2022-2023学年湖北省襄阳市第三中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省襄阳市第三中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．

【详解】，

复数为“等部复数”，

，

故选：B．

2．在中，点，满足，，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由已知得，由此能求出结果．

【详解】

在中，点，满足，，

，

，，

．

故选：B．

3．由祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可.

【分析】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，

反之，当成立时，不一定有成立，

比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

【详解】由正弦定理可得，

若满足条件的三角形有且只有一个，则或，

所以或，

可得或.

故选：D.

5．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简、、，利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系可得出、、的大小关系.

【详解】

，

，

，

因为，则，即.

故选：C.

6．函数的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，利用诱导公式化简可得，然后分类讨论，利用正切函数的图象和性质即可求解.

【详解】令，即，

所以，当时，

方程可化为，

在同一直角坐标系中分别做出与的图象，

由图可知：当时，

函数与的图象有6个交点，

又因为，满足方程，所以也是函数的一个零点，综上，函数的零点个数是，

故选：.

7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D在A1C上，E是A1B的中点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将平面A1BC与平面A1AC翻折到同一平面上，连接AE，记，再根据余弦定理可得，进而求得，再根据两角和的余弦公式可得，进而由余弦定理可得即可.

【详解】如图，将平面A1BC与平面A1AC翻折到同一平面上，连接AE，记，

由题意可知，，

则，，从而，

故.

因为E是A1B的中点，所以，

由余弦定理可得，

因为D在A1C上，所以，

则，故的最小值是.

故选：C

8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，中点为，化简可得，再根据余弦定理结合余弦函数的范围可得，进而可得的取值范围.

【详解】不妨设，中点为，则即，故，即，.

故

，因为，故，则，故，故的取值范围为.

故选：D

二、多选题

9．下列论述中，正确的有（    ）

A．正切函数的定义域为

B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角

C．第一象限的角一定是锐角

D．圆心角为且半径为2的扇形面积是

【答案】BD

【分析】根据正切函数的定义判断A，根据象限角的定义判断B，C，根据扇形面积公式判断D.

【详解】对于A：正切函数的定义域为，故A错误；

对于B：若是第一象限角，则，可得，

所以表示第一或第三象限角，故B正确；

对于C：是第一象限角，但不是锐角，故C错误；

对于D：圆心角为且半径为2的扇形面积，故D正确．

故选：BD．

10．若，是方程的两个虚数根，则（    ）

A．的取值范围为 B．的共轭复数是

C． D．为纯虚数

【答案】BCD

【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，

【详解】由，得，A错误；

因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；

，C正确；

因为等于或，所以为纯虚数，D正确.

故选：BCD.

11．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（    ）

A．

B．

C．的最大值为3

D．的取值范围为

【答案】ACD

【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.

【详解】由题设，外接圆直径为，故，A正确；

锐角中，则，故，B错误；

，则，当且仅当时等号成立，C正确；

由C分析知：，而，

又且，

则

，而，

所以，则，

所以，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围.

12．对于两个均不等于1的正数m和n，定义：，则下列结论正确的是（    ）

A．若，且，则

B．若，且，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BC

【分析】根据函数新定义，比较大小，然后结合题目条件，逐个判断.

选项A：当时，；当时，；解得：或；

选项B：将转化为；

选项C：结合范围，化简， ，然后对数运算.

选项D：结合范围判断，，，然后进行对数运算.

【详解】选项A：当时，，即，亦即；当时，，即，亦即．综上，当时，或，则A错误；

选项B：由及，得，即，即，即或，即或．由，得，从而可得，则B正确；

选项C：若，则，而由，得，所以成立，则C正确；

选项D：由指数函数是减函数，且，可得；

由幂函数是增函数，且，可得，于是，所以， 同理，，所以，则D错误．

故选:BC．

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是           .

【答案】

【分析】根据条件，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解.

【详解】因为，且，

所以，

所以，所以，

所以向量在方向上的投影向量是.

故答案为：.

14．在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为            .

【答案】6

【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值，即可求解.

【详解】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，

而，即点到定点距离的最大值，

所以的最大值为.

故答案为：

15．已知锐角，满足，则          .

【答案】

【分析】根据二倍角公式与同角三角函数的关系可得，进而可得.

【详解】由题意，，由二倍角公式与同角三角函数的关系可得，即，

整理可得，故，

又锐角，，故，

故.

故答案为：

16．已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为  .

【答案】

【分析】先由题意，根据余弦函数的值域，求出，再由题意，得到的取值范围应包含；根据预先函数的性质，得到为使取最小值，只需函数在上单调，分函数单调递增与单调递减两种情况，分别求解，即可得出结果.

【详解】因为，所以，因此；

则；

因为对于任意的，总存在，使得，

所以的取值范围应包含，

根据余弦函数的性质，为使取最小值，

只需函数在上单调，

若函数在上单调递增；

则，所以，

即，则的最小值为；

若函数在上单调递减；

则，所以，

即，则的最小值为；

故的最小值为.

【点睛】本题主要考查余弦三角函数的应用，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.

四、解答题

17．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求：

(1)四棱锥的表面积；

(2)三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得；

（2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积.

【详解】（1）作，垂足为E，

由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以

所以；

（2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点

因为

所以

又是的中点，

所以

．

18．如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限；

(1)证明：；

（提示：设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和）

(2)求的范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和，令与的夹角为，则, ,从而利用向量的数量积结合诱导公式即可证明；

（2）令与的夹角为，可得，利用，再结合余弦函数的性质即可求解.

【详解】（1）证明: 如图，设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和

则 ，

设与的夹角为，则, ,

且

，

故成立.

（2）令与的夹角为，

因为，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，

所以.

，

，，

所以，

故的范围为.

19．已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．

(1)求参数和的值;

(2)若，求向量 与向量夹角的余弦值;

(3)若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；

（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；

（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.

【详解】（1）因为的相邻两条对称轴之间的距离为

所以

又时，取最小值

则，

，

又，则

（2）因为，所以，

则，，

则

则

（3）是上动点，

，

又恒成立

设

，

易知在或处有最小值，在或处有最大值

所以当或时，有最小值

即当在或时，有最小值，此时或

为时，，

，得

又，则

为时，，

，解得

综上，

20．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留后，再从B 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，.

(1)求山路的长；

(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

【答案】(1)

(2)当时，甲､乙两游客距离最短

【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案；

（2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.由图，题意，余弦定理可得

，即可得答案.

【详解】（1）在中，因为，所以.

从而.

由正弦定理，得.

所以山路的长为；

（2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.

此时，，，

所以由余弦定理得

.因为，即，

故当时，甲､乙两游客距离最短.

21．已知在中，角所对的边分别为，且.

(1)求的值；

(2)若，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；

（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.

【详解】（1）依题意，，

因为，所以.

由正弦定理，得，

故上式可化为.

因为，所以，

由正弦定理，得.

（2）因为，

由正弦定理，，

因为，故，

则，

故，

因为，故，又，故，

代入中，得，即.

由余弦定理，，故，

则，当且仅当时等号成立，

故，又，

所以实数的取值范围为.

22．对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.

(1)求证：，是“M函数”；

(2)若函数，是“函数”，求k的取值范围；

(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据“M函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；

（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；

（3）由题意可得在R上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.

【详解】（1）取，则，此时对任意的，都有成立，故是“函数”.

（2）因为函数，是“函数”，故恒成立，即，即恒成立.

又，故，，即k的取值范围为

（3）由题意，对任意的，对任意的正实数M，都有成立，故在R上为减函数，

又，故，易得，可令，

则，

即，故实数a的最小值为