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重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数：3.142，，，π中，无理数是（ ）
A．3.142 B． C． D．π
2．（4分）下列等式中，错误的是（ ）
A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3•6x3＝18x6 D．
3．（4分）估算﹣2的值是在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为2：3：4，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为70°，则顶角为55°
D．两直线平行，同旁内角相等
5．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2＞y2 B．a2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
6．（4分）若x、y为等腰三角形的两边，且满足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．10 D．16或14
7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（4分）重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的方程2y＝，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．6
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（ ）个．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根为 ．
12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝ ．
13．（4分）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 ．
14．（4分）点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣2），则点P的坐标为 ．
15．（4分）已知点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴 ．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20° ．
17．（4分）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，则AE的长为 ．
18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m），“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝ ，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n），则n的值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
19．（8分）（1）计算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1个单位长度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位再向下平移1个单位得到△A1B1C1，在图中作出△A1B1C1，并写出点C1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴ +∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝ ，
∴∠FBD+ ＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+ ＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ，
∴∠AFE＝AEF．
22．（10分）今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分），最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，解答下列问题：
分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 度；
（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．
23．（10分）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5
24．（10分）某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装20件，购进甲种10件，乙种30件用去2800元．
（1）求甲乙服装的单价各多少？
（2）若甲种服装每件售价为50元，乙种服装的售价为100元，该商店预计用不高于6480元钱购进两种服装共100件，问有几种购货方案？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点C（0，6），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻？若存在，请求出时间t，请说明理由．
26．（12分）如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，F，求证：EF＝CF+BE：
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，AM＝BN，连接CM，若AC＝6，当CM+CN取得最小值时
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数：3.142，，，π中，无理数是（ ）
A．3.142 B． C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3.142是有限小数，故本选项不合题意；
B、＝3，属于有理数；
C、是分数，故本选项不合题意；
D、π是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
2．（4分）下列等式中，错误的是（ ）
A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3•6x3＝18x6 D．
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3x3+3x3＝9x7，故A不符合题意；
B、2x2﹣2x2＝﹣x2，故B符合题意；
C、8x3•6x7＝18x6，故C不符合题意；
D、3x6÷6x3＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（4分）估算﹣2的值是在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先根式出的范围，再求出﹣2的范围，再得出选项即可．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴减7得：3﹣2＜8，
即﹣2的值在3到3之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为2：3：4，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为70°，则顶角为55°
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】根据轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．等边三角形有3条对称轴；
B．若三条线段长度之比为2：7：4，故此选项符合题意；
C．等腰三角形的一个底角为70°，故此选项不合题意；
D．两直线平行，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质，正确掌握相关图形的性质是解题关键．
5．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2＞y2 B．a2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵x＞y＞0，
∴x2＞y5，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴a2x＞a2y，
故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴＞，
故C符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴2﹣x＜4﹣y，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6．（4分）若x、y为等腰三角形的两边，且满足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．10 D．16或14
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得x﹣4＝0，x﹣y+6＝0，
解得x＝4，y＝3，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、2、6，
能组成三角形，周长＝4+8+6＝14，
所以三角形的周长为14，
②4是底边时，三角形的三边分别为6、6、6，
能组成三角形，周长＝7+6+6＝16，
所以三角形的周长为16，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据三角形的中线的性质计算即可．
【解答】解：∵点E是AB上的中点，
∴S△BED＝S△DEA＝3，
∴S△ABD＝6，
∵点D是BC上的中点，
∴S△ADC＝S△ABD＝4，
∴S四边形AEDC＝3+6＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
8．（4分）重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据路程＝速度×时间，结合“经过1小时40分钟两车相遇，且相遇时小汽车比货车多行驶40km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，根据题意可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的方程2y＝，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．6
【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得1≤＜4，再解一元一次方程，根据题意可得≥0且为整数，从而可得4≤m≤6且为整数，然后进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组有解且至多有7个整数解，
∴1≤＜4，
∴4≤m＜10，
2y＝+6，
解得：y＝，
∵方程的解为非负整数解，
∴≥0且，
∴m≤6且为整数，
综上所述：4≤m≤2且为整数，
∴m＝5或6，
∴满足条件的所有整数m的和＝4+6＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（ ）个．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAD，故①正确；
在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°；
∵AF＝AD，∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝45°＝∠EFD，
∴FD平分∠AFE，故③正确；
∵△ABD≌△AEF，
∴S△ABD＝S△AEF，
∴S四边形ABDE＝S四边形ADEF，故④正确；
如图，过点E作EN⊥EF，
∴∠FEN＝90°，
∴∠EFN＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，
在△BGD和△EGN中，
，
∴△BDG≌△ENG（AAS），
∴BG＝GE，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根为 ﹣ ．
【分析】可以利用立方根的定义来进行计算．
【解答】解：
∵＝﹣，
∴﹣的立方根为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查立方根的定义，正确掌握立方根的定义是解题的关键，即如果a3＝N，则a叫N的立方根．
12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：原式＝2（x2﹣7）＝2（x+1）（x﹣4）．
故答案为：2（x+1）（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（4分）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 8 ．
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8．
故答案为：5．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
14．（4分）点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣2），则点P的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣8），
∴a＝﹣3，b＝﹣2，
∴点P（﹣7，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣8）．
【点评】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握坐标的变化特点．
15．（4分）已知点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴 ．
【分析】根据平行于y轴的直线上各点的横坐标相等列出关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（m，3），m﹣3），
∴m＝3﹣2m，
解得m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20° 85° ．
【分析】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
【点评】此题综合运用了角平分线定义、直角三角形两个锐角互余以及三角形的外角的性质．
17．（4分）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，则AE的长为 3 ．
【分析】先证△ADC≌△BDE（AAS），再由全等三角形的对应边相等得DE＝DC＝2，再根据AE＝AD﹣DE即可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，∠AFE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠CAD＝∠EBD，
在△ADC与△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（AAS），
∴DE＝DC＝2．
∵BD＝5．
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝3．
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ADC≌△BDE（AAS）．
18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m），“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝ 484 ，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n），则n的值为 4648 ．
【分析】先根据“异友数”的定义求出P（1933）＝816；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“异友数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可．
【解答】解：∵1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193，1452÷3＝484，
∴P（1933）＝484；
设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，个位数字是5y，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴x≠2y，x+5≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+8y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+y，
这四个三位数之和为100（x+5）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+8）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷2＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+3）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+8y+2能被13整除，
当y＝1时，10x+7y+2＝10x+11，存在x＝8使10x+6y+2能被13整除，故不符合题意；
当y＝2时，10x+5y+2＝10x+20＝13+10x+7，在7≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+3能被13整除；
当y＝3时，10x+9y+4＝10x+29＝26+10x+3，此时n＝1336，舍去）
当y＝4时，10x+6y+2＝10x+38＝26+10x+12，此时n＝4648；
综上所述，n＝4648；
故答案为：816；4648．
【点评】本题考查整除问题，考查方式比较新颖，理解“异友数”的具体特征是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
19．（8分）（1）计算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
【分析】（1）先计算开方和乘方，再算除法，最后算加减；
（2）先利用单项式乘多项式法则，再合并同类项．
【解答】解：（1）
＝﹣1+﹣2÷4
＝﹣1+﹣
＝﹣；
（2）﹣6xy（x4﹣2xy﹣y2）+4xy（2x2﹣5xy+y2）
＝﹣6x7y+12x2y2+8xy3+6x8y﹣12x2y2+2xy3
＝9xy8．
【点评】本题考查了实数及整式的运算，掌握乘方、开方运算及单项式乘多项式法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1个单位长度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位再向下平移1个单位得到△A1B1C1，在图中作出△A1B1C1，并写出点C1的坐标 （3，0） ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求，点C1的坐标（3，4）．
故答案为：（3，0）；
（2）如图，△A7B2C2即为所求；
（3）求△A3B2C2的面积＝5×3﹣×1×3﹣×2×2＝6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴ ∠DBF +∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝ ∠AFE ，
∴∠FBD+ ∠AFE ＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+ ∠AEF ＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ∠DBF ，
∴∠AFE＝AEF．
【分析】（1）根据作角的平分线的基本作法作图；
（2）根据角平分线的性质及等角的余角相等进行证明．
【解答】解：（1）如图：BE即为所求；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD+∠AFE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AEF＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠AFE＝AEF．
故答案为：∠DBF，∠AFE，∠AEF．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及等角的余角相等是解题的关键．
22．（10分）今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分），最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，解答下列问题：
分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝ 20 ，b＝ 15 ，c＝ 0.15 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 54 度；
（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．
【分析】（1）根据分数段在61≤x＜71中的频数是18人，频率为0.18，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据a、b的值以及各组的频数即可补全频数分布直方图；
（3）求出分数段71≤x＜81的人数所占调查人数的百分比，即可求出对应的扇形圆心角度数；
（4）根据样本中成绩在91≤x＜101的学生所占的百分比，即可估计总体2000人中成绩在91≤x＜101的学生人数．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为18÷0.18＝100（人），
∴a＝100×0.7＝20，b＝100﹣（20+18+35+12）＝15，
∴c＝15÷100＝0.15，
故答案为：20、15；
（2）补全图形如下：
（3）360°×＝54°，
故答案为：54；
（4）2000×0.12＝240（人），
答：初一年级2000人中成绩在91≤x＜101的获得奖励的学生大约有240人．
【点评】本题考查频数分布直方图，频数分布表，理解频率＝是正确解答的前提．
23．（10分）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝4+3＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形的判定定理证得△ABF≌△ADF是解题的关键．
24．（10分）某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装20件，购进甲种10件，乙种30件用去2800元．
（1）求甲乙服装的单价各多少？
（2）若甲种服装每件售价为50元，乙种服装的售价为100元，该商店预计用不高于6480元钱购进两种服装共100件，问有几种购货方案？
【分析】（1）设甲服装的单价为x元，乙服装的单价为y元，根据购进甲种服装20件，乙种服装15件用去2000元，购进甲种10件，乙种30件用去2800元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种服装a件，购进乙种服装（100﹣a）件，根据进价不超过6480元，全部销售出后总获利不低于1600元，列出一元一次不等式组，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲服装的单价为x元，乙服装的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲服装的单价为40元，乙服装的单价为80元；
（2）设购进甲种服装a件，则购进乙种服装（100﹣a）件，
由题意得：，
解得：38≤a≤40，
∵a为正整数，
∴a＝38，39，
∴有3种购货方案：
方案一：购进甲种服装38件，购进乙种服装62件；
方案二：购进甲种服装39件，购进乙种服装61件；
方案三：购进甲种服装40件，购进乙种服装60件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点C（0，6），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻？若存在，请求出时间t，请说明理由．
【分析】（1）根据OB＝4OA，AB＝BC＝10求出OA、OB的长即可得点A、点B的坐标；
（2）先求出S△ABC＝×AB×OC＝×10×6＝30，即有S△COP＝S△ABC＝10，分点P在BC和OB上两种情况，分别用t表示出CP、OP的长，利用面积法求出△OCB中BC边的高，根据S△COP＝10列方程求出t，即可得答案；
【解答】（1）∵OB＝4OA，AB＝BC＝10，
∴OA＝10×＝2，
∵点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，
∴A（﹣2，3），0）．
（2）存在，
如图，当点P在BC上时，
∵AB＝10，OC＝6，
∴S△ABC＝×AB×OC＝，
∴S△COP＝S△ABC＝10，
∵S△OBC＝×OB×OC＝，
∴OD＝＝＝，
∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动，
∴CP＝2t，
∴S△COP＝×CP×OD＝＝10，
解得：t＝，
如图，当点P在线段BO上时，
∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动，
∴OP＝18﹣3t，
∴S△COP＝×OP×OC＝，
解得：t＝
综上：t的值为秒或秒．
【点评】本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，正确表示出边长及三角形面积是解题关键．
26．（12分）如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，F，求证：EF＝CF+BE：
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，AM＝BN，连接CM，若AC＝6，当CM+CN取得最小值时
【分析】（1）过点D作DE⊥AB延长线于点E，根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，再根据等腰直角三角形求出BD＝BC，根据含30°角的直角三角性质求出DE即可；
（2）在EF上取EG＝BE，连接AG，AF，证明△AFC≌△AFG，得FC＝FG，然后得证结论即可；
（3）过点A作AP⊥AD，且AP＝BC，连接PM，过点C作CE⊥AD于点E，证明△APM≌△BCN（SAS），得PM＝CN，得出CN+CM＝PM+CM，得出当C、M、P三点共线时，CN+CM最小，然后求出此时△ACM的面积即可．
【解答】（1）解：过点D作DE⊥AB延长线于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DE＝BD＝，
即点D到AB边的距离为3；
（2）证明：在EF上取EG＝BE，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，∠CBD＝90°，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°+90°＝150°，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE，∠ABE＝∠BDE＝，
∵BE＝GE，AE⊥BG，
∴AE垂直平分BG，
∴AG＝AB，
∴∠AGB＝∠ABG＝75°，
∴∠AGF＝180°﹣75°＝105°，
∵∠ACF＝60°+45°＝105°，
∴∠AGF＝∠ACF，
∵AE＝DE，BF⊥AD，
∴BF垂直平分AD，
∴AF＝AD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFG＝∠DFB，
∵∠DFB＝180°﹣∠BDF﹣∠DBF＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFC＝∠AFG，
又∵AF＝AF，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴FC＝FG，
∴EF＝EG+FG＝BE+CF；
（3）解：过点A作AP⊥AD，且AP＝BC，过点C作CE⊥AD于点E，
∵∠PAM＝∠CBN＝90°，AP＝BC，
∴△APM≌△BCN（SAS），
∴PM＝CN，
∴CN+CM＝PM+CM，
∴当C、M、P三点共线时，
由（2）知，∠CAB＝60°，∠ABD＝150°，
∴∠BAD＝∠BDA＝15°，
∴∠CAE＝60°﹣15°＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝＝＝6，
过点M作MO⊥AC于点O，
则△MOA是等腰直角三角形，
∴AM＝OM，
∵∠CEM＝∠PAM＝90°，∠AMP＝∠CME，
∴∠P＝∠MCE，
∵AP＝BC＝AC，
∴∠P＝∠ACM，
∴∠MCE＝∠ACM，
∴ME＝OM，
∴ME＝AM，
即AM+AM＝6，
解得AM＝12﹣6，
∴S△ACM＝AM•CE＝．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数：3.142，，，π中，无理数是（ ）
A．3.142 B． C． D．π
2．（4分）下列等式中，错误的是（ ）
A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3•6x3＝18x6 D．
3．（4分）估算﹣2的值是在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为2：3：4，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为70°，则顶角为55°
D．两直线平行，同旁内角相等
5．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2＞y2 B．a2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
6．（4分）若x、y为等腰三角形的两边，且满足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．10 D．16或14
7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（4分）重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的方程2y＝，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．6
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（ ）个．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根为 ．
12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝ ．
13．（4分）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 ．
14．（4分）点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣2），则点P的坐标为 ．
15．（4分）已知点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴 ．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20° ．
17．（4分）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，则AE的长为 ．
18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m），“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝ ，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n），则n的值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
19．（8分）（1）计算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1个单位长度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位再向下平移1个单位得到△A1B1C1，在图中作出△A1B1C1，并写出点C1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴ +∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝ ，
∴∠FBD+ ＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+ ＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ，
∴∠AFE＝AEF．
22．（10分）今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分），最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，解答下列问题：
分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 度；
（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．
23．（10分）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5
24．（10分）某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装20件，购进甲种10件，乙种30件用去2800元．
（1）求甲乙服装的单价各多少？
（2）若甲种服装每件售价为50元，乙种服装的售价为100元，该商店预计用不高于6480元钱购进两种服装共100件，问有几种购货方案？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点C（0，6），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻？若存在，请求出时间t，请说明理由．
26．（12分）如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，F，求证：EF＝CF+BE：
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，AM＝BN，连接CM，若AC＝6，当CM+CN取得最小值时
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在实数：3.142，，，π中，无理数是（ ）
A．3.142 B． C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3.142是有限小数，故本选项不合题意；
B、＝3，属于有理数；
C、是分数，故本选项不合题意；
D、π是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
2．（4分）下列等式中，错误的是（ ）
A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3•6x3＝18x6 D．
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3x3+3x3＝9x7，故A不符合题意；
B、2x2﹣2x2＝﹣x2，故B符合题意；
C、8x3•6x7＝18x6，故C不符合题意；
D、3x6÷6x3＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（4分）估算﹣2的值是在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先根式出的范围，再求出﹣2的范围，再得出选项即可．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴减7得：3﹣2＜8，
即﹣2的值在3到3之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为2：3：4，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为70°，则顶角为55°
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】根据轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．等边三角形有3条对称轴；
B．若三条线段长度之比为2：7：4，故此选项符合题意；
C．等腰三角形的一个底角为70°，故此选项不合题意；
D．两直线平行，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质，正确掌握相关图形的性质是解题关键．
5．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2＞y2 B．a2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵x＞y＞0，
∴x2＞y5，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴a2x＞a2y，
故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴＞，
故C符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴2﹣x＜4﹣y，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6．（4分）若x、y为等腰三角形的两边，且满足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．10 D．16或14
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得x﹣4＝0，x﹣y+6＝0，
解得x＝4，y＝3，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、2、6，
能组成三角形，周长＝4+8+6＝14，
所以三角形的周长为14，
②4是底边时，三角形的三边分别为6、6、6，
能组成三角形，周长＝7+6+6＝16，
所以三角形的周长为16，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据三角形的中线的性质计算即可．
【解答】解：∵点E是AB上的中点，
∴S△BED＝S△DEA＝3，
∴S△ABD＝6，
∵点D是BC上的中点，
∴S△ADC＝S△ABD＝4，
∴S四边形AEDC＝3+6＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
8．（4分）重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据路程＝速度×时间，结合“经过1小时40分钟两车相遇，且相遇时小汽车比货车多行驶40km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，根据题意可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的方程2y＝，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．6
【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得1≤＜4，再解一元一次方程，根据题意可得≥0且为整数，从而可得4≤m≤6且为整数，然后进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组有解且至多有7个整数解，
∴1≤＜4，
∴4≤m＜10，
2y＝+6，
解得：y＝，
∵方程的解为非负整数解，
∴≥0且，
∴m≤6且为整数，
综上所述：4≤m≤2且为整数，
∴m＝5或6，
∴满足条件的所有整数m的和＝4+6＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（ ）个．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAD，故①正确；
在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°；
∵AF＝AD，∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝45°＝∠EFD，
∴FD平分∠AFE，故③正确；
∵△ABD≌△AEF，
∴S△ABD＝S△AEF，
∴S四边形ABDE＝S四边形ADEF，故④正确；
如图，过点E作EN⊥EF，
∴∠FEN＝90°，
∴∠EFN＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，
在△BGD和△EGN中，
，
∴△BDG≌△ENG（AAS），
∴BG＝GE，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根为 ﹣ ．
【分析】可以利用立方根的定义来进行计算．
【解答】解：
∵＝﹣，
∴﹣的立方根为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查立方根的定义，正确掌握立方根的定义是解题的关键，即如果a3＝N，则a叫N的立方根．
12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：原式＝2（x2﹣7）＝2（x+1）（x﹣4）．
故答案为：2（x+1）（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（4分）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 8 ．
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8．
故答案为：5．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
14．（4分）点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣2），则点P的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵点P（a，b）关于y轴的对称点P1（3，﹣8），
∴a＝﹣3，b＝﹣2，
∴点P（﹣7，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣8）．
【点评】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握坐标的变化特点．
15．（4分）已知点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴 ．
【分析】根据平行于y轴的直线上各点的横坐标相等列出关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（m，3），m﹣3），
∴m＝3﹣2m，
解得m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．
16．（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20° 85° ．
【分析】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
【点评】此题综合运用了角平分线定义、直角三角形两个锐角互余以及三角形的外角的性质．
17．（4分）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，则AE的长为 3 ．
【分析】先证△ADC≌△BDE（AAS），再由全等三角形的对应边相等得DE＝DC＝2，再根据AE＝AD﹣DE即可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，∠AFE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠CAD＝∠EBD，
在△ADC与△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（AAS），
∴DE＝DC＝2．
∵BD＝5．
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝3．
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ADC≌△BDE（AAS）．
18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m），“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝ 484 ，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n），则n的值为 4648 ．
【分析】先根据“异友数”的定义求出P（1933）＝816；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“异友数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可．
【解答】解：∵1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193，1452÷3＝484，
∴P（1933）＝484；
设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，个位数字是5y，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴x≠2y，x+5≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+8y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+y，
这四个三位数之和为100（x+5）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+8）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷2＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+3）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+8y+2能被13整除，
当y＝1时，10x+7y+2＝10x+11，存在x＝8使10x+6y+2能被13整除，故不符合题意；
当y＝2时，10x+5y+2＝10x+20＝13+10x+7，在7≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+3能被13整除；
当y＝3时，10x+9y+4＝10x+29＝26+10x+3，此时n＝1336，舍去）
当y＝4时，10x+6y+2＝10x+38＝26+10x+12，此时n＝4648；
综上所述，n＝4648；
故答案为：816；4648．
【点评】本题考查整除问题，考查方式比较新颖，理解“异友数”的具体特征是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
19．（8分）（1）计算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
【分析】（1）先计算开方和乘方，再算除法，最后算加减；
（2）先利用单项式乘多项式法则，再合并同类项．
【解答】解：（1）
＝﹣1+﹣2÷4
＝﹣1+﹣
＝﹣；
（2）﹣6xy（x4﹣2xy﹣y2）+4xy（2x2﹣5xy+y2）
＝﹣6x7y+12x2y2+8xy3+6x8y﹣12x2y2+2xy3
＝9xy8．
【点评】本题考查了实数及整式的运算，掌握乘方、开方运算及单项式乘多项式法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1个单位长度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位再向下平移1个单位得到△A1B1C1，在图中作出△A1B1C1，并写出点C1的坐标 （3，0） ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求，点C1的坐标（3，4）．
故答案为：（3，0）；
（2）如图，△A7B2C2即为所求；
（3）求△A3B2C2的面积＝5×3﹣×1×3﹣×2×2＝6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴ ∠DBF +∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝ ∠AFE ，
∴∠FBD+ ∠AFE ＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+ ∠AEF ＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝ ∠DBF ，
∴∠AFE＝AEF．
【分析】（1）根据作角的平分线的基本作法作图；
（2）根据角平分线的性质及等角的余角相等进行证明．
【解答】解：（1）如图：BE即为所求；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD+∠AFE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AEF＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠AFE＝AEF．
故答案为：∠DBF，∠AFE，∠AEF．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及等角的余角相等是解题的关键．
22．（10分）今年是巴蜀中学建校88周年纪念，为了让学生进一步了解巴蜀中学的历史，学校在初一年级组织了一系列“校史知识”专题学习活动（满分100分）阅卷后教务处随机地抽取了部分答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分），最高分为100分，且分数都为整数．并绘制了尚不完整的统计图表，解答下列问题：
分数段（分）
频数
频率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝ 20 ，b＝ 15 ，c＝ 0.15 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段71≤x＜81对应扇形圆心角度数是 54 度；
（4）我校初一年级共有2000人参加测试，学校准备对成绩在91≤x＜101的学生进行奖励，请你计初一年级获得奖励的学生人数．
【分析】（1）根据分数段在61≤x＜71中的频数是18人，频率为0.18，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据a、b的值以及各组的频数即可补全频数分布直方图；
（3）求出分数段71≤x＜81的人数所占调查人数的百分比，即可求出对应的扇形圆心角度数；
（4）根据样本中成绩在91≤x＜101的学生所占的百分比，即可估计总体2000人中成绩在91≤x＜101的学生人数．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为18÷0.18＝100（人），
∴a＝100×0.7＝20，b＝100﹣（20+18+35+12）＝15，
∴c＝15÷100＝0.15，
故答案为：20、15；
（2）补全图形如下：
（3）360°×＝54°，
故答案为：54；
（4）2000×0.12＝240（人），
答：初一年级2000人中成绩在91≤x＜101的获得奖励的学生大约有240人．
【点评】本题考查频数分布直方图，频数分布表，理解频率＝是正确解答的前提．
23．（10分）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝4+3＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形的判定定理证得△ABF≌△ADF是解题的关键．
24．（10分）某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装20件，购进甲种10件，乙种30件用去2800元．
（1）求甲乙服装的单价各多少？
（2）若甲种服装每件售价为50元，乙种服装的售价为100元，该商店预计用不高于6480元钱购进两种服装共100件，问有几种购货方案？
【分析】（1）设甲服装的单价为x元，乙服装的单价为y元，根据购进甲种服装20件，乙种服装15件用去2000元，购进甲种10件，乙种30件用去2800元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种服装a件，购进乙种服装（100﹣a）件，根据进价不超过6480元，全部销售出后总获利不低于1600元，列出一元一次不等式组，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲服装的单价为x元，乙服装的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲服装的单价为40元，乙服装的单价为80元；
（2）设购进甲种服装a件，则购进乙种服装（100﹣a）件，
由题意得：，
解得：38≤a≤40，
∵a为正整数，
∴a＝38，39，
∴有3种购货方案：
方案一：购进甲种服装38件，购进乙种服装62件；
方案二：购进甲种服装39件，购进乙种服装61件；
方案三：购进甲种服装40件，购进乙种服装60件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点C（0，6），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻？若存在，请求出时间t，请说明理由．
【分析】（1）根据OB＝4OA，AB＝BC＝10求出OA、OB的长即可得点A、点B的坐标；
（2）先求出S△ABC＝×AB×OC＝×10×6＝30，即有S△COP＝S△ABC＝10，分点P在BC和OB上两种情况，分别用t表示出CP、OP的长，利用面积法求出△OCB中BC边的高，根据S△COP＝10列方程求出t，即可得答案；
【解答】（1）∵OB＝4OA，AB＝BC＝10，
∴OA＝10×＝2，
∵点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，
∴A（﹣2，3），0）．
（2）存在，
如图，当点P在BC上时，
∵AB＝10，OC＝6，
∴S△ABC＝×AB×OC＝，
∴S△COP＝S△ABC＝10，
∵S△OBC＝×OB×OC＝，
∴OD＝＝＝，
∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动，
∴CP＝2t，
∴S△COP＝×CP×OD＝＝10，
解得：t＝，
如图，当点P在线段BO上时，
∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动，
∴OP＝18﹣3t，
∴S△COP＝×OP×OC＝，
解得：t＝
综上：t的值为秒或秒．
【点评】本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，正确表示出边长及三角形面积是解题关键．
26．（12分）如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD
（1）若，求点D到AB边的距离；
（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，F，求证：EF＝CF+BE：
（3）如图3，点M，N分别为线段AD，AM＝BN，连接CM，若AC＝6，当CM+CN取得最小值时
【分析】（1）过点D作DE⊥AB延长线于点E，根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，再根据等腰直角三角形求出BD＝BC，根据含30°角的直角三角性质求出DE即可；
（2）在EF上取EG＝BE，连接AG，AF，证明△AFC≌△AFG，得FC＝FG，然后得证结论即可；
（3）过点A作AP⊥AD，且AP＝BC，连接PM，过点C作CE⊥AD于点E，证明△APM≌△BCN（SAS），得PM＝CN，得出CN+CM＝PM+CM，得出当C、M、P三点共线时，CN+CM最小，然后求出此时△ACM的面积即可．
【解答】（1）解：过点D作DE⊥AB延长线于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DE＝BD＝，
即点D到AB边的距离为3；
（2）证明：在EF上取EG＝BE，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，∠CBD＝90°，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°+90°＝150°，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE，∠ABE＝∠BDE＝，
∵BE＝GE，AE⊥BG，
∴AE垂直平分BG，
∴AG＝AB，
∴∠AGB＝∠ABG＝75°，
∴∠AGF＝180°﹣75°＝105°，
∵∠ACF＝60°+45°＝105°，
∴∠AGF＝∠ACF，
∵AE＝DE，BF⊥AD，
∴BF垂直平分AD，
∴AF＝AD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFG＝∠DFB，
∵∠DFB＝180°﹣∠BDF﹣∠DBF＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFC＝∠AFG，
又∵AF＝AF，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴FC＝FG，
∴EF＝EG+FG＝BE+CF；
（3）解：过点A作AP⊥AD，且AP＝BC，过点C作CE⊥AD于点E，
∵∠PAM＝∠CBN＝90°，AP＝BC，
∴△APM≌△BCN（SAS），
∴PM＝CN，
∴CN+CM＝PM+CM，
∴当C、M、P三点共线时，
由（2）知，∠CAB＝60°，∠ABD＝150°，
∴∠BAD＝∠BDA＝15°，
∴∠CAE＝60°﹣15°＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝＝＝6，
过点M作MO⊥AC于点O，
则△MOA是等腰直角三角形，
∴AM＝OM，
∵∠CEM＝∠PAM＝90°，∠AMP＝∠CME，
∴∠P＝∠MCE，
∵AP＝BC＝AC，
∴∠P＝∠ACM，
∴∠MCE＝∠ACM，
∴ME＝OM，
∴ME＝AM，
即AM+AM＝6，
解得AM＝12﹣6，
∴S△ACM＝AM•CE＝．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
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