人教版五年级上册7 数学广角——植树问题教案

植树问题（一）

[课程内容] 人教版五年级上册第106-107页例题1和例题2及练习二十四配套练习。

[教学目标]

1.使学生经历将实际问题抽象出数学模型的过程，掌握植树问题中两端都栽，两端不栽的情况下棵数与间隔数之间的关系,并能利用这一关系解决简单的新的实际问题。

2.学生经历数学建模的过程，初步培养学生建模的能力。在学生探究过程中渗透数形结合、化繁为简、一一对应等数学思想与方法。

3.让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，渗透一一对应和对比的数学思想，培养学生的广泛应用意识和解决问题的能力。

[教学重点、难点]

学生经历数学建模的过程，初步培养学生建模的能力。在学生探究过程中渗透数形结合、化繁为简、一一对应等数学思想与方法。

让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，渗透一一对应和对比的数学思想，培养学生的广泛应用意识和解决问题的能力。

[脚本正文]

 一、自备篇：尝试自解，暴露疑点

教师组织1：同学们好，今天老师和大家一起学习人教版小学数学五年级上册第七单元的第一课时：数学广角-植树问题（一）。先进入自备篇，检查自备的学具是否齐全（停1秒）。准备就绪，进入自学篇，走进植树问题，引发你怎样的思考呢？

图1

学生反馈1：自备中引发新思考：解决植树问题的要素是什么？植树问题有哪些类型？要运用怎样的策略来解决植树问题呢？

图2

二、自学篇

（一）借画展思，激活思点

1.聚焦信息

教师组织2：带着思考，走进例题1，找一找解决这道题的关键信息有哪些？

图3

学生反馈2（合音）：

①理信息，圈关键：100米是全长，一边植树，每隔5米栽一棵，两端要栽，问题是：一共要栽多少棵？

图4

②提问，一边是什么意思？每隔5米栽一棵呢？两端要栽又是什么意思呢？

图5

教师组织3：为你的会问点赞，如果这就是那条小路，“全长100米”是指小路的总长，“一边”是小路的一侧，指左边或右边；每隔5米栽一棵，就是相邻两棵树之间的距离是5米。叫做间距，“两端要栽”就是指小路的起点与终点处都要栽。猜一猜，一共要栽多少棵树？    

图6

2.借猜定标

学生反馈3（合音）：

①总长是100米，间距是5米，求棵数？用除法计算，列式是100÷5=20（棵）。

②建议，解问题抓关键：两端要栽，所以我猜测是21棵；

③补充，我猜是22棵。

图7

教师组织4：到底哪个答案是正确的呢？

图8

学生反馈4：建议，便于理解，我建议用画图的方法来验证。

3.化繁为简

教师组织5：可以画线段图，用一条线段表示100米的小路，用短竖线代表小树，每隔5米画一棵，每隔5米画一棵……照这样画下去，你有什么感觉啊？

图9

学生反馈5：我发现，由于100米太长，像这样每隔5米画一棵，方法是可以的，可是需要画很多树，太麻烦了。

教师组织6：100米太长了，可以先从简单的数试试，先选取100米中的一小段来研究，比如20米，在练习本上画一画线段图、算一算棵数，找一找规律。（停3秒）听，他的发现。

图10

5.借画寻法

学生反馈6（合音）：

①用这条线段表示20米的小路，用总长20米除以间距5米求出的4，到底是不是棵数呢？图中一棵树对应一个间隔的连一连、数一数，发现20÷5求出的4不是棵数，而是有4个间隔，也就是间隔数。进而抓住关键点：棵数比间隔数多1。由此纠出易错点：再用4+1=5（棵），5才是棵数。其他同学同意我的想法吗？

图11

②提问，20÷5求出的4是间隔数，怎么间隔数加1就等于棵数了呢？

图12

③我是这样想的，大家看图，一个间隔对应一棵树，4个间隔就对应4棵树，由于两端要栽，尾端还要栽一棵树，所以用4+1=5（棵），5才是棵数。

图13

教师组织7：为的会思考点赞，用这条线段表示20米的小路，由于两端要栽，先在路的开端画第一棵树，像这样隔5米画一棵，尾端还得画一棵，那用总长除以间距求出的4到底是不是棵数呢？回到图中数一数，发现4是间隔数，那棵数呢？像这样一棵树对应一个间隔的圈一圈，4棵树对应4个间隔，由于两端要栽，尾端还有一棵树，所以5才是棵数，这位同学选择的总长有所不同，那棵数是不是还比间隔数多1呢？你能读懂他的想法吗？

图14

学生反馈7（合音）：

①提问，25÷5求的是间隔数，怎么间隔数加1就等于棵数了呢？

图15

②为你的会问点赞，我们回到图中连一连，你的问题不攻自破，像这样一棵树对应一个间隔的连一连，发现：25÷5求得的5，是有5个这样的间隔，5棵树对应5个间隔，由于两端要栽，最后还多出一棵树，由此也发现了：棵数比间隔数多1，5+1=6（棵）。所以6才是棵数。

图16

教师组织8：原来他巧妙的将一棵树对应一个间隔的连一连，5棵树对应了5个间隔，最后还多出一棵树，进而有了同样的发现：两端要栽，棵数比间隔数多1。不用画线段图，如果这条路长30米、35米......，又有几个间隔，栽几棵树呢？请同学们在练习本上算一算，像这样用表格整理一下，相信你会有新的发现。（停顿3秒）观察他整理的表格，你有新发现吗？

图17                     图18

6.总结规律

学生反馈8：大家看，两端要栽，间距不变，先观察总长和间隔数。总长30米，间隔数是6，总长35米，间隔数是7，总长40米，间隔数是8，总长50米，间隔数是10，由此发现：总长除以间距等于间隔数，那么间隔数和棵数又有怎样的关系呢？再观察：间隔数是6，棵数是7，间隔数是7，棵数是8，间隔数是8，棵数是9，间隔数是10，棵数是11，进而发现：两端要栽，棵数比间隔数多1，也就是间隔数比棵数少1。

图19

教师组织9：虽然选取总长的数据不同，一共要栽的棵数也不同，但是由于两端都栽，间隔数和棵数之间却有同样的关系，那就是间隔数+1=棵数。回到例题1,到底谁猜的对呢？

图20

7.解决例题1

学生反馈9：互学中有了新发现：两端要栽，间隔数+1=棵数，运用规律进行纠错，总长100米除以间距5米，求出的20是间隔数，易错点要牢记：需要再用间隔数加1才能求出棵数，由此：100÷5再加1等于21棵，所以一共要栽21棵树。

图21

教师组织10：纠错中抓关键，植树问题中两端要栽，间隔数+1=棵数，那两端不栽，棵数和间隔数又有怎样的关系呢？带着思考走进例题2。尝试在练习本上画一画图、算一算棵数、找一找规律。（停3秒），看这两位同学的想法，你同意吗？

图22

图23                                图24

（二）迁移畅思，突破难点

学生反馈10：能够肯定的是两位同学的第一步都是用总长除以间距求出了间隔数，而第一位同学关注到了两旁，却没有理解求一旁时两端不栽的意思，第二位同学理解了两端不栽，但是没有关注到求的是“两旁栽几棵”，所以结果都是错误的。

图25

教师组织11：原来问题聚焦在这里：两端不栽，求一旁的棵数时到底用间隔数“＋1”还是“－1” ，最后一步是否需要×2呢？听他的想法。

图26

学生反馈11：大家看：先画一个简单的线段图，这是例题1中两端要栽的情况，发现：4个间隔5棵树，即：棵数=间隔数+1。而例题2不同，由于两端是大象馆和猴山，所以两端不栽树，由此：去掉两端的两棵树，发现：间隔数没有变，还是4个间隔，但是棵数变了，有3棵树，这是为什么呢？在图中从左往右：一个间隔对应一棵树的标一标，发现：最后不是树，而是还有一个间隔，为什么呢？回到题中找答案：是因为两端不栽，也就是始端和尾端不栽树。进而发现：棵数比间隔数少1，即：间隔数-1才等于棵数。带着发现解决原题中的问号1：两端不栽，一旁要栽几棵树？60÷3-1=19（棵）。这样就完成了吗？（停1秒）进而纠出易错点，解决问号2：再求两旁栽几棵树？19×2=38（棵），一共要栽38棵树。这两位同学，我的想法是否给你们带来新的思考呢？

图27                       图28

学生反馈12：纠错中引发新思考：例题1是两端要栽，所以最后多出来的是一棵树，即：棵数=间隔数+1；而例题2呢？由于两端不栽，最后多出来的是一个间隔，即：棵数=间隔数-1。

图29                      

教师组织12：对比中生成新发现：两端不栽，间隔数-1=棵数。带着所学，走进自测篇，先小试牛刀：独立完成教科书107页做一做的第1题。（停顿1秒），听，你和他想的一样吗？

图30                                图31

三、自测篇：借练拓思，收获质点。

（一）小试牛刀：独立完成教科书P107页做一做第1题。

学生反馈13：这道题和例题1看似相同，又略有不同。理信息，圈关键，2千米是总长，两旁最易错，两端也要安装，属于两端要栽的情况，50米是间距，求路灯的盏数？也就是求棵数，先换算单位：2千米=2000 米，再用总长除以间距求出问号1：间隔数，即：2000除以50等于40，纠出易错点：两端也要安装，盏数=间隔数+1，所以再用40+1=41盏，求出街道一旁安装路灯的盏数，进而解决问号2：两旁安装多少盏？41×2=82（盏），一共要安装82盏路灯，便于纠错，请逐步核对，相同的同伴，为自己的细心加上一个赞！

图32

教师组织13：学以致用，本领不一般，这道题和例题看似相同，又略有不同，比较中谁有新发现呢？

图33

（二）大显身手：独立完成教科书P109页练习二十四第4题。

学生反馈14：建议，这道题与例题相比，关键在于：都是两端都栽树，只不过例题1已知总长求棵数，而第4题是已知棵数求总长，虽然条件和问题变了，但是都要用到棵数比间隔数多1的规律。

图34

教师组织14：又该怎样解答呢？在练习本上独立完成。（停4秒）听他是怎样举一反三的。

图35

学生反馈15：理信息，抓关键：一侧，6米是间距，36棵是棵数，由问题：“从第一棵到最后一棵的距离有多远”得知：两端要栽，求总长？先求问号1：间隔数。两端要栽，间隔数比棵数少1，先用36-1求出间隔数，再用间隔数乘间距，解决问号2：求总长，即：36与1的差乘6，结果是210米，所以从第一棵到最后一棵的距离有210米。请逐步核对，相同的同伴，为自己的会学加上一个赞！

图36

教师组织15：没有加赞的同学别着急，还有挑战等着你，独立完成教科书练习二十四第6题。（3秒）听，他的想法。

图37

（三）妙笔生花：独立完成教科书P109页练习二十四第6题。

学生反馈16：理信息、分类型，圈关键，32米是总长，4米是间距，关键是两端不放，类似例题2，标注这样的符号表示易错，提醒自己这属于植树问题中两端不栽的类型，即：棵数=间隔数-1,求盆数？图解中发现：的确，盆数要比间隔数少1，于是先用总长32除以间距4求出间隔数后再减1，32÷4-1，结果是7，所以一共要放7盆植物。请核对，相同的同伴，为自己的学以致用加上一个赞！

图38

教师组织16：自测题题加赞，源于自学中的发现，学习例题1时，化繁为简，选取100米中的一小段作为小路总长，图解有发现：两端要栽：间隔数+1=棵数。那例题2中的两端不栽呢？对比中生成新发现：两端不栽：间隔数-1=棵数。你又有哪些收获呢？走进自评篇，晒晒你的所学所获。

图39

四、自评篇：梳理反思，提升知点

学生反馈17：自学生问点；解决植树问题的要素是什么？植树问题有哪些类型？要运用怎样的策略来解决呢？互学抓关键：解决植树问题离不开三要素：总长、间距和棵数，只要知道三个中的任意两个就能求出第三个。而棵数和间隔数之间的关系是难点。可以运用画图策略，化繁为简，借助数形结合，通过一一对应来研究：两端要栽、两端不栽，这两种植树问题的类型中，棵数和间隔数之间的关系。两端要栽：棵数=间隔数+1；两端不栽，棵数=间隔数-1。那只栽一端呢？棵数和间隔数又有怎样的关系呢？带着思考挑战数霸赛，完成做一做中的第二题，相信你会有新的发现，加油！

结束语：带着新的思考迎接新的挑战，你一定会有新的发现，同学们，再见！