定义求结论.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

（2）由，

所以复数的共轭复数．

18．已知，．

(1)当为何值时，与垂直？

(2)若，且、、三点共线，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用向量坐标运算求出与的坐标，再利用垂直可求；

（2）先利用向量坐标运算求出，利用向量平行可求.

【详解】（1），，

，

又与垂直，得，即；

（2），，

、、三点共线，，

则，解得：．

19．在中，分别是角所对的边，且满足．

(1)求角的大小；

(2)设向量，向量，且，判断的形状．

【答案】(1)；

(2)直角三角形.

【分析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）由，可得，即有，，即可得结论.

【详解】（1）解：因为，

所以，

因为，

所以；

（2）解：因为，，且，

所以，

所以，

所以或（舍），

当时，，

所以为直角三角形．

20．如图，在正方体中， E、F分别是，CD的中点，

（1）求证：平面ADE；

（2）求向量的夹角.

【答案】（1）证明见解析；（2）150°.

【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，证明＝0，＝0即可；

（２）由求解.

【详解】以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

（1）不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），

则＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），

则＝0，＝0，

，.

平面ADE.

（２）（1，1，1），C（0，1，0），

故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），

＝－1＋0－＝－, ，，     

，

则.

21．已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．

(1)求的解析式；

(2)在中，角A，，的对边分别为，，，若，，的面积为，求边长的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式化简，再结合三角函数图象的变换计算即可；

（2）由题意结合三角形面积公式先求，再由余弦定理计算.

【详解】（1）由题意可得：

的最小正周期为，且，，．

．

将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，

得到函数的图象，

故；

（2）由1知，，

，．

的面积为，，

又，，得．

由．

得．

22．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.

(1)证明：平面；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线与平面的位置关系计算直线方向向量和平面法向量，即可证明；

（2）根据三棱锥的体积求得三棱柱的高为，利用向量法先求二面角的余弦值，再求正弦值.

【详解】（1）证明：在三棱柱中，平面，，，.

所以，则，则，则如下图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，

设，则

,

所以，，

设平面的一个法向量为，

所以，令，则，即，

所以，得，

又平面，所以平面；

（2）三棱锥的体积，

解得，则，

由（1）知平面的法向量为，

设平面的一个法向量为，，

所以，令，则，即，

则，

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

于是，

故二面角的正弦值为.