2022-2023学年福建省宁德第一中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省宁德第一中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

2．已知，，，则（    ）

A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线

C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线

【答案】B

【分析】根据向量线性运算求，由此证明，根据向量共线性质判断结论.

【详解】，，

，

，，

由平面向量共线定理可知，与为共线向量，

又与有公共点，，，三点共线，

故选：B．

3．在平行四边形中，为上一点，且，记，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由平面向量的运算法则解题即可.

【详解】如图，

．答案：

【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，对此类题目，常用平行四边形法则以及三角形法则来处理，属于基础题型.

4．已知，，点是线段上的点，，则点的坐标（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标.

【详解】设，则，

因为，故，解得，故.

故选：A.

5．在中，若，，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理即可求解

【详解】根据正弦定理有，结合，，，

则．

故选：A

6．平面向量，满足，，，则在上投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解.

【详解】，

其中，所以，解得，

则在上投影向量为.

故选：C

7．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（    ）

A．，，，有两解 B．，，，有一解

C．，，，有一解 D．，，，无解

【答案】D

【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.

【详解】因为，，如图于，

由直角可得.

当或时，有一解；

当时，无解；

当时，有两解.

结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.

故选：D

8．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决

【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，

，，，

，，，

设点为，，，

，

，，，，，

，

，①

直线的方程为，②，

联立①②，解得，

此时最大，

，

故选：．

【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题

二、多选题

9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（    ）

A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限

C． D．

【答案】AD

【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.

【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；

对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；

对于C：，则，C错误；

对于D：，则，D正确.

故选：AD.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，且与共线，则

B．若，共线，则存在实数使

C．若A，B，C三点共线，则向量，，都共线

D．若，，且，则

【答案】CD

【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据题意得到存在非零实数使得向量，故C正确；D选项，根据平行得到方程，求出.

【详解】A选项，若，，满足与共线，但不满足，A错误；

B选项，若，，满足，共线，但不存在使，B错误；

C选项，若A，B，C三点共线，则存在非零实数使得向量，故，，都共线，C正确；

D选项，若，，且，则，解得，D正确.

故选：CD

11．下列说法中错误的为（    ）

A．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．非零向量，，满足且与同向，则

D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°

【答案】AC

【分析】A选项，得到且与不同向共线，列出不等式，得到答案；B选项，计算得到，平行，B正确；C选项，两向量不能比较大小；D选项，设，计算出，，利用夹角余弦公式计算出答案.

【详解】A选项，，

因为与夹角为锐角，所以且与不同向共线，

故，且，

解得且，故实数的取值范围是，A错误；

B选项，因为，故向量，平行，

不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

C选项，两个向量不能比较大小，C错误；

D选项，不妨设，故，

解得，

则，所以，

故，

因为，所以，则与的夹角为，D正确.

故选：AC

12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则的外接圆的面积为

B．若，且有两解，则b的取值范围为

C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为

D．若，且，O为的内心，则的面积为

【答案】ACD

【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.

【详解】因为，所以由正弦定理，得，

即 ，

因为，所以，且，所以.

选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，

所以，

所以的外接圆的面积为，选项A正确；

选项B：由余弦定理得，

将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，

故 ，解得b，所以选项B错误；

选项C：由正弦定理，得 ，即，

因为，所以，

因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，

所以，故选项C正确；

选项D：因为，由正弦定理得，

因为，所以，

所以由正弦定理，得，即，

所以，

即，所以，

所以，

又因为，所以，故，，解得 ，

因为，所以，

即是直角三角形，所以内切圆的半径为，

所以的面积为，选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

三、填空题

13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是      ．

【答案】

【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.

【详解】复数对应点,复数对应点，

则.

故答案为：

14．在中，若，，则的形状是        .

【答案】等腰直角三角形

【分析】利用正弦定理将角化边，在结合勾股定理可知，又从而可知，即可判断形状.

【详解】解：由，利用正弦定理，得，

故是直角三角形，且，

∴，，∴，

由，可得，

∴，由，∴，

∴，，

∴为等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形

15．设向量，不平行，向量与平行，则实数         ．

【答案】

【详解】因为向量与平行，所以，则所以．

【解析】向量共线．

四、双空题

16．已知扇形半径为，，弧上的点满足，则的最大值是  ；最小值是  ；

【答案】         

【详解】以OB为x轴，过O做OB的垂线作y轴，建立平面直角坐标系，

,,

则,

所以，

，（）.

=

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知点，，，M是线段的中点.

(1)求点M和的坐标：

(2)若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标；

（2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案.

【详解】（1）是线段的中点，

点的坐标为，

故；

（2）设，则，

因为与平行，所以

解得，

点的坐标是.

18．根据要求完成下列问题：

(1)关于的方程有实根，求实数的值；

(2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设方程的根为，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，可得答案；

（2）写出的共轭复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，可得答案.

【详解】（1）设是其实根，代入原方程变形为，

由复数相等的定义，得，

解得；

（2）由题意得，且对应的点在第一象限，

∴，即，解得，

故实数的集合为.

19．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；

(2)求的余弦值.

【答案】(1)

(2)的余弦值为

【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2) 与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.

【详解】（1）又已知为的中点，

所以，

所以，

所以，

又，，，

所以，

所以，

（2）因为为的中点，所以，

又，

所以,

所以，

，

所以，

又与的夹角相等，

所以，

所以的余弦值为.

20．如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.

(1)求两点间的距离；

(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）

【答案】(1)30海里

(2)南偏东；小时

【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；

（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.

【详解】（1）依题意得，，

所以，

在中，由正弦定理得,

,

故（海里），

所以求两点间的距离为30海里.

（2）依题意得，

在中，由余弦定理得，

所以（海里），

所以救搜船到达C处需要的时间为小时，

在中，由余弦定理得 ,

因为，

所以，

所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒

21．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．

（1）若，求的面积；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）∵，∴

，

∵，∴，∴

∵，，∴，

∴

（2）由正弦定理可得：

其中，，，为锐角，因为为锐角三角形，则

从而，得，，

所以所以，从而的取值范围为

22．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．

（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米.

【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值.

（2）（i）利用正弦定理求得；

（ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值.

【详解】（1）如图，在中

由余弦定理得，，

所以

所以，（当且仅当时等号成立）

故两机器人运动路程和的最大值为

（2）（i）在中

由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故，

由正弦定理可得

所以

（ii）设，则，

由余弦定理可得，

所以

所以

由题意得对任意恒成立，

故，当且仅当时取到等号．

答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．

【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法.