2022-2023学年陕西省西安市西北工业大学附属中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西北工业大学附属中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

2．下列关系式中正确的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．

解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，

cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．

又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，

∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．

故选C．

【解析】正弦函数的单调性．

3．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得.

【详解】因为，所以，

∴，又，所以，∴或（舍去），

所以，

所以在方向上的投影向量为.

故选：A.

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.

【详解】因为，由有：

，故B，C，D错误.

故选：A.

5．已知平面向量与的夹角是，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案

【详解】由可得，

因为平面向量与的夹角是，且

所以

故选：C

6．为了得到函数的图象，需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】易知，

，因为，

所以函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.

故选：D．

7．已知向量，，则（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】D

【详解】求出的坐标，再计算模．

【分析】因为，，所以，

所以，

故选：D．

8．如果、是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（    ）

①可以表示平面内的所有向量；

②对于平面中的任一向量，使的，有无数多对；

③若向量与共线，则有且只有一个实数，使；

④若实数，使，则．

A．①② B．②③ C．③④ D．仅②

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理，逐一对选项①②③分析判断，即可得出正误，对于选项④，反证法可判断出正误，从而得到结果.

【详解】对于①，由平面向量基本定理可知，①是正确的．

对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以②错误；

对于③，当两向量的系数均为零，即时，这样的有无数个，所以③错误；

对于④，假设不全为0 ，不妨设，则，则，共线，与，是平面内两个不共线的向量矛盾，所以，所以④正确.

故选：B.

9．在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.

【详解】因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，

所以，

因为，，

所以

故选：B

10．已知的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得参数，结合，求得，即可求解.

【详解】由函数的图象，可得且，

可得，所以，即，

又由，解得，

即，因为，所以，所以.

故选：A.

11．下列命题中，正确的是（    ）

A．第三象限角大于第二象限角

B．若P(2a，a)是角终边上一点，则

C．若、的终边不相同，则

D．的解集为

【答案】D

【分析】利用象限角的定义，结合反例即可判断AC,由三角函数的定义即可判断B,由正切函数的性质即可判断D.

【详解】对于A,若分别为第三象限以及第二象限的角，但是，故A错误，

对于B，，故B错误，

对于C，当时，，故C错误，

对于D，得，所以D正确，

故选：D

12．函数的图象大致为（    ）

A． B．      

C． D．

【答案】A

【分析】先根据函数奇偶性排除选项C,D；再利用特殊值排除选项B即可求解.

【详解】因为，定义域为，

又，可知函数为奇函数，故排除选项C,D；

又由时，，，有，，可得；

当时，，，有，，可得；

故当时，，故排除选项B；

而A选项满足上述条件，故A正确.

故选：A.

二、填空题

13．已知平面向量，满足，则        ．

【答案】5

【分析】由向量的模长公式代入求解即可.

【详解】因为，则，

所以.

故答案为：5.

14．求函数的定义域为      ．

【答案】

【分析】由三角函数值域以及对数函数定义及可解得其定义域.

【详解】根据题意可得，解得，

所以；

又，即，解得

取交集部分可得，的定义域为.

故答案为：

15．已知，，则的取值范围为        .

【答案】

【分析】设与的夹角为（），则由题意可得，再根据余弦函数的性质可求得结果.

【详解】设与的夹角为（），

因为，，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

即的取值范围为，

故答案为：

16．已知，下列四个命题中正确的序号为     

①函数的图像关于直线对称；

②函数在上单调递增；

③函数的图像关于点对称；

④函数在上的值域是.

【答案】③

【分析】根据正弦函数的图像与性质判断函数的对称性、单调性与值域即可.

【详解】对于①，，

所以函数的图像不关于直线对称，故①错误；

对于②，由，可得，

因为，所以函数在上不单调，故②错误；

对于③，，

所以函数的图像关于点对称，故③正确；

对于④，若，则，

所以，

所以函数在上的值域是，故④错误.

故答案为:③.

三、解答题

17．求下列各式的值:

(1)cos+tan;

(2)sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）（2）应用诱导公式化简求值即可.

【详解】（1）cos+tan=cos+tan=cos+tan+1=.

（2）原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.

18．化简.

【答案】

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】

 .

19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调区间；

(3)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递增区间为；单调递减区间为；

(3)

【分析】（1）根据图象得到最小正周期，进而得到，代入特殊点，求出，求出函数解析式；

（2）利用整体法求解单调区间；

（3）利用三角函数的图象及性质解不等式，得到答案.

【详解】（1）由图知函数的最小正周期，所以，

又，所以.

因为，所以，

所以；

（2）令，解得；

令，解得；

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为；

（3）当，即，

可得，解得，

所以的取值范围为.

20．已知向量与满足，，与的夹角为.

(1)求；

(2)求；

(3)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；

（2）根据及数量积的运算律计算可得；

（3）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得.

【详解】（1）因为，，与的夹角为，

所以.

（2）

.

（3）因为，则，

即，

所以，即，解得.

21．已知的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求的单调递增区间；

(3)求在区间上的最大值.

【答案】(1)

(2)单调递增区间，

(3)2

【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；

（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；

（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.

【详解】（1）由，可得.

（2）由（1）知：，

令，，则，，

所以的单调递增区间，.

（3）由题设，，故，

所以，故最大值为2.

22．在中，角，，的对边分别为，，，且，，．

(1)求角的大小；

(2)若，，试判定的形状．

【答案】(1)

(2)为等边三角形

【分析】（1）利用向量共线定理得，由正弦定理即可得出，化简可得答案；

（2）利用三角形的面积计算公式得，再由余弦定理即可得出．

【详解】（1），，，

，

由正弦定理得，

，即，

在中，，，，

又，.

（2）由（1）可知，，

，

，①

又由余弦定理得，

，②

结合①②可得，又，

所以为等边三角形．

23．已知函数在区间上单调，其中，，且．

(1)求的图象的一个对称中心的坐标；

(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.

（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.

【详解】（1）由函数在区间上单调，

且，可知，

故的图象的一个对称中心的坐标为

（2）由点在函数的图象上，

有，又由，

，

可知函数在区间上单调递减，

由函数的图象和性质，

有，

又，有，

将上面两式相加，有，

有，

又由，可得，

则，

又由函数在区间上单调，

有，可得，可得，

故．

24．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．

(1)用，表示和；

(2)证明：

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由向量的线性运算即可求解，

（2）利用向量的数量积即可求证垂直关系.

【详解】（1）,

又为中点,所以

（2）

又

所以

25．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上.

(1)当为等边三角形时，求EF的最小值；

(2)当时，求EF的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，设，，，且，可得，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而得到，进而根据三角函数的图象及性质求解即可；

（2）由题意可得，，，设，则，且，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而根据余弦定理可得，再结合二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）在等腰直角三角形ABC中，斜边，

则，

因为为等边三角形，则，

设，，，且，

则，，

在中，由正弦定理得，即，

即，

在中，由正弦定理得，即，

即，

所以，

即

即，

因为，所以，

所以当，即时，，

所以EF的最小值为.

（2）由题意，，

所以，，，

设，则，且，

在中，由正弦定理得，即，

即，

在中，由正弦定理得，即，

即，

所以在中，

由余弦定理得    ，

即，

即，

因为，

所以当时，.

【点睛】方法点睛：三角形边的问题，常常通过正弦定理、余弦定理求解，而求边的最值问题常常适当设角度，得出所求边的函数关系式，再结合三角函数的图象及性质求解即可.