2022-2023学年山东省枣庄市第二中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市第二中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为复数，

所以复数在复平面内对应的点在第一象限，

故选：A

2．的值等于（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【分析】根据两角和的余弦公式以及诱导公式，可将原式化成即可求得结果.

【详解】利用诱导公式可知，

所以，原式

即.

故选：C

3．如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加减法结合图形判断各个选项即可.

【详解】,A选项错误;

因为ABCD是平行四边形, 点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,,B选项错误;

,C选项正确;

,D选项错误.

故选：C.

4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化简给定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.

【详解】在中，由得：，

整理得，则或，

当时，，，是直角三角形，

当时，由正弦定理得，因此是等腰三角形，

所以是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

5．已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（    ）

A． B． C．12π D．60π

【答案】B

【分析】由题意画出图形，找出四面体外接球的球心，求解三角形可得外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可.

【详解】如图：

设底面正三角形的外心为，三角形的外心为，

分别过、作所在面的垂线相交于，则为三棱锥外接球的球心，

再设底面正三角形外接圆的半径为，则.

由已知求得，可得也为边长是的正三角形，

所以外接圆的半径为，则.

所以三棱锥外接球的半径满足：.

则三棱锥外接球的表面积为.

故选：B.

6．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出和,再利用等面积法求出，最后利用平面向量的数量积求解.

【详解】由已知可得，，根据等面积法得，

所以．

故选：C

7．古希腊亚历山大学派著名几何学家巴普士，生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，V＝Sl(V表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).已知在梯形ABCD中，，AB⊥BC，AB＝BC＝2AD＝4，利用上述定理可求得梯形ABCD的重心G到边AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求得梯形ABCD绕AB旋转一周得到的体积和梯形ABCD的面积，再利用公式V＝Sl求解.

【详解】解：设梯形ABCD的重心G到边AB的距离为d，

梯形ABCD绕AB旋转一周得到的体积为：

梯形ABCD的面积为：，

所以重心G到边AB的距离为，

故选：A

8．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：

①ω的取值范围是；    ②的最小正周期可能是；

③在区间上单调递增；   ④在区间上有且仅有3个不同的零点.

其中所有正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据题意利用辅助角公式化简函数的解析式，根据对称轴条数并利用正弦函数的图象和性质即可得，再根据最小正周期公式可得，利用整体代换法可知在区间上不一定单调递增，且在区间上有3个或4个不同的零点.

【详解】由题意可得在区间上有且仅有4条对称轴，且，

根据正弦函数图象性质可得，解得，故①正确；

由最小正周期公式可得，显然，即②正确；

当时，，

又，，显然，所以在区间上不一定单调递增，即③错误；

易知时，，而，所以函数在区间上有3个或4个不同的零点；即④错误.

故选：B

二、多选题

9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】CD

【分析】直接借助空间想象找到反例，说明选项AB错误；根据平行的传递性得到选项CD正确.

【详解】A. 若，则或相交或异面（如下图所示），所以该选项错误；

B. 若，则或相交，所以该选项错误；

（正方体的左侧面和右侧面都垂直底面，此时；正方体的左侧面和前表面都垂直底面，此时相交.）

C. 若，，则，所以该选项正确；

D. 若，，则，所以该选项正确.

故选：CD.

10．在△ABC中，若，则下列论断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】先利用条件求出，得出，然后运用同角三角函数关系式、诱导公式、三角变换等知识逐项进行求解.

【详解】解：因为在△ABC中，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，即，

故.

选项A：因为，所以，

所以，

所以选项A正确；

选项B：因为，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以选项B正确；

选项C：因为，所以，

所以，

所以选项C正确；

选项D：因为，所以，

所以，

所以，所以选项D错误；

故选：ABC.

11．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可.

【详解】A. 为重心，所以,

所以,

所以,

所以，所以该选项正确.

B.，

由于G是重心，所以，所以，

同理,所以，

所以该选项正确.

C.,所以该选项错误.

D.,

所以,所以该选项正确.

故选：ABD

12．已知正方体的棱长为，点，是棱，的中点，点是侧面内运动（包含边界），且与面所成角的正切值为，下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．存在点，使得

C．存在点，使得平面 D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为

【答案】ACD

【分析】由正方体的性质得为与面所成角，且，进而得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由题知，在正方体中，平面，

所以，为与面所成角，且，

因为正方体的棱长为，与面所成角的正切值为

所以，解得，

所以，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，如图.

此时.

对于A选项，有，当且仅当三点共线时等号成立，

故的最小值为，正确；

对于B选项，因为平面，平面，所以，

假设存在点，使得，则，平面

由于平面，故有，

另一方面，在侧面中，取棱的中点，

由点是棱的中点，进而结合平面几何知识易得，

故要使，则点与点重合，

由于，，显然不重合，故错误；

对于C选项，如图，设，则易知为中点，连接，

因为点，是棱，的中点，

所以，在中，，，

所以，四边形为平行四边形，即，

因为平面，平面，

所以平面，平面，

因为，所以平面平面，

所以，当为与弧的交点时，平面，故平面，正确；

对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段形成的曲面是以为顶点，点为底面圆心，底面半径为的圆锥的部分侧面，

所以，其所在的圆锥的母线长为，

因为，，

所以，，

所以，弧的长为，

所以，结合扇形面积公式，所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知向量满足，且，则与的夹角为         ．

【答案】/

【分析】利用向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.

【详解】由，得，解得，

设与的夹角为，则

，

因为，

所以.

所以与的夹角为.

故答案为：.

14．已知，，,，则        ．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出角与的范围，再借助角的变换及差角的正弦公式计算作答.

【详解】依题意，因,，则，

而，，则，

．

故答案为：

15．在中，内角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为      .

【答案】

【分析】根据题意可知利用正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式可求得，再结合可表示出，根据角的取值范围即可限定出边的范围，即可求得周长的取值范围.

【详解】利用正弦定理由可得，

又因为在中，所以；

所以可得，

即，

整理可得，又因为，所以；

即，所以；

可得，即，

易知，可得，所以

由可知，所以，

因为，所以，因此，，

所以，

所以周长，

即周长的取值范围为.

故答案为：.

16．半径为5的球面上有四点S、A、B、C，是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥S－ABC体积的最大值为      .

【答案】

【分析】根据球半径及球心到平面的距离，进而求出外接圆半径，利用面面垂直结合球的截面小圆性质，求出的外接圆半径，确定点S到平面的最大距离即可作答.

【详解】记正的中心为，则，且平面，

外接圆半径，连接并延长交于D，则D为的中点，且，

显然，

而平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

令的外接圆圆心为，则平面，则，四点共面，

又平面ABC，平面ABC，所以，

由，平面，

所以平面，

又平面平面，所以，

而平面平面，平面平面，平面，

则平面，所以，

因此四边形为平行四边形，则，，

的外接圆半径，的外接圆上点S到直线距离最大值为，

而点在平面上的射影在直线上，于是点到平面距离的最大值，

又正的面积，

所以棱锥的体积最大值.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

四、解答题

17．已知复数，，其中是实数.

(1)若，求实数的值；

(2)若是纯虚数，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.

（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.

【详解】（1）复数，则，

又a是实数，因此，解得，

所以实数a的值是.

（2）复数，，，则，

因为是纯虚数，于是，解得，因此，

又，

则，即有，

所以.

18．已知向量，.

(1)若，求的值；

(2)若，求实数k的值；

(3)若与的夹角是锐角，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)且.

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示公式即可计算出，代入模长公式即可；

（2）由向量垂直可得其数量积为0，即可解出；

（3）利用夹角为锐角其数量积大于零，且两向量不共线同向，即可求得实数k的取值范围.

【详解】（1）因为向量，，且

所以，解得，

所以.

（2）因为，

由于，所以，

即，

解得.

（3）因为与的夹角是锐角，则且与不共线同向.

即且,

所以且.

19．已知.

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间的值域.

【答案】(1)；单调递减区间为

(2)

【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，利用余弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间；

（2）由已知利用三角函数的图象变换可求，由题意利用正弦函数的性质即可求解的值域．

【详解】（1）因为

，

则，所以的最小正周期为，

由，解得，

所以的单调递减区间为.

（2）由（1）可得，

将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到图像，

所以

当时，，

则，故，

即，

所以函数的值域为.

20．已知在中，点M，N分别为AB，AC的中点.

(1)若的面积为，，，求的长；

(2)若，证明：.

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】（1）根据面积公式求出，再应用余弦定理可以求得；

（2）在中应用余弦定理可得，再结合三角函数值域可以证明.

【详解】（1）由题可知，

解得，

在中，在中，由余弦定理可得，

，

解得，

因为点M为AB的中点，所以.

（2）因为N为AC的中点，所以，

在中，由余弦定理可得，

，

在中，由余弦定理可得

，

所以，

因为所以，

又当最小时，最大，

所以，所以.

21．如图，是直角梯形底边的中点，，将沿折起形成四棱锥.

(1)求证：平面；

(2)若二面角为60°，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据直角梯形性质以及边长可知，，利用线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）由（1）可知，作出二面角的平面角并利用勾股定理即可求得边长，进而求出二面角的余弦值为.

【详解】（1）在直角梯形中，

易知，且，所以四边形为平行四边形，

又，，是的中点，

所以四边形是正方形，

从而，

也即，

因此，在四棱锥中，，平面，

所以平面；

（2）由（1）知，即二面角的平面角，故，

又，可得为等边三角形；

设的中点为F，的中点为G，连接，

从而，，

于是，，

，平面，

从而平面，平面，

因此；

所以即所求二面角的平面角.

由（1）中平面，且，从而平面，平面

所以，

设原直角梯形中，，则折叠后四棱锥中，，

从而

于是在中，；

即二面角的余弦值为.

22．如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.

(1)某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等（即），试求的值；

(2)环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试求的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，再根据条件建立关系式，解得，从而求出结果；

（2）设，根据条件得到，再利用重要不等式即可求出结果.

【详解】（1）设.

依题意有，.

由，得，解得，

从而，，

故.

（2）设，

依题意有，.

令，由，得，

所以，

∴，当且仅当时取等号，

∴，且.

当，所张的角为钝角，

当，即时取得最大角，

故，从而QB的长度为.