浙江省台州市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

台州市2022学年第一学期高一年级期末质量评估试题

数学

2023.02

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案.

【详解】因为，所以.

故选：D.

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得，求解即可.

【详解】依题意可得，解得，

所以函数的定义域是.

故选：B.

3. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.
 

【详解】设扇形的半径为，则，解得，

所以扇形面积为．

故选：C.
 

4. “”的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先解不等式得或，找“”的一个充分不必要条件，即找集合 或的真子集，从而选出正确选项.

【详解】由解得或，

找“”的一个充分不必要条件，即找集合或的真子集，

或，

“”的一个充分不必要条件是.

故选：D.

5. 已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.

【详解】由指数函数的图象和性质可知：，

若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；

若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，

由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.

故选：C

6. 某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（    ）

A. 36 B. 35 C. 34 D. 33

【答案】B

【解析】

【分析】利用韦恩图运算即可.

【详解】 

如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，

则数学组共有人，显然人.

故选：B

7. 已知，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先证明对于，均有，即可判断.

【详解】对于，均有证明如下：

因为，所以，，

所以

，

所以，，

又，所以.

故选：B

8. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造新函数，根据根的情况分类讨论可求a的取值范围.

【详解】设，因为时，不合题意，故.

，即；

若，即时，在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍.

若，即时，在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍.

若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

从而只需，即，解得，即.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.

【详解】角的终边经过点，，

，，，

，，故AB正确、CD错误，

故选：AB

10. 已知，都是定义在上的增函数，则（    ）

A. 函数一定是增函数 B. 函数有可能是减函数

C. 函数一定是增函数 D. 函数有可能是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.

【详解】对于A，设，设，则

又由都是定义在上的增函数，则且，

所以，故函数一定是增函数，A正确；

对于B，设，此时为减函数，B正确；

对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；

对于D，当时，函数为减函数，D正确.

故选：ABD.

11. 已知函数则下列选项正确的是（    ）

A. 函数在区间上单调递增

B. 函数值域为

C. 方程有两个不等的实数根

D. 不等式解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.

【详解】 

画出的图象，如上图所示.

令，解得或，

所以的图象与轴交于.

对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；

对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；

对于C，，，

由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；

对于D，由图象可知，当时，，

所以，由可得.

令，解得或；

令，解得或，

所以，由图象可知，不等式解集为，D错.

故选：BC

12. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的图象关于点成中心对称图形，则以下能成立的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】AC

【解析】

【分析】直接代入计算得，再利用其奇函数的性质得到方程组，对赋值一一分析即可.

【详解】令

，

由得，

当时，得，，则A正确，B错误；

当时，得，，则C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 计算：________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.

14. 把函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为__________.

【答案】

【解析】

【详解】解析过程略

15. 定义在上的函数满足，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分别令，得到，在令，求得，进而求得，即可求得的值.

【详解】因为，

当时，可得；当时，可得；

当时，可得；当时，可得，

所以，

又因为，

当时，可得；当时，可得；

当时，可得；当时，可得，

由，，可得，

又因为，所以，所以.

故答案为：

16. 函数的最小值为0，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由，根据题意得到当时，的最小值为，利用三角函数的性质，得到不等式组，进而求得的最小值.

【详解】因为，

当且仅当，即时，等号成立，

又因为的最小值为，

所以当时，的最小值为，

因为，所以，所以，

所以，

又因为，所以当时，，能使得有最小值，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知是锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；

（2）根据题意，由二倍角公式，代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

由，，可得，所以；

【小问2详解】

因，且，

∴．

18. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；

（2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数a的取值范围，即可得到本题答案.

【小问1详解】

若，则，

因为，所以；

【小问2详解】

由题，得，由，得，

若，则，得，

若，即时，则有，或，得或，

综上，

19. 已知函数的图象最高点与相邻最低点N的距离为4．

（1）求函数的解析式；

（2）设，若，求函数的单调减区间．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得，，，从而可得，则，再由求得，从而可求得解析式；

（2）由（1）可得，化简得，由可得，从而令，求解即可得减区间.

【小问1详解】

由题意得，，，即，

所以，则，

又，得，，

所以；

【小问2详解】

，

所以

，

由，，令，则，

所以的单调递减区间为．

20. 已知函数，且．

（1）若，求方程的解；

（2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，从而可得，得，，求解即可；

（2）由题意可得，设，则，，解法一讨论、、、判断单调性，从而求解；解法二，参变分离后，结合二次函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

当时，

设，则，即，得，，

所以方程解为：，；

【小问2详解】

因为，所以当或时，的最小值为9，

故．

设，则，，

若，在上单调递增，

则，故，不合舍去．

若，任取，则，

所以当时，，即；

当时，，即，

所以在单调递减，在单调递增，

当时，在上单调递增，，，不合舍去；

当时，，，即；

当时，在上单调递减，，，可得，

综上，．

另解：可得，即在时恒成立，

而在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，最大值为9，所以．

21. 某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？

【答案】安排63或64人制作桌子工期最短

【解析】

【分析】设x人制作桌子，则人制作椅子，分别得到完成桌子和完成椅子的时间，再得到全部桌椅完成时间的函数表达式，求出桌子和椅子完成时间相同时的值，从而得到分段函数表达式，再求出其最小值即可.

【详解】设x人制作桌子，则人制作椅子．

由已知，完成桌子时间为，完成椅子时间为，

全部桌椅完成时间为

由，得，

∴且，因为，

当，单调递减，最小值为，

当，因为在上单调递减，且，

所以在单调递增，

最小值为，则，

所以安排63或64人制作桌子工期最短．

22. 已知函数．对于任意的，都有．

（1）请写出一个满足已知条件的函数；

（2）判断函数的单调性，并加以证明；

（3）若，求的值域．

【答案】（1）（答案不唯一）   

（2）单调递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）只需找到符合题意的函数解析式即可；

（2）设任意的且，依题意可得，即可得解；

（3）设，则，求出，即可得到的解析式，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.

【小问1详解】

不妨设，则，符合题意；

【小问2详解】

在上单调递增，证明如下：

设任意的且，则，

所以，

即，所以在上单调递增；

【小问3详解】

由（2）知，在上单调递增，

设，则，则，

设，则在上单调递增，

又，故，，满足，

∴

，

∵，∴值域为．