2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第二中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市第二中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用诱导公式化简计算

【详解】，

故选：D

2．函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据函数图象得到，再根据平移变换求解即可.

【详解】由图知：，则，

，所以，则，即.

因为，所以，，

即，.

因为，得，所以.

所以

.

故选：C

3．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算

【详解】.

故选：B

4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）

A．钝角三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.

【详解】在中，由正弦定理得，而，

∴ ，即，

又∵、为的内角，∴，

又∵，∴，

∴由余弦定理得：，∴，

∴为等边三角形.

故选：B.

5．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）

A．z的实部是 B．的虚部是

C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．

【答案】A

【分析】把转化为化简求解.

【详解】

z的实部是故A正确；，故D错误

，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.

故选：A

6．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由侧面展开图求得圆锥底面半径、高，然后由体积公式计算．

【详解】记圆锥的底面半径为r，则，解得，

∴圆锥的高，

∴该圆锥的体积为．

故选：D．

7．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得.

【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，

又由轴得轴，故，

不妨设是的中点，则，

所以在中，，即中边上的中线的长度为.

故选：A.

.

8．已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】两个不同的平面，，直线平面，

当时，或，不充分；当时，，必要.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】BD

【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.

【详解】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；

对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；

对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；

对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；

故选：BD

10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（    ）

A． B．与所成的角为60°

C．与是异面直线 D．平面

【答案】ACD

【分析】将平面图形还原为立体图形，，，A正确B错误，观察知C正确，根据平面平面得到D正确，得到答案.

【详解】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：

，，故，A正确B错误；

与是异面直线，C正确；

平面平面，平面，平面，D正确.

故选：ACD

11．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ）

A．直线与平面所成的角为

B．二面角的正切值为

C．到面的距离为

D．作平面，垂足为，则为的重心

【答案】BD

【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，可得为直线与平面所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得平面，即得为二面角的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项.

【详解】解：因为，，两两互相垂直，，平面，

故为直线与平面所成的角，又，所以，

故直线与平面所成的角为，故A错误；

取中点为，连接，

因为，，，两两互相垂直，所以，

因为，所以平面，故为二面角的平面角，

则，故二面角的正切值为，故B项正确；

因为，所以，设到面的距离为，

则，解得，故C项错误；

因为，故为等边三角形，

因为平面，则点为点在平面上的投影，又，

即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等，

故为的重心，故D项正确.

故选：BD.

12．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的周期为 B．的一条对称轴为

C．是奇函数 D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.

A. 的最小正周期为，所以该选项正确；

B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；

C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；

D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知复数满足，则        .

【答案】2

【分析】先求出复数z，再求.

【详解】，∴.

故答案为：2

14．已知都是锐角，，则           .

【答案】/

【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.

【详解】、为锐角，

，

，

由于为锐角，

故答案为：

15．已知在单调递增，则实数的最大值为           .

【答案】

【分析】根据正弦函数的单调性求得正确答案.

【详解】在上递增，在上递减.

，当时，，

由于在单调递增，

所以，

所以的最大值是.

故答案为：

16．点为边长为的正三角形所在平面外一点且，则到平面的距离为      .

【答案】/

【分析】画出图形，过作底面 的垂线，垂足为，连接并延长交于，利用正和直角的性质，即可求解.

【详解】解：过作底面 的垂线，垂足为，连接并延长交于，

因为为边长为的正所在平面外一点且，

所以是三角形 的中心，所以，

因为的边长为，可得，可得,

在直角中，可得，

即点到平面的距离为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知非零向量、，满足，，且．

(1)求向量、的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案，

（2）先求出，然后平方可得结果

【详解】（1）∵，

∴，即，                        

又，∴，设向量、的夹角为，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即向量、的夹角为；

（2）∵

∴．

18．.

(1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)，最小正周期

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，并求得最小正周期.

（2）根据三角函数值域的求法，求得函数在区间上的值域.

【详解】（1）

.

所以的最小正周期.

（2）由于，

所以，

所以在区间上的值域为.

19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点．

(1)证明：．

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）要证，只需要证明平面，根据直线与平面垂直的判定定理，只需要证明平面平面内的两条相交直线，即，则问题就可得以解决；

（2）第一问已经找到了平面的垂线段，连接 ，则是与平面所成角，在直角三角形中即可求出.

【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以，又，

所以，则四点共面.

因为是的中点，，所以．

因为平面，所以．在直角梯形中，．而，，平面，因此平面．所以．

又因为，且，，平面，

所以平面．

因为平面，所以．

（2）

连接．由（1）可知平面，

所以是与平面所成角．

设，于是，．

另一方面，．

因此，在直角三角形中，．

所以与平面所成角的正弦值为．

20．在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到，应用余弦定理可得到角；（2）因为为的平分线，则，用两角和的正弦公式可计算，再由正弦定理可得的长.

【详解】解：

（1）由正弦定理及得，，

由余弦定理可得，

因为，所以．

（2）由（1）得角，

又因为为的平分线，点在上，所以，

又因为，且，所以，

所以，

在中，由正弦定理得，

即，解得．

【点睛】思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三角形即可.

21．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.

(1)当为的中点时，求证：平面.

(2)当平面，求出点的位置，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.

【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；

（2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置.

【详解】（1）取中点为，连接，

在中，为的中点，为中点，

，

在平行四边形中，为的中点，

，

，

四边形为平行四边形，

面面，

平面；

（2）连接，相交于，连接，

面，面面面，

，，

即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.

22．如图，多面体ABCDE中，平面ABC，平面平面ABC，是边长为2的等边三角形，，AE=2．

(1)证明：平面平面BCD；

(2)求多面体ABCDE的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）若为中点，连接，易证，由面面垂直的性质得面，易知，进而证为平行四边形，即，最后根据线面垂直的性质及判定和面面垂直的判定证结论；

（2）由求组合体的体积即可.

【详解】（1）若为中点，连接，

由是边长为2的等边三角形，，则，

又面面ABC，面，面面，故面，

因为平面ABC，故，又，

所以为平行四边形，即，

由面，则，，面，

所以面，即面，又面，

所以平面平面BCD；

（2）由多面体ABCDE的体积.