2022-2023学年山西省孝义市高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省孝义市高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．如图所示，用符号语言可表达为（    ）

A．，， B．，，

C．，，， D．，，，

【答案】A

【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．

【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，

故用符号语言可表达为，，，

故选：A．

2．在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.

小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温；

小爽：判断某种新药是否有效；

小夏：“山西新闻联播”的收视率；

小天：近年来我市普通高中人学人数.

其中，通过调查获取数据的是（    ）

A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天

【答案】C

【分析】根据收集数据的不同方法，逐一判断各选项即可.

【详解】邯郸市今年“五一”前后的气温，通过观察获取数据；

判断某种新药是否有效，通过试验获取数据；

“山西新闻联播”的收视率，通过调查获取数据；

近年来我市普通高中人学人数，通过查询获得数据.

故选：C.

3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理结合特殊角的三角函数值求解.

【详解】在中，，即，

由余弦定理可得，

由于，故．

故选：A．

4．已知参加数学竞赛决赛的人的成绩分别为：、、、、、、、、、、、、、，则这人成绩的第百分位数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将成绩由小到大进行排序，利用百分位数的定义可得出结果.

【详解】把成绩按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、、

、、、.

因为，所以这人成绩的第百分位数是.

故选：C.

5．对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面之间的关系即可得解.

【详解】直线不在平面上或与相交，

故"直线不在平面上"是""的必要不充分条件.

故选：B.

6．2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小

B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

C．去年4月鲜菜价格要比今年4月低

D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%

【答案】D

【分析】根据统计图计算可得答案.

【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；

猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故B不正确；

因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年4月鲜菜价格要比今年4月高，故C不正确；

这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故D正确.

故选：D

7．已知平面与平面的夹角为，为平面、外一定点，则过点且与平面，所成角都是的直线有（    ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】D

【分析】过点作平面垂直于平面、的交线，并且交直线于点，连接，则，过点在平面内作的平分线，以为轴在的角平分面内转动，根据题意可得出有两条直线满足题意；以点为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果.

【详解】首先给出下面两个结论：

①两条平行线与同一个平面所成的角相等；

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面.

（1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，

与两半平面交于、，

因为平面，、平面，所以，，，

则为二面角的平面角，则，

设为的平分线，则，

与平面、所成的角都是，此时过点且与平行的直线符合要求，

当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，与两平面的夹角会变小，

会对称地出现两条符合成的情形；

（2）如图2，设为的补角的平分线，

则，与平面、所成的角都是，

当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，

与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条，

此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条.

综上所述，符合条件的直线有条.

故选：D.

8．已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将四面体补成正方体，连接交于点，连接交于点，连接，证明为的公垂线，即可得解.

【详解】将四面体补成正方体，连接交于点，连接交于点，连接，如图，

则，分别为，的中点，

因为且，故四边形为平行四边形，

则且，

又因为，分别为，的中点，所以且，

故四边形为平行四边形，故且，

因为平面，平面，所以，即，

同理可得，故到的距离最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用复数的四则运算，结合复数的性质与模的运算公式逐一判断各选项即可得解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，与都是虚数不能比较大小，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，因为，

所以，D正确.

故选：AD.

10．已知，是2条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】ACD

【分析】利用面面平行的性质判断AD；由与的可能位置关系判断B；利用线面垂直的性质判断C作答.

【详解】对于A，，，则，A正确；

对于B，若，，则与的位置关系是平行或相交，B错误；

对于C，若，，由线面垂直的性质得与平行，C正确；

对于D，，，由面面平行的性质，得，D正确.

故选：ACD

11．已知样本：的均值为4，标准差为2，样本：的方差为4，则样本和样本的（    ）

A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等

【答案】BC

【分析】设样本的均值为，方差为，极差为，中位数为，则由已知条件可得，，然后分和两种情况讨论求解.

【详解】对于选项A，B，C，设样本的均值为，方差为，极差为，中位数为，则，，，所以，，

当时，样本：；样本：，可得样本的平均数为，样本的平均数为，

样本和样本的极差相等为，方差也相等为4，故B，C正确；

选项D，设样本的中位数为，则样本的中位数为，故D错误.

当时，样本：；样本：，可得样本的平均数为，样本的平均数为，

样本和样本的极差相等为，方差也相等为4，故B，C正确；

选项D，设样本的中位数为，则样本的中位数为，故D错误.

故选：BC.

12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则在的斜坐标系中下列说法正确的是（    ）

A．设，，若，则，

B．设，则

C．设，，则

D．设，，则与的夹角为

【答案】AC

【分析】根据的斜坐标系的定义结合题意和向量数量积的运算律逐个分析判断即可.

【详解】，.

对于A，即，则，，A正确；

对于B，，即，B错误；

对于C，由，，得，C正确；

对于D，若，，则，，，.

由，可得，即，D不正确.

故选：AC.

三、填空题

13．已知，，若，则      .

【答案】

【分析】根据，可得，求出，再根据平面向量线性运算得坐标表示及模得坐标公式即可得解.

【详解】因为，，，

所以，解得，

所以，所以.

故答案为：.

14．如图所示的是的直观图，其中，则的周长为      .

【答案】

【分析】作出原图形，求出各边边长，即可得出原三角形的周长.

【详解】在直观图中，，，则，

故为等腰直角三角形，所以，，

故原图形中，，，

故的周长为.

故答案为：.

15．某校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，如下表：

则全体学生每天读书时间的方差为      .

【答案】1.966

【分析】先求出全体学生每天读书时间的平均数，再利用方差公式可求全体学生每天读书时间的方差

【详解】由题意可得，总的平均数为，

所以方差为.

故答案为：1.966.

16．已知正四棱锥的底面边长为2，四棱锥的外接球的表面积为，则四棱锥的体积为      .

【答案】或

【分析】设底面中心为，连接，，，由四棱锥的外接球的表面积为，可得外接球半径，分球心在四棱锥内部和球心在四棱锥外部，分别求出的值，再根据体积公式求解即可.

【详解】解：如图所示，当球心在四棱锥内部时，

设底面中心为，连接，，，

因为四棱锥的外接球的表面积为，

即，解得外接球半径.

在中，，即，

解得或1（舍去），

所以;

当球心在四棱锥外部时，同理可得或2（舍去），

所以；

所以四棱锥的体积为或.

故答案为：或

四、解答题

17．某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.

(1)求，，，；

(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.

【答案】(1)，，，

(2)选择品种，理由见解析

【分析】（1）根据平均数和方差公式可得.

（2）根据方差的意义可得.

【详解】（1），

，

，

.

（2）由可得，两个品种平均产量相等，

又，则品种产量较稳定，故选择品种.

18．已知的内角，，的对边分别为，，，若，.

(1)求；

(2)若的周长为6，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边换角再结合两角和与差的正弦公式即可得到答案；

（2）利用余弦定理得，结合三角形周长及即可求出的值，最后利用三角形面积公式即可.

【详解】（1）由题意，在中，，

∵，

∴，

即，

∴，

∵，，

∴，可得，解得.

（2）在中，由余弦定理，得，

∵的周长为6，，所以.

则，.

∴，∴的面积为.

19．如图，在正三棱柱中，为的中点. 证明：

(1)平面；

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接，设，连接，利用中位线的性质证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】（1）证明：连接，设，连接.

因为且，所以，四边形为平行四边形，

因为，则为的中点，

又因为为的中点，所以，，

因为平面，平面，所以，平面.

（2）证明：在正三棱柱中，平面.

因为平面，所以，.

因为为正三角形，为中点，所以，.

因为，、平面，所以，平面.

又因为平面，所以，平面平面.

20．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组、、、、，得到如下频率分布直方图.

(1)求出直方图中的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；

(3)现规定质量指标值小于的为二等品，质量指标值不小于的为一等品.已知该厂某月生产了件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件.

【答案】(1)

(2)平均数为，中位数为

(3)一等品有个，二等品有个

【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，可求得的值；

（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得乘积全部相加，可得出样本数据的平均数，利用中位数左边的矩形面积之和为，可求得中位数的值；

（3）分析可知个工艺品中一等品有个，二等品有个，利用分层抽样可求得件工艺品中一等品和二等品的数量.

【详解】（1）解：在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，

则，得.

（2）解：平均数为，

因为，，

所以中位数在第组，设中位数为，则，

解得.

所以，可以估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数为，中位数为.

（3）解：由频率分布直方图可知个工艺品中二等品有个，一等品有个，

该厂生产的件工艺品中一等品有个，二等品有个，

所以一等品有个，二等品有个.

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，为棱上的一点.

(1)证明：平面；

(2)作出平面截四棱锥所得截面，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)四边形，理由见解析

【分析】（1）在中，由余弦定理求出，然后由勾股定理的逆定理可得，再由面面垂直的性质可证得结论；

（2）取棱中点为，连接，，，则四边形即为所求截面，然后利用平面的性质可证得结论.

【详解】（1）证明：在中，由余弦定理可知，

可得，

由，得，所以.

又平面平面，且平面平面，且平面，

所以平面.

（2）解：如图，取棱中点为，连接，，，

则四边形即为所求截面，理由如下：

因为为的中点，所以∥，

又∥，所以∥.

即，，，四点共面.

故四边形即为所求截面.

22．如图，在四边形中，，，，，为边的中点.

(1)若，求的面积；

(2)当变化时，求长度的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理可求出，又是等腰直角三角形，易求出的面积.

（2）取中点，连接，，设，，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，在中，根据余弦定理可求出是关于的三角函数，利用三角函数求最值即可得答案.

【详解】（1）在中，由余弦定理，得.

取中点，连接，，

∵，，为的中点，

∴，.

则的面积.

（2）设，，

∵，分别为边，的中点，

∴，，，

在中，由余弦定理，得.

由正弦定理，

得.

在中，，

由余弦定理，得

，

令，

，∴，∴，

则，.

令，易知在上单调递增，

∴当时，的最大值为，

.

∴长度的最大值为.

【点睛】本题的第2问是难点，求长度的最大值，关键是求出的表达式.本题设，，利用正，余弦定理建立关系式，消元，最终得到是关于的三角函数式，转化为三角函数求最值问题.