浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二数学上学期返校联考试题（Word版附解析）

高二数学学科试题

考生须知：

1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4．考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的含义可得答案.

【详解】因为集合，，所以.

故选：B.

2. “为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】判断“为三角形的一个内角”和“为第一、二象限角”之间逻辑推理关系，即得答案.

【详解】为三角形的一个内角，当时，不是第一、二象限角，

故“为三角形的一个内角”推不出“为第一、二象限角”；

当为第一、二象限角时，不妨取，不是三角形的一个内角，

故“为第一、二象限角”推不出“为三角形的一个内角”；

故“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件，

故选：D

3. 如图是H城市某路段监测到的上午7：00至8：00通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（    ）辆

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40

【答案】B

【解析】

【分析】由直方图的数据可求出总车辆数，从而求出时速大于等于70的车辆数.

【详解】由直方图的数据可知，时速在的汽车的频数30， 频率为，

故总车辆数为100，故违章汽车为辆.

故选：B

4. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作图利用单位圆解几何图形即可.

【详解】 

如图所示，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，

则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处，

此时，即为正三角形，故.

故选：A

5. 已知，是实数，且满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取特殊值验证，可判断A，B，D；利用不等式性质结合基本不等式可判断C.

详解】对于A，取，则，A错误；

对于B，取，，B错误‘

对于C，因为，故，，

，故，C正确；

对于D，取，则，D错误；

故选：C

6. 若对任意实数，规定，则函数的最大值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中函数新定义可得的解析式，作出其图象，数形结合，可得答案.

【详解】由题意得

，

作出该函数的图象如图，

由函数图像可得，当时，有最大值2，

故选：B

7. 设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到，设，结合 题意求得，得到函数，即可求得的值.

【详解】对任意的，总有且，

所以，

又因为函数为单调函数，可得，即，

可设（其中为常数），

所以，

所以 ，所以，所以，可得.

故选：D.

8. 已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可.

【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小，

当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，

，设面的法向量为，

则，则，令，则，即，

所以BC到面的距离为；

当F在上（不含两端点）时，如图所示，

此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为；

当F在上（不含两端点）时，如图所示，

此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为；

故，此时，

易得特殊截面，，，

比较所得.

故选：C.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设、、是三条不同的直线，、、是三个不同平面，则下列命题不正确的有（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据线面垂直的性质可判断A；根据线面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质结合线面垂直性质判断C；根据线面以及面面平行的性质判断D.

【详解】对于A，因为，，故；

因为，则，A正确；

对于B，，，则可能平行，也可能异面，

则，推不出，B错误；

对于C，，，则可能平行也可能相交，

故时，得不出，C错误；

对于D，，，则，

由，可知a可能在平面内，D错误，

故选：BCD

10. 某体育老师对甲乙两名队员进行了5次射击测试，统计了甲和乙的射击成绩，甲的成绩分别为环；乙的成绩分别为环，则下列说法正确的是（    ）

A. 平均来说甲乙射击技术差不多 B. 甲的射击技术比乙更稳定

C. 甲成绩的中位数比乙高 D. 甲的40百分位数比乙的高

【答案】AC

【解析】

【分析】根据甲乙的成绩数据，依次计算或判断其平均数以及数据的分散集中程度、中位数和百分位数，即可判断答案.

【详解】对于A，甲的平均成绩为（环），

乙的平均成绩为（环），故平均来说甲乙射击技术差不多，A正确；

对于B，乙的5次成绩明显更为集中，故乙的射击技术比甲更稳定，B错误；

对于C，将甲的成绩从小到大分别为环，故其中位数为9环，

乙的成绩分别为环，故其中位数为8环，

即甲成绩的中位数比乙高，C正确；

对于D，，故甲的40百分位数，乙的40百分位数，

即甲的40百分位数与乙的相等，D错误，

故选：AC

11. 设，，则（    ）

A. 的值域与的值有关

B. 当时，在上单调递增

C. 若是它的一条对称轴，则

D. 若，则为偶函数

【答案】BD

【解析】

【分析】由辅助角公式化简再利用三角函数的图像及性质一一判定即可.

【详解】由辅助角公式化简可得，

所以的值域，与的值无关，A错误；

当时，因为，，，故B正确；

因为，由题意，，

当时，，C错误；

因为，由题意，，

是偶函数，D正确.

故选：BD.

12. 函数，（，，是实数且，，），则的图象可能是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据的正负，可取特殊值，一一判断各选项图象是否有可能，即可得答案.

【详解】由，，，当时，函数值恒小于零，无负零点，故A错误.

当，如，，时，，定义域为，

该函数图象和B相符，B可能；

当时，如，，时，

该函数图象和C相符，可以是C；

当，如，时，，

即把的图象向右平移，故D有可能，

故选：BCD

非选择题部分

三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知复数满足，则复数的虚部为________；

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求得复数，即可得答案.

【详解】由可得，

故数的虚部为，

故答案为：

14. 若从集合中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于________；

【答案】##0.6

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】从中任取3个元素形成的子集共有个，

当连续整数为1，2时，此时符合条件的子集有2个；

当连续整数为2，3时，此时符合条件的子集有1个；

当连续整数为3，4时，此时符合条件的子集有1个，

当连续整数为4，5时，此时符合条件的子集有2个，

有故6个子集中恰好含有两个连续整数．

故所求概率为，

故答案为：

15. 已知实数，且，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】由，可得，化简得到，结合对勾函数的单调性，即可求解.

【详解】因为，可得，

因为，可得，解得，

则，

设结合对勾函数的性质，

可得函数在区间单调递减，在单调递递增，

所以，且，所以，

即的取值范围为.

故答案为：.

16. 为的外心，且，则的内角的余弦值为________.

【答案】

【解析】

【分析】设，根据数量积的运算律将化为并平方可得，判断为锐角三角形，结合二倍角公式即可求得答案.

【详解】因为为的外心，又由，

平方可得：,

不妨设，则,

故为锐角，

由于，或，

又由：,

可得点在的内部，即为锐角三角形,

故，C为锐角，即，故，

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80  85  90  75  88  92  78  82  85  90.

（1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少?

（2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少?

（3）选择两个学生，他们分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）?

【答案】（1）；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（3）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，得到85分的学生有2人，所以概率为，即概率为.

【小问2详解】

解：由题意，得分超过80分的学生有7人，所以概率为.

【小问3详解】

解：由题意，分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、90），

所以概率为.

18. 若平面上的三个力，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为.

（1）求的大小；

（2）求在上的投影向量（用表示）.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）利用向量的数量积及模长关系计算即可；

（2）利用投影向量的定义及计算公式计算即可.

【小问1详解】

因为，，与的夹角为，

所以，   

又，所以；

【小问2详解】

因为在上的投影向量是，

又，

所以.

19. 在正三棱台中，已知，，三棱台的高.

（1）求棱台的体积；

（2）若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接代入台体的体积公式求解.

（2）利用上下底面之间的距离为内切球的直径求解.

【小问1详解】

因为，分别为下底面，上底面面积.

.

【小问2详解】

因为上下底面相互平行且均与内切球相切，

故上下底面之间的距离为内切球的直径，

所以，故球O的半径.

所以球的表面积．

20. 在中，角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求角；

（2）求边上中线长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将平方后，结合余弦定理即可求得答案；

（2）解法1，求得外接圆半径，过点C作，交BD延长线于E，利用余弦定理推出，结合正弦定理边化角，以及三角恒等变换，化简可得的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案；

解法2，利用平行四边形性质可得，下面解法同解法1；

解法3，利用余弦定理结合基本不等式可求得答案；

解法4，利用三角形外接圆中线段的不等式关系，可求得答案.

【小问1详解】

由，可得：，

即，

所以，而，从而；

【小问2详解】

解法1：设外接圆半径为R，则，

如图所示，过点C作，交BD延长线于E，

则∽，则，

故，

所以，

，

又因为，故，则，

所以，即；

解法2：由平行四边形性质可得，

所以，

因为

，

又因为，故，则，

所以，则，即；

解法3：

因为，

所以，所以，

又因为， 结合解法2可知，

所以，即，

当且仅当时取到最大值；

解法4：

如图所示，，，

设外接圆半径为R，则，

故有外接圆如图，D为的中点，

则，

由图可知，

所以.

21. 如图，三棱锥中，平面，.

（1）求证：；

（2）若点在棱上，满足，且有，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质可证明结论；

（2）解法1，作出二面角的平面角为，二面角与二面角互余，解三角形即可求得答案；

解法2，利用定义法作出二面角的平面角，解三角形求得答案；

解法3，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间角的向量求法即可求得答案.

【小问1详解】

因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面，平面，

所以；

【小问2详解】

解法1：作交于点，则平面，

平面，故；

作，垂足为，则,连结，

而，故，平面，

故平面，平面，则，

所以就是二面角的平面角，

显然二面角与二面角互余；

因为，，

所以点是的中点．

因为，．所以点是的中点．

又，所以点是的中点．

又，故在中，，

所以，则二面角的正弦值也是.

解法2：作，因为平面，平面，

平面，，

作，垂足为，连接HF,

平面，故平面,

平面，故，

所以就是二面角的平面角，

因为，，

所以点是的中点．

因平面，平面，故，

平面，故，

为中点，为中点，

在中，，，

则，则，

故二面角的正弦值是.

解法3：以，为轴，过点平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，

设，，则，，，，

设，

，即，，

在直线上，则D为的中点，

，，，

则，

平面的法向量可取为，

设平面的法向量为，则，

令，则，故，

故，

由原图可知二面角为锐角，

故二面角的正弦值是.

22. 已知函数，，，且函数有三个零点.

（1）求的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）转化为与有三个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案；

（2）转化为，对变形后得到其单调递增，求出，再分三种情况，求出的最大值，得到不等式，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

设,

有三个零点，即与有三个不同的交点，如图所示

则，即；

【小问2详解】

对任意的，总存在，使得成立，

，

，

函数有三个零点，由，，

在上递增，

，

，

①若，即，则在上单调递增，

，

，解得，故，

②令，解得，

若，即，此时在处取得最大值，

，

由于恒成立，；

③若，即，此时在处取得最大值，

则，

，解得，；

综上可得：.