小学数学人教版五年级上册3 小数除法循环小数教案

循环小数    

[课程内容] 人教版五年级上册 第33--34页 例7、例8及练习八第6-11题。

[教学目标]

1. 理解产生循环小数的原因，认识循环小数，正确使用循环小数表示商。认识循环节，能正确进行循环小数的简写。

2.初步认识有限小数和无限小数，能正确区分有限小数和无限小数，知道循环小数都是无限小数。

3.在猜想、验证过程中清晰的表述自己的观点和理由，培养交流的意识与能力。

[教学重点、难点]

理解产生循环小数的原因，认识循环小数，正确使用循环小数表示商。认识循环节，能正确进行循环小数的简写。

初步认识有限小数和无限小数，能正确区分有限小数和无限小数，知道循环小数都是无限小数。

[脚本正文]

 同学们，大家好。今天我们一起来学习人教版小学数学五年级上册第三单元的第4课时---循环小数。

一、创设情境，引入新知

图1

同学们，你们看，王鹏正在参加学校举行的跑步比赛，从图中你发现了哪些数学信息？

王鹏400m只跑了75秒，平均每秒跑多少米呢？

解决这个问题应该怎样列式呢？

根据路程÷时间=速度，列式为400÷75。

大家能计算这个问题吗?动手算一算吧。完成了吗？

二、自主探索，学习新知

（一）教学例7

图2

发现有以下3种计算过程，看看他们是怎么算的？

我发现第一种和第二种得到的商都是近似数，只是精确程度不一样，第一种精确到十分位，第二种精确到千分位。

第一种计算到十分位时，为什么就能确定商的近似值是5.3呢？

计算到十分位时，余数是25，如果添0继续除，百分位上的商还是3，所以商精确到十分位，近似值是5.3。

我们还发现第二种和第三种的计算过程是一样的，只是第二种横式的商用“≈”连接，第三种用“=”连接，算式结果也不同。

第三种为什么用“=”来连接除法算式与得数？而不是用“≈”呢？

我们一起来探究。

图3

观察这个竖式，你发现了什么？

我发现，余数怎么总是“25”？

商的小数部分总是重复出现“3”。

继续除下去，可能永远也除不完。

图4

同学们想一想，为什么商“3”会不断重复出现呢？

竖式中余数25不断重复出现，从十分位起每一次添0继续除，商都是3。所以，商“3”不断重复出现的原因，是由于余数“25”不断重复出现！

图5

如果继续除下去，商会是多少呢？能除尽吗？

无论除到哪一位，只要余数不断重复出现“25”，商的小数部分就会不断重复出现“3”，400÷75除不尽。

图6

同学们，现在你知道这种计算过程为什么用“=”来连接算式与得数了吗？

5.333后面的省略号表示不断重复出现的无数个“3”，因此得数与除法算式的关系是“相等”而不是“约等于”，所以用“=”来连接。

400÷75商的小数部分不断重复出现数字“3”，这是一种偶然现象吗？我们继续探究。

（二）教学例8

图7

大家对这两道题目进行竖式计算。完成了吗？我们先来看第一题，28÷18。

图8

这道计算有哪些特点呢？娜娜你能说一说吗？

我发现，余数不断重复出现“10”，商的小数部分不断重复出现“5”，28÷18除不尽。

思考一下，商的小数部分为什么会不断重复出现“5”呢？

余数“10”不断重复出现，每次添0后除以18，总是商“5”。所以商“5”不断重复出现的原因，是由于余数“10”不断重复出现。

图9

第2道计算有哪些特点呢？

78.6÷11，余数依次不断重复出现“5”和“6”，商的小数部分从百分位起依次不断重复出现“45”，78.6÷11除不尽。

大家想一想，商的小数部分为什么会从百分位起依次不断重复出现“45”呢？

余数“5”每次出现时，添0继续除，商是“4”，余数“6”每次出现时，添0继续除，商是“5”。所以商“45”依次不断重复出现的原因，是由于余数“5”和“6”依次不断重复出现。

图10

观察这三道计算，你发现商的小数部分不断重复出现的原因了吗？

我们发现，商的小数部分不断重复出现的原因，是由于余数不断重复出现。

图11

同学们，我发现刚才的计算过程好像有些麻烦了。例如，28÷18，我们知道商的小数部分不断重复出现的原因是由于余数不断重复出现，所以当余数“10”第二次出现时，后面就不用再除了，后面的商肯定都是“5”。大家同意吗？

图12

78.6÷11，当我们计算到余数“5”第二次出现时，就可以不再除了，商的小数部分会依次不断重复出现“45”。

兰兰，我同意你的方法，但是怎样判断小数部分不断重复出现的商是“45”而不是“145”呢？

当余数“5”第一次出现时，添0继续除，商是“4”不是“1”，所以不断重复出现的商是“45”而不是“145”。

图13

现在这两道计算都有两种算法，大家认为哪种更加简便呢？

我们认为第二种算法更加简便。

图14

观察这种算法的计算过程，为了能够更快的判断出商的小数部分不断重复出现的数字，我们除到什么时候就不除了呢？

当除到余数第二次出现时，就不必再除！

图15

观察这3个算式的商，有哪些特点？

小数部分都有一个或几个数字依次不断地重复出现。

不一定从十分位起就出现重复，也可能从小数部分的某一位开始。

小数部分的位数都是无限的。

同学们，像上面几题的商，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。以上3个除法算式的得数都是循环小数。

图16

 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。例如：这个循环小数的循环节是3。

你能说一说以下3个循环小数的循环节吗？

循环节分别是“5”“45”“258”

为了书写简便，我们在写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如这个循环小数，可以在循环节3的上面点上一个圆点，像这样简便书写。

你知道循环节“3”上面的小圆点表示什么意思吗？

应该表示无限循环的意思。

你能用简便写法改写其他3个循环小数吗？

我们可以这样简便书写，需要注意的是最后一个循环小数，我们在循环节“258”的首位和末位上面点上圆点就可以清晰的表示循环节是“258”，因此中间部分不需要再加小圆点。

同学们，循环小数的简便写法大家已经掌握了，那循环小数应该怎样读呢？一般我们只读出循环小数的一个循环节， 例如第一个循环小数，我们可以读作：五点三，三循环。第三个循环小数，我们可以读作：七点一四五，四五循环。你能试着读出另外两个循环小数吗？

第二个循环小数，读作：一点五，五循环；第四个读作：六点九二五八，二五八循环。

有关循环小数的知识大家都掌握了吗？

图17

现在，大家来完成教材34页做一做第一题，用简便的形式写出下面的循环小数。大家完成了吗？

我是这样简便书写的，第一个循环小数在循环节5上面点上圆点，表示5无限循环；第二个循环小数在循环节“746”的首位“7”和末位“6”上面点上圆点；第三个循环小数在循环节“53”上面分别点上圆点。

图18

接下来，我们看做一做第2题，大家计算153÷7.2与23÷3.3这两道题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。

图19

大家完成了吗？

153÷7.2，能除尽，等于21.25。23÷3.3，当除到余数“32”重复出现就不除了，商是一个循环小数，循环节是“96”，所以23÷3.3= ，

要注意的是，循环小数是一个准确数,要用“=”来连接；保留2位小数要看商的小数部分第3位，为了便于看到小数部分的第三位，我们可以写出两个循环节，就像这样，小数部分第三位是9，要向前进1，所以近似数是6.97，注意要用“≈”来连接。

图20

大家现在算一算，这两道题。

第一题15÷16等于0. 9357；第二题1.5÷7，当我们除到余数“1”重复出现时，就不再除了，商是一个循环小数，循环节是“142857”。

同学们，想一想：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？

可能像15÷16=0.9375一样，能除尽。

也可能像1.5÷7=一样，除不尽。

同学们，小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375是一个有限小数。

小数部分的位数无限的小数是无限小数。例如，就是一个无限小数。

现在我们知道了，当两个数能除尽时，商是一个有限小数；当除不尽时，商是一个无限小数。

我们把小数分为有限小数与无限小数，其中无限小数又分为无限循环小数，也就是我们今天学习的循环小数，和无限不循环小数，有关无限不循环小数我们在以后会学习。

以上知识大家都掌握了吗？

三、巩固训练，提升所学

图21

现在，大家试着写出下面各循环小数的近似值。完成了吗？

保留三位小数要看小数部分的第四位，第一个循环小数，小数部分的第四位是9，大于5，要向前进“1”，所以约等于1.291；小数部分的第四位是3，小于5，要舍掉，所以约等于0.018；第三个循环小数，小数部分的第四位是4，小于5，也要舍掉，所以约等于0.444；为了便于看到小数部分的第四位，我们可以写出两个循环节，就像这样，小数部分第四位是2，要舍掉，所以约等于7.275。

四、梳理反思，内化提升

图22

同学们，本节课我们主要学习了循环小数的相关知识，回顾学习历程，大家都有哪些收获呢？自己梳理一下吧。

今天我们学习了循环小数的概念及简便写法。

我们还认识了有限小数与无限小数。

看来，通过本节课的学习，同学们都有着非常多的收获。                                                                                                

四、课后练习，巩固提升

图23

课下，请大家完成这几道习题，并把自己的学习收获分享给自己的爸爸和妈妈吧。

今天的学习就到这里，期待在下节课中，同学们会有更加精彩的表现。同学们再见！