2023年江苏省镇江市中考数学试卷【附答案】

2023年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）

1．（2分）﹣100的相反数是 　      　．

2．（2分）使分式有意义的x的取值范围是 　      　．

3．（2分）分解因式：x2+2x＝　         　．

4．（2分）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角∠ABC是140°　      　°．

5．（2分）一组数据：2、3、3、4、a，它们的平均数为3，则a为 　   　．

6．（2分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝　   　．

7．（2分）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　   　y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．

8．（2分）如图，用一个卡钳（AD＝BC，＝＝）测量某个零件的内孔直径AB，则AB等于 　     　cm．

9．（2分）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 　   　．

10．（2分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，则的长l＝　                  　（结果保留π）．

11．（2分）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边），问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，求得该直径等于 　   　步（注：“步”为长度单位）．

12．（2分）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，则r的最小值为 　   　．

二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）

13．（3分）圆锥的侧面展开图是（　　）

A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形

14．（3分）下列运算中，结果正确的是（　　）

A．2m2+m2＝3m4 B．m2•m4＝m8 C．m4÷m2＝m2 D．（m2）4＝m6

15．（3分）据中国国家统计局发布：2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（　　）

A．1.087×104 B．10.87×104 C．10.87×103 D．1.087×103

16．（3分）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后（　　）

A．1 B． C． D．

17．（3分）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min），已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍（　　）

A．46 B．48 C．50 D．52

18．（3分）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　）

A．128 B．64 C．32 D．16

三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（8分）（1）计算：﹣4sin45°+（）0；

（2）化简：（1﹣）÷．

20．（10分）（1）解方程：＝+1；

（2）解不等式组：．

21．（6分）如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，BE＝CD．

（1）求证：△ABE≌△BCD；

（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．

22．（6分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法

24．（6分）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B（1，m），C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．

（1）m＝　     　，k＝　     　，点C的坐标为 　         　；

（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

25．（6分）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，以矩形ABCD的顶点A为圆心，r为半径画圆，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．

（1）求证：BE＝BG；

（2）当r＝1，AB＝2时，求BC的长．

26．（8分）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，ON＝36cm，MF、NF是定长

（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，求∠MNB的度数；

（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝　       　．

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．

27．（11分）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0）（m，n），点C与点B关于原点对称，直线AB、AC分别与y轴交于点E、F，EF＝2．

（1）分别求点E、F的纵坐标（用含m、n的代数式表示），并写出m的取值范围；

（2）求点B的横坐标m、纵坐标n满足的数量关系（用含m的代数式表示n）；

（3）将线段EF绕点（0，1）顺时针旋转90°，E、F的对应点分别是E'、F'．当线段E'F'与点B所在的某个函数图象有公共点时

28．（11分）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．

②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．

③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下

④延长PQ、ST交于点F．

小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：

①点Q、A、T在一条直线上；

②四边形FPGS是矩形；

③△FQT≌△HMN；

④四边形FPGS与△ABC的面积相等．

[任务1]请你对结论①进行证明．

[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．

[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，BC＝8，CD＝9，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形

1．100．

2．x≠5．

3．x（x+2）．

4．140．

5．3．

6．5．

7．＞．

8．18．

9．9．

10．π．

11．3（步），

12．8

13．C．

14．C．

15．A．

16．B．

17．D．

18．A．

19．解：（1）原式＝2﹣4×

＝6﹣2

＝1；

（2）原式＝×

＝．

20．解：（1）方程两边同时乘以（x+3），

得2x+7＝1+x+3，

解得x＝4，

检验：当x＝3时，x+3≠3，

∴x＝3是原方程的解；

（2），

解不等式①，得x＜2，

解不等式②，得x≥1，

∴原不等式组的解集是5≤x＜2．

21．证明：（1）∵B是AC的中点，

∴AB＝BC，

在△ABE与△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（SSS）；

（2）∵△ABE≌△BCD，

∴∠ABE＝∠BCD，

∴BE∥CD，

∵BE＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形．

22．解：画树状图如下：

一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，

∴P（2次都摸到红球）＝．

24．解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣7＝m，﹣3），

将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×8＝﹣3，

即反比例函数的表达式为：y＝﹣，

根据正比例函数的对称性，点A（﹣4，

由点O、A的坐标得，过点A作AH⊥x轴于点H，

由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，

而∠ACO＝45°，

设AH＝3x＝CH，则OH＝xx＝，

则AH＝CH＝8，OH＝1，

则CO＝CH+OH＝4，

则点C的坐标为：（﹣8，0），

故答案为：﹣3，﹣5，0）；

（2）当点P在x轴的负半轴时，

∵∠BOP＞90°＞∠AOC，

又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，

∴△BOP和△AOC不可能相似；

当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，

若△AOC∽△BOP，则，

则OP＝OC＝4，

即点P（4，0）；

若△AOC∽△POB，则，

即，

解得：OP＝2.5，

即点P（4.5，0），

综上，点P的坐标为：（7，0）．

25．（1）证明：连接AE，

∵BC′与圆相切于E，

∴半径AE⊥BE，

∴∠BEG+∠AEG＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，

∴∠BAF＝90°，

∴∠AGF+∠F＝90°，

∵AF＝AE，

∴∠F＝∠AEG，

∴∠AGF＝∠BEG，

∵∠AGF＝∠BGE，

∴∠BEG＝∠BGE，

∴BE＝BG；

（2）解：∵∠AEB＝90°，AE＝1，

∴sin∠ABE＝＝，

∴∠ABE＝30°，

由折叠的性质得到∠CBD＝∠DBC′，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝×（90°﹣30°）＝30°，

∴BC＝CD＝2．

26．解：（1）如图2，∵OA⊥OB、N分别是OA，

∴∠MON＝90°，

∵∠MFN＝180°，

∴M、F、N三点在同一条直线上，

∵OM＝27cm，ON＝36cm，

∴tan∠ONM＝＝＝0.75，

∴∠ONM＝37°，

∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°，

∴∠MNB的度数为143°．

（2）如图7，作法：1，以ON为半径作弧，

2．以点F为圆心，交前弧于点N，

2．作射线OB，

射线OB或射线OB′就是此时门的位置．

（3）如图4，作OD⊥MN于点D，

∴sin∠ONM＝＝，

∴当OD最大时，sin∠ONM的值最大，

∵OM≥OD，

∴OD≤27cm，

∴OD的最大值为27cm，

当OD取得最大值27cm时，sin∠ONM＝，

∴在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值是0.75，

故答案为：4.75．

27．解：（1）由直线AB与y轴交于E，得m≠3，

∵点C与点B关于原点对称，

∴C（﹣m，﹣m），

由直线AC与y轴交于点F，得﹣m≠3，

即m≠﹣4，

综上所述，m≠±3，

设直线AB对应的一次函数解析式为y＝kx+b，

将A（3，4），n）代入y＝kx+b得，，

解得b＝﹣，

∴E（0，﹣），

同理F（0，﹣）；

由点F在点E上边可以求出m＜﹣3；

（2）由题意得，EF＝﹣）＝2，

整理得，n＝m2﹣1；

（3）∵n与m的关系式为n＝m2﹣4，

∴B（m，n）在函数y＝x3﹣1（x≠±3）的图象上，

由旋转得，yE′＝6，

当E′在点B所在的函数图象上时，xE′3﹣1＝1，

解得xE′＝，

∵线段E'F'与点B所在的函数图象有公共点，

∴﹣3或3，

由旋转得，﹣2；

∵yE＝﹣，

∴m的取值范围为9﹣4．

28．[任务1]证明：由旋转得，∠QAD＝∠ABC，

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，

∴∠QAD+∠DAE+∠TAE＝180°，

∴点Q、A、T在一条直线上；

[任务2]证明：连接AQ并延长交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，

∴∠DAQ＝∠E，

∵Q是CD的中点，

∴DQ＝CQ，

∵∠AQD＝∠EQC，

∴△ADQ≌△ECQ（AAS），

∴AQ＝EQ，AD＝CE，

∵P是AB的中点，

∴PQ是△ABC的中位线，

∴PQ＝BE＝，

∴PQ＝（AD+BC）；

[任务3]解：由[任务2]知PQ∥BC，PQ＝5，

作DR⊥BC于R，

在Rt△DCR中，DR＝CD•sin∠DCB＝4×＝，

∵四边形GEST是正方形，

∴GE＝6，PE＝3，

∴QE＝＝4，

∵Q是CD的中点，

∴CQ＝，

作QH⊥BC于H，

∴QH＝CQ•sin∠DCB＝，

∴CH＝＝，

∵PQ∥BC，

∴∠PQE＝∠QMH，

∵∠PEQ＝∠QHM，

∴△PEQ∽△QMH，

∴，

∴，

∴HM＝，

∴BM＝BC﹣HM﹣CH＝8﹣＝．