2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市东莞实验中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数，进而可得出复数的虚部.

【详解】，因此，.

因此，复数的虚部为.

故选：D.

【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，考查计算能力，属于基础题.

2．已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出与的夹角为锐角时的充要条件是且，从而判断出答案.

【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线.

时，，

当时，

则与不共线时，，

所以与的夹角为锐角的充要条件是且，

显然且是的真子集，

即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.

故选：A

3．下表是足球世界杯连续八届的进球总数：

则进球总数的第40百分位数是（    ）

A．147 B．154 C．161 D．165

【答案】C

【分析】将数据从小到大排列，计算，根据第40百分位数的含义，即可确定答案.

【详解】将连续八届的进球总数从小到大排列为：，

由于，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161，

故选：C

4．若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得到点到的距离即为，即可求解.

【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，

又因为且，可得，

作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，

根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.

故选：D.

5．将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（    ）

A．10 B．

C． D．5

【答案】A

【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可．

【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，，

可得，所以圆台的高为．

故选：A

6．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.

【解析】余弦定理

【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.

7．如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.

【详解】由题知AB面BCD,   ABCD,又BC=BD，点是的中点， BECD,

且BE= 又，CD面ABE,

过B作BF于E，则CDBF,又AECD=E, BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.

,解得BA=4 , ,利用 等面积知 .

故选D.

【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF 面ACD是关键.

8．已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为

A．－2 B．－1 C．－3 D．－4

【答案】C

【详解】试题分析：由图可知： ， ，又因为是圆的一条直径，故是相反向量，且， ，因为点在圆内且满足，三点共线，当为的中点时，取得最小值，故的最小值为.

【解析】向量的运算.

二、多选题

9．下列命题为假命题的是（    ）

A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合

B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行

D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直

【答案】AC

【分析】根据线面，面面的位置关系，判断选项.

【详解】解：对于A：两个相交平面有一条交线，交线有无数个公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；

对于B：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故B正确；

对于C：垂直于同一直线的两条直线互相平行，相交，异面，故C错误；

对于D：若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直，故D正确.

故选：AC．

10．已知复数z满足，则（    ）

A．复数z虚部的最大值为2

B．复数z实部的取值范围是

C．的最小值为1

D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

【答案】ABC

【分析】根据题意得复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再依次讨论求解即可.

【详解】解：满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，

由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；

实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；

表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；

由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．

故选：ABC

11．如图，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、

、、、，

对于A选项，，，则，

所以，直线与直线不垂直，A错；

对于B选项，设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，所以，，即，

因为平面，平面，B对；

对于C选项，连接、、，

因为、分别为、的中点，则，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

所以，，所以，、、、四点共面，

故平面截正方体所得截面为，

且，同理可得，，

所以，四边形为等腰梯形，

分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示：

因为，，，

所以， ，故，，

因为，，，则四边形为矩形，所以，，

，故，

故梯形的面积为，C对；

对于D选项，，则点到平面的距离为，

，则点到平面的距离为，

所以，点与点到平面的距离不相等，D错.

故选：BC.

12．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（    ）

A．△ABC面积的最大值为 B．的最大值为

C． D．的取值范围为

【答案】AB

【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.

【详解】由余弦定理得：，解得：，

由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，

所以，故，A正确；

，

其中由正弦定理得：，

所以

，

因为，所以，

故最大值为，的最大值为，

B正确；

，

故C错误；

，

因为，所以，

所以，D错误.

故选：AB

【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.

三、填空题

13．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取        人．

【答案】6

【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.

【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数为.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为，所以“剪纸”社团中高二年级人数为.由题意知，抽样比为，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为.

故答案为:6

14．某圆锥的底面半径为1，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.则该圆锥的侧面积为             .

【答案】

【分析】根据已知可得扇形的弧长为，进而根据弧长公式求出扇形的半径即圆锥的母线，即可求出答案.

【详解】设圆锥的母线为，底面半径，扇形的半径为.

由已知可得，的长为，

又，由可得，.

所以圆锥的侧面积为.

故答案为：.

15．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若，则铁塔OT的高度为       米．

【答案】

【分析】根据题意可得，在中，利用余弦定理求解．

【详解】设铁塔OT的高为，则可得

在中，则，即

解得

故答案为：．

四、双空题

16．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为        ，内切球表面积为        .

【答案】          /

【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.

【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，

设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示：

则，，，解得，，

外接球直径，其半径为，

三棱锥的体积，

在中，，，取的中点，连接，如下图所示：

则，且，所以，，

因为三棱锥的每个面的三边分别为、、，

所以，三棱锥的表面积为，

设三棱锥的内切球半径为，则，可得，

所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

故答案为：；.

五、解答题

17．复数，其中为虚数单位．

(1)求及；

(2)若，求实数，的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；

（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.

【详解】（1）∵，

∴．

（2）由（1）可知，

由，得：，

即，∴，解得

18．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在及以上的学生人数；

(2)估计该校100名学生身高的分位数.

【答案】(1)，身高在170cm及以上的学生人数（人）

(2)

【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x,根据频率求出身高在及以上的学生人数；

（2）可设该校100名生学身高的分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，

身高在170cm及以上的学生人数（人）.

（2）的人数占比为，

的人数占比为，

所以该校100名学生身高的分位数落在，

设该校100名学生身高的分位数为x，

则，解得.

故该校100名学生身高的分位数约为.

19．如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是x轴和y轴正方向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.已知的坐标为.

（1）求的大小；

（2）若的坐标为，求与夹角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先计算，再由，平方即可计算模长；

（2）由，先计算，再由可得夹角的余弦值，从而得解.

【详解】（1）分别是x轴和y轴正方向的单位向量，且夹角为，所以，

的坐标为，所以，

所以，

所以，

（2）的坐标为，所以，

,

所以与夹角的余弦值为

所以与夹角的大小为.

20．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由题意易知，根据线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定证平面平面．

（2）由（1）结合勾股逆定理知，根据线面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.

【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，

∵，，

∴平面，又平面，

∴平面平面．

（2）由（1）知：，在中，有，即，

∴，又，，即面，

∴二面角的平面角是，

∴，

∴二面角的余弦值是．

21．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

(1)求A；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化求解即可；

（2）将问题转化为，然后根据角度范围求解范围；

【详解】（1）由题设和正弦定理可得，，

因为，所以，

于是

因为，所以，即，

因为，

所以.

（2）由（1）知，，则，

而是锐角三角形，

有，

解得，

于是，

而，，

即，

所以的取值范围是.

22．如图所示，在长方形中，，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的体积；

（3）在棱上是否存在一点，使得//平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】（1）先证明,又平面平面，利用面面垂直的性质可知平面,则可证明；

（2）取的中点，连接，则可证明平面,所以;

（3）连接交于，假设在上存在点，使得//平面，连接．

要使//平面,只需//，然后采用几何法确定点的位置.

【详解】解：（1）证明：根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，

∴，

∴，即．

∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）取的中点，连接，则，且．

∵平面平面，

且平面平面，平面，

∴平面，

∴．

（3）如图所示，连接交于，假设在上存在点，使得//平面，连接．

∵平面，平面平面，

∴//，

在中，，

∵，∴，

∴，即，

∴在棱上存在一点P，且，

使得//平面．

【点睛】本题考查空间垂直关系的判断及证明，考查棱锥的体积计算、以及存在性动点问题，难度一般，考查学生的逻辑推理能力、计算能力及空间想象能力.