2022-2023学年广东省惠州市博罗县杨侨中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省惠州市博罗县杨侨中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市博罗县杨侨中学高一下学期5月月考数学试题 一、单选题1．若，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的运算和共轭复数的定义即可.【详解】，..故选：B.2．已知，，若，则（    ）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】由平面向量的坐标运算求解，【详解】因为，所以，所以.故选：B3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（    ）A．16 B．12 C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法分析运算.【详解】在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.4．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ）A． N B．5 N C． N D．10 N【答案】A【分析】因为合力与的夹角为，用两向量夹角的余弦公式列式求解【详解】因为两个力，的夹角为，所以，又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为，所以，解得.故选：A.5．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为72，则该正四棱台的体积为（    ）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】求出正四棱台的侧棱长和高，根据棱台的体积公式即可求解.【详解】如图，记该正四棱台为，在等腰梯形中，过作于E，则．由该正四棱台的侧面积为72可知，，∴，则．连接AC，，则，，在等腰梯形中，过作于F，则．根据正四棱台的性质可知，平面ABCD．在中，．该正四棱台的体积，故选：B．6．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意求得圆锥高度，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度，由此得解.【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆锥高度为，上、下底面半径为，则，又沙漏总高度为，则，所以，即，解得，所以初始状态的沙子高度为.故选：C.7．把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出平移后的函数解析式为，再根据函数的奇偶性，得到，即可解得.【详解】由题意可得平移后所得图像对应的函数为偶函数，∴∴.∵，∴.故选:.8．在中，已知，则的形状一定是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可得，再根据A、的范围可得答案．【详解】由，得，即，又因为A，，所以，，所以，得，所以一定为直角三角形．故选：B． 二、多选题9．已知复数（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（    ）A．复数z的虚部为2i B．C．复数z的共轭复数 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】CD【分析】根据复数的概念求出A选项，B选项，利用复数模长公式求解；C选，利用共轭复数的概念求解共轭复数；D选项，写出复数z在复平面内的点的坐标，进而判断其在第一象限.【详解】复数z的虚部为2，A错误；，B错误；复数z的共轭复数，C正确；复数z在复平面内对应的点为，故复数z在复平面内对应的点在第一象限，D正确.故选：CD10．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．的图像关于点对称B．的图像关于直线对称C．在上为增函数D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像【答案】ABC【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由已知，，，，，，又，，，对于A，，故A正确；对于B，令，，得，，时，，故B正确；对于C，时，令，在上递增，故C正确；对于D，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，故D错误.故选：ABC.11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．B．若为斜三角形，则C．若，则是锐角三角形D．若，则一定是等边三角形【答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A，D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，【详解】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；对于B，由题意，，则，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选:ABD．12．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（    ）A． B． C．10 D．【答案】ABD【分析】先利用等体积法，求出到的距离，从而得出点在线段上或与A重合，进而得到，再利用，即可求出结果.【详解】因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，因为，得到，如图，连接，，设与，分别交于，易得，当点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，又易知，所以；当点与点重合时，，符合题意.故选：ABD. 三、填空题13．已知，，，则在方向上的投影向量是          .【答案】【分析】设与方向相同的单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量.【详解】设与方向相同的单位向量为，则，则在方向上的投影向量为.故答案为：.14．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为      ．【答案】【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积.【详解】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为，．当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以，解得或（舍）；当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．综上，，故该球的体积为．故答案为：15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高        .【答案】【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．【详解】在中，，，所以．在中，，，从而，由正弦定理得，，因此．在中，，，得．故答案为：．16．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为     .【答案】【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解即可.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则有.当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.   同理可求：，因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故答案为： 四、解答题17．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.(1)求∠ABC 的正弦值；(2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.【答案】(1)(2)海里 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值；（2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离.【详解】（1）由题设，，，，在△中，，则；（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，由，所以海里.18．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的体积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．【答案】(1)(2)当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为 【分析】（1）根据锥体体积公式运算求解；（2）利用轴截面分析可得，进而可求侧面积并结合二次函数求最值.【详解】（1）因为即圆锥的体积为．（2）该几何体的轴截面如图所示．由题意可得：设圆柱的底面半径为r cm，由题意可知，可得，则圆柱的侧面积，所以当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为．19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .(1)求角B的大小；(2)若，且，求a和c；(3)若，，求的周长.【答案】(1)(2)，(3). 【分析】（1）根据正余弦定理化简即可.（2）根据正弦定理结合三角形面积公式即可.（3）根据余弦定理求出的值即可.【详解】（1）中，，由正弦定理得：，，即，，在三角形中，，.（2），由正弦定理得：，又，，，.（3）由余弦定理：，，故周长为.20．已知复数（1）若，求角；（2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由题意可得：，由，可得：，即可得解；（2）由题意可得，，根据，即可得解.【详解】（1）由，可得，由，可得：，所以，所以或；（2）由题意可得，由，所以，所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考了复数的乘积运算，以及对实数的虚部为0的考查，同时考查了求三角函数的取值范围和辅助角公式的应用，属于基础题.21．如图，在凸四边形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四边形的面积为4，求的值．【答案】(1)；(2)﹒ 【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求；(2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒【详解】（1）在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在△、△中，由余弦定理得，，，从而①，由得，②，得，，∴．22．已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，且______________．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．(1)求A；(2)若，点D是BC边的中点，求线段AD长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①可利用正弦定理边化角再结合三角形内角和及两角和差公式即可求得，或者利用余弦定理将角化边即可求得A.（2）由点D是BC边的中点，可用向量利用平行四边形法则及余弦定理，将线段AD长转化成含有的函数，再由取值范围，求得函数的值域，即可求得线段AD长的取值范围.【详解】（1）若选①，方法一因为，所以由正弦定理可得，又，，即，又因为C为三角形内角，，所以，又因为，所以．方法二因为，所以由余弦定理可得，即，，又因为，所以．若选②，因为，所以，整理可得：，解得：或，又因为，可得，所以，所以．若选③，因为，所以，可得，即．又因为，所以．（2）法一：因为，所以，．因为D是BC的中点，所以，所以，所以当时，，即，又    ，即故线段AD长的取值范围为．法二：因为D是BC的中点，所以，所以当且仅当时，，由可知：，即故线段AD长的取值范围为．法三：因为，所以，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，整理得，将，代入整理得：，所以当时，，即，又    ，即故线段AD长的取值范围为．