重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷（含答案）

这是一份重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团九年级（上）入学数学试卷
​一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．（4分）下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，从左至右分别代表广口瓶、圆底瓶、蒸馏烧瓶和锥形瓶，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，则∠BAD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（4分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形
（　　）

A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
5．（4分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
7．（4分）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．A，B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车出发后1.5小时追上甲车
D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝
9．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称（　　）

A． B．2 C．2﹣ D．
10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的撗线上．
11．（4分）（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝　 　．
12．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m的值为 　 　．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 　 　．
14．（4分）如图，AB＝AC＝5，BC＝6，则AD＝　 　．

15．（4分）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是　 　．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，连接BE．若BE＝2，OC＝5，则O到CD的距离为 　 　．
​

18．（4分）阅读以下材料，并解决相应问题．
材料一：对于个位数字非零的任意三位数M，将个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，F（M）表示一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商，如：325的“倒序数”为523，F（325）＝＝2；
材料二：任意三位数满足：c＞a且a+c＝3b，称这个数为“登高数”．如：138为“登高数”，且F（M）＝3，则M的最大值为 　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x﹣y）（x+2y）﹣（2x﹣y）2；
（2）．
20．（10分）在学习矩形的过程中，小明发现将矩形ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段BD的垂直平分线，通过三角形全等的证明，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作BD的垂直平分线MN，交BC于点N，垂足为点O．
∵四边形ABCD是矩形，
∴①　 　，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②　 　，
∴③　 　，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四边形ABNM＝S四边形ABOM+S△BON+S△BON，
＝S四边形ABOM+S△DOM，
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④　 　，
即MN平分矩形ABCD的面积．

21．（10分）2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤°x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：
82，82，81，81，81，80，80
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
28
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）

22．（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

23．（10分）随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售
（1）梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？
（2）已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？
24．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，点D的运动时间为t．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）

25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），且与正比例函数y＝2x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数表达式；
（2）如图2，若点P是x轴上的一个动点，连接PB，当PB+PC最小时，求PB+PC的最小值及此时点P的坐标；
（3）将（2）问中PB+PC最小时的P点向右平移个单位长度，点N是坐标平面内的一个点，当以点A，M，N，请直接写出符合条件的所有点N的坐标，并选其中一个写出求解过程．

26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是边AC上一点，连接DB
（1）如图1，若∠DBC＝4∠DCE，BE＝2；
（2）如图2，在EC上截取EF＝EB，连接AF交BD于点G；
（3）如图3，若CD＝CB，AC＝8，连接MD，将线段MD绕点D顺时针旋转90°得到线段M′D，点Q是线段BD上一个动点，连接PQ，当PQ+M′Q最小时，请直接写△PBQ的面积．
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2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
​一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（4分）下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，从左至右分别代表广口瓶、圆底瓶、蒸馏烧瓶和锥形瓶，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，则∠BAD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由平行线的性质可得∠CAB＝130°，由垂直可得∠CAD＝90°，从而可求∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝130°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
4．（4分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形
（　　）

A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC＝BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
5．（4分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于4，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
6．（4分）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中三角形的个数，从而可以发现三角形个数的变化规律，进而得到第⑧个图案中三角形的个数．
【解答】解：由图可知，
第①个图案中三角形的个数为：2×2＝3（个），
第②个图案中三角形的个数为：2×3＝5（个），
第③个图案中三角形的个数为：2×4＝2（个），
…，
则第⑧个图案中三角形的个数为：2×9＝18（个），
故选：C．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
7．（4分）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数4+的大小即可．
【解答】解：原式＝4+，
∵6＜＜3，
∴4＜4+＜5，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．A，B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车出发后1.5小时追上甲车
D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝
【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
当y＝150时，60t＝150，
解得t＝2.8，
故乙的速度：150÷（2.5﹣4）＝100（km/h），
乙到达B地的时间为：1+（300÷100）＝4（h），
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（5，0）和（4，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.7，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
乙的时间：300÷100＝5，
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，即比甲早到5小时；
甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，即乙车出发6.5小时后追上甲车；
乙还未出发，甲在，
乙在甲后面40km时，y甲﹣y乙＝40，可得60t﹣100t+100＝40，
即在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时或，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
9．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称（　　）

A． B．2 C．2﹣ D．
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质得出DF＝DC和DB＝DC，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，DC＝2，
∴DB＝DC＝8，
∴OD＝
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DF＝DC＝8，
∴OF＝DF﹣OD＝2﹣，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出DB和OD解答．
10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】依据题意，读懂题目然后根据绝对值的意义进行化简即可得解．
【解答】解：依据题意，分别分析如下：
①k＝5，即M＝|a+b+c+d+e|＝|a+b+c+d﹣e|＝0，
又4的绝对值是0，
∴a+b+c+d﹣e＝0．
∴a+b+c+d＝e．
∴①正确．
②k＝6，M＝a+|b+c|+d+e＝a+|b﹣c|+d+e．
M＝a+b+|c+d|+e＝a+b+|c﹣d|+e，则可能M＝a+b﹣c+d+e．
k＝3，M＝|a+b+c|+d+e＝|a+b﹣c|+d+e．
∴②正确．
③k＝2时只有5个“﹣”，k＝3时，k＝4时．
∴③错误．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质，解题时注意结合分类讨论是关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的撗线上．
11．（4分）（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝　　．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣2）﹣2+（π﹣3）0
＝+1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m的值为 　2023　．
【分析】根据题意可得m2﹣3m+1＝0，从而得到m2﹣3m＝﹣1，再代入，即可求解．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+8＝0的一个根，
∴m2﹣8m+1＝0，
∴m2﹣3m＝﹣1，
∴2022﹣m6+3m＝2022﹣（m2﹣7m）＝2022﹣（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 　7　．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
14．（4分）如图，AB＝AC＝5，BC＝6，则AD＝　4　．

【分析】由AB＝AC，AD⊥BC，可得BD＝CD＝BC＝3，再用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝4，
故答案为：6．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用，解题的关键是掌握并能熟练应用勾股定理．
15．（4分）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是　x1＝1，x2＝　．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝3（x﹣1），
3x（x﹣5）﹣2（x﹣1）＝8，
（x﹣1）（3x﹣5）＝0，
∴x﹣1＝8或3x﹣2＝3，
∴x1＝1，x5＝．
故答案为：x4＝1，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，连接BE．若BE＝2，OC＝5，则O到CD的距离为 　　．
​

【分析】连接DE交AC于点N，过点O作OM⊥CD于点M，根据翻折变换的性质可知CN是DE的垂直平分线，故DN＝EN，∠OND＝90°，再由平行四边形的性质可知OD＝OB，故ON是△BDE的中位线，故ON＝BE＝1，NC＝ON+OC＝1+5＝6，OD＝BD＝3，根据勾股定理求出DN的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接DE交AC于点N，过点O作OM⊥CD于点M，
∵将△DOC沿着对角线AC翻折得到△EOC，
∴DN＝EN，∠OND＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BE＝2，BD＝6
∴OD＝OB＝BD＝3，
∴ON是△BDE的中位线，
∴ON＝BE＝1，
∴NC＝ON+OC＝4+5＝6，OD＝，
∴DN＝＝＝2＝＝2，
∴S△ODC＝CD•OM＝，即2，
∴OM＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查的是翻折变换和平行四边形的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键．
18．（4分）阅读以下材料，并解决相应问题．
材料一：对于个位数字非零的任意三位数M，将个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，F（M）表示一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商，如：325的“倒序数”为523，F（325）＝＝2；
材料二：任意三位数满足：c＞a且a+c＝3b，称这个数为“登高数”．如：138为“登高数”，且F（M）＝3，则M的最大值为 　659　．
【分析】通过设M这个三位数为100a+10b+c，则根据材料一，可得M′＝100c+10b+a，再根据F（M）＝3，形成关于a，c的关系式，再根据c＞a，a+c＝3b，及a，b，c都是0～9之内的数，进行分类讨论，最后确定M的最值．
【解答】解：设M这个三位数为100a+10b+c，则M′＝100c+10b+c．
∴F（M）＝＝，
∵F（M）＝3，
∴＝3，
整理得，|a﹣c|＝5，
∵c＞a，
∴c﹣a＝3，即c＝a+3．
∵7≤c≤9，
∴1≤a+2≤9，解得﹣2≤a≤6．
∵1≤a≤9，
∴4≤a≤6
∵a+c＝3b，
∴a＝（b﹣1），
∴2≤（b﹣2）≤6≤b≤5．
∴b取整数，故可取2，8，4，5
又∵b﹣4取偶数，
∴b取奇数，故b只能取3，5．
∴当b＝6时，a＝，c＝8；
   当b＝5时（5﹣1）＝8，此时M＝659
∵求M的最大值，
∴M最大值是659．
故答案为：659．
【点评】本题考查了新定义、不等式的解法、因式分解的应用，解题的关键理解掌握题目中的新定义，根据新定义得出有关字母的等量关系，再根据字母的取值范围确定字母的值．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x﹣y）（x+2y）﹣（2x﹣y）2；
（2）．
【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝x2+2xy﹣xy﹣5y2﹣（4x6﹣4xy+y2）
＝x5+2xy﹣xy﹣2y8﹣4x2+6xy﹣y2
＝﹣3x3+5xy﹣3y7；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】此题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．（10分）在学习矩形的过程中，小明发现将矩形ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段BD的垂直平分线，通过三角形全等的证明，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作BD的垂直平分线MN，交BC于点N，垂足为点O．
∵四边形ABCD是矩形，
∴①　AD∥BC　，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②　MN垂直平分线段BD　，
∴③　DO＝BO　，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四边形ABNM＝S四边形ABOM+S△BON+S△BON，
＝S四边形ABOM+S△DOM，
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④　S四边形ABNM＝S矩形ABCD　，
即MN平分矩形ABCD的面积．

【分析】根据要求作出图形，证明△BON≌△DOM（AAS）推出S四边形ABNM＝S四边形ABOM+S△BON+S△BON＝S四边形ABOM+S△DOM＝S△ABD，可得结论．
【解答】解：图形如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴①AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②MN垂直平分线段BD，
∴③DO＝BO，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四边形ABNM＝S四边形ABOM+S△BON+S△BON
＝S四边形ABOM+S△DOM
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④S四边形ABNM＝S矩形ABCD，
即MN平分矩形ABCD的面积．
故答案为：AD∥BC，MN垂直平分线段BD，S四边形ABNM＝S矩形ABCD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21．（10分）2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤°x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：
82，82，81，81，81，80，80
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
28
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　10　，b＝　39　，c＝　80　；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）

【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值；
（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．
【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为1﹣40%﹣25%﹣18%﹣7%＝10%，
即a＝10；b＝100﹣14﹣28﹣13﹣2＝39；
八年级的中位数在B组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，
即c＝80；
故答案为：10，39；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数；
（3）（人），
答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
22．（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝30°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°，
（2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°，
∴PB＝AB＝40（海里），
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△PBD中，
PD＝BPsin60°＝20（海里），
20＞30，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23．（10分）随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售
（1）梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？
（2）已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？
【分析】（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，根据B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，根据去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元；
（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，
由题意得：+＝180，
解得：a＝8，
经检验，a＝8是原方程的解，
∴＝＝60（套），
答：去年5月购进B款玩具60套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，点D的运动时间为t．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）

【分析】（1）根据题意得AB＝AC＝6，∠A＝60°，BD＝t，可得AD＝6﹣t，AE＝2AD＝12﹣2t，分两种情况：当0≤t≤3时，CE＝AE﹣AC＝12﹣2t﹣6＝6﹣2t，y＝AD+CE＝6﹣t+6﹣2t＝﹣3t+12，当3＜t≤6时，CE＝AC﹣AE＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6，y＝AD+CE＝6﹣t+（2t﹣6）＝t；
（2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质；
（3）观察图象可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：AB＝AC＝6，∠A＝60°，
∴AD＝6﹣t，∠AED＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴AE＝4AD＝12﹣2t，
当0≤t≤3时，如图：

∴CE＝AE﹣AC＝12﹣2t﹣6＝6﹣2t，
∴y＝AD+CE＝6﹣t+5﹣2t＝﹣3t+12，
当8＜t≤6时，如图：

∴CE＝AC﹣AE＝6﹣（12﹣3t）＝2t﹣6，
∴y＝AD+CE＝7﹣t+（2t﹣6）＝t；
∴y＝；
（2）当t＝0时，y＝12，y＝3，y＝6

由图象可知，当t＝3时；
（3）观察图象可得，y＝3时．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及一次函数及图象，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），且与正比例函数y＝2x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数表达式；
（2）如图2，若点P是x轴上的一个动点，连接PB，当PB+PC最小时，求PB+PC的最小值及此时点P的坐标；
（3）将（2）问中PB+PC最小时的P点向右平移个单位长度，点N是坐标平面内的一个点，当以点A，M，N，请直接写出符合条件的所有点N的坐标，并选其中一个写出求解过程．

【分析】（1）将点C（m，4）代入y＝2x中可得m的值，进而得点C（2，4），再将点A（﹣6，0），C（2，4）代入y＝kx+b求出k，b，进而可得一次函数的表达式；
（2）先求出点B（0，3），作点B关于x轴的对称的B'，则点B'（0，﹣3），连接CB'交x轴于P'，当点P与点P'重合时，PB+PC为最小，最小值为线段B'C的长，可根据点C，B'的坐标求出DB'＝7，CD＝2，然后由勾股定理可求出B'C的长，进而得PB+PC的最小值，根据△B'OP'和△B'DC相似可求出，OP'的长，进而P的坐标；
（3）先根据点的坐标得点M（2，1），然后分三种情况进行讨论：①当AB为平行四边形的对角线时，先由中点坐标公式求出点E的坐标，进而点N的坐标；②当AB、BM均为平行四边形的一边时，③当BM为平行四边形的对角线时，同样利用中点坐标公式可求出点N的坐标．
【解答】解：（1）将点C（m，4）代入y＝2x得：m＝7，
∴点C的坐标为（2，4），
将点A（﹣6，0），4）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为：，
故得m＝2，一次函数的表达式为：．
（2）对于，当x＝0时，
∴点B的坐标为（2，3），
作点B关于x轴的对称的B'，则点B'（0，连接CB'交x轴于P'，PB'，
当点P与点P'重合时，PB+PC为最小．

理由如下：
∵点B，B'关于x轴对称，
∴PB＝PB'，P'B＝P'B'，
∴PB+PC＝PB'+PC，P'B+P'C＝P'B'+P'C＝B'C，
根据“两点之间线段最短”得：PB'+PC≥B'C
∴PB+PC≥P'B+P'C，
∴当点P与点P'重合时，PB+PC为最小，
∵点C（4，4），﹣3），
∴CD＝4，OD＝4，
∴DB'＝OD+OB'＝7，
在Rt△CDB'中，DB'＝3，
由勾股定理得：，
∴PB+PC的最小值为，
∵OP'∥CD，
∴△B'OP'∽△B'DC，
∴OP'：CD＝OB'：B'D，
即：OP'：2＝3：7，
∴，
∴点P'的坐标为，
∴当PB+PC为最小时，点P的坐标为．
（3）符合条件的点N的坐标为（﹣8，8）或（4，4）．
理由如下：
由（2）可知：点，
由平移的性质得点M的坐标为（3，1），
设点N的坐标为（m，n）
∵以点A，M，N，B为顶点的四边形是平行四边形，
∴有以下三种情况：
①当AB为平行四边形的对角线时，
连接MN交AB于点E，则点E为AB，

∵A（﹣6，6），3）
由中点坐标公式得：点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，
∴点E的坐标为，
又点M的坐标为（2，2），
∴，，解
得m＝﹣8，n＝2，
∴点N的坐标为（﹣8，2）；
②当AB、BM均为平行四边形的一边，

同理得点N的坐标为（﹣3，﹣2）；
③当BM为平行四边形的对角线时，

同理得点N的坐标为（8，8）．
综上所述：符合条件的点N的坐标为（﹣8，2）或（﹣5，4）．
【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数的图象，点的坐标的平移，平行四边形的性质等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（2）的关键利用轴对称求最短路线；解答（3）的关键是进行分类讨论，漏解是解答此题的易错点之一．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是边AC上一点，连接DB
（1）如图1，若∠DBC＝4∠DCE，BE＝2；
（2）如图2，在EC上截取EF＝EB，连接AF交BD于点G；
（3）如图3，若CD＝CB，AC＝8，连接MD，将线段MD绕点D顺时针旋转90°得到线段M′D，点Q是线段BD上一个动点，连接PQ，当PQ+M′Q最小时，请直接写△PBQ的面积．
​
【分析】（1）设∠DCE＝α，则∠DBC＝4α，∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝45°﹣α，可得方程45°﹣α+4α＝90°，从而得出α＝15°，所以∠BCE＝45°﹣α＝30°，进而求得结果；
（2）方法一：作AH⊥BD，交BD的延长线于点H，可证得△ABH≌△BCE，从而得出BE＝AH，BH＝CF，进而证明△AGH≌△FGE，从而GH＝GE，进一步得出结论；
方法二：连接BF，延长FE至H，使EH＝EF，连接AH，BH，可证明△ABH≌△CBF，从而AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，进而得出∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，进而得出AH＝2EG，从而CF＝2EG；
（3）作DN⊥AC，截取DN＝CD，连接NM′，连接CN，可证得△NDM′≌△CDM，从而得出∠N＝∠ACB＝45°，可得点M′在CN上，作点P关于BD的对称点P′，作P′R⊥CN，交BD于点Q′，则当M′在R处，点Q在Q′处，PQ+QM′最小，可一次求得BC，BP，PB的值，可得出∠BPQ′＝∠ACB＝45°，从而Q′H＝，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
设∠DCE＝α，则∠DBC＝4α，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BED＝90°，
∴∠DBC+∠BCE＝90°，
∴45°﹣α+4α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BCE＝45°﹣α＝30°，
∴BC＝6BE＝4；
∴AC＝BC＝2；
（2）方法一：如图1，

作AH⊥BD，交BD的延长线于点H，
∴∠H＝∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABH，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCE（AAS），
∴BE＝AH，BH＝CF，
∵EF＝EB，
∴AH＝EF，
∵∠H＝∠FEG＝90°，∠AGH＝∠FGE，
∴△AGH≌△FGE（AAS），
∴GH＝GE，
∴EH＝6EG，
∵BH＝CE，BE＝EF，
∴CF＝EH＝2EG，
方法二：如图2，

连接BF，延长FE至H，连接AH，
∵CE⊥BD，
∴BH＝BF，
∴∠BFE＝∠BHF，
∵BE＝EF，∠CEB＝90°，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°，
∴∠HBF＝90°，
∴∠HBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABH＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，
∴∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，
∴∠AHF＝∠CED＝90°，
∴EG∥AH，
∴AH＝4EG，
∴CF＝2EG；
（3）如图3，

作DN⊥AC，截取DN＝CD，连接CN，
∴∠CDN＝90°，∠N＝45°，
∵∠MDM′＝90°，
∴∠CDN＝∠MDM′，
∴∠NDM′＝∠CDM，
∵DM＝DM′，
∴△NDM′≌△CDM（SAS），
∴∠N＝∠ACB＝45°，
∴点M′在CN上，
作点P关于BD的对称点P′，作P′R⊥CN，
则当M′在R处，点Q在Q′处，
∵BC＝AC＝，
∴BP＝BC＝2，
∴PQ′＝P′Q′＝PB＝2，
∵CD＝BC，∠CBD＝∠PBQ′，
∴∠BPQ′＝∠ACB＝45°，
∴Q′H＝，
∴S△PQ′B＝＝，
∴△PQBD的面积为：2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．