2022-2023学年上海市莘庄中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市莘庄中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市莘庄中学高一下学期5月月考数学试题 一、填空题1．已知向量，，则向量的单位向量是        .【答案】【分析】首先求出向量的坐标与模，再根据向量的单位向量为计算可得.【详解】因为，，所以，则，所以向量的单位向量为.故答案为：2．复数满足，则           .【答案】1【分析】先根据复数的除法求复数，再根据复数的概念分析求解.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：1.3．若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为         .【答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，故该扇形的半径为.故答案为：.4．已知向量，，且与的夹角为60°，则        .【答案】7【分析】由计算．【详解】，所以7.故答案为：7.【点睛】本题考查向量的模与向量的数量积，解题关键就是掌握数量积的性质，把向量的模的平方转化向量的平方，用数量积计算．5．中，若，，则        .【答案】-4【分析】先由已知条件求得，的夹角为，再结合向量的数量积的运算求解即可.【详解】解：在中， ，，则，又的夹角为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属易错题.6．已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为       ．【答案】【详解】为纯虚数，则7．化简：      ．【答案】/0.5【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式即得.【详解】.故答案为：.8．在中，角、、的对边分别记为、、，若，则        .【答案】/【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，最后由二倍角公式计算可得.【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，故，所以.故答案为：9．如图，直线､与轴正方向的夹角分别为和，， ，则的坐标是        .【答案】【分析】如图所示，过点A、B分别作垂线，垂足分别为C、D,先求出A、B的坐标即得的坐标.【详解】如图所示，过点A、B分别作垂线，垂足分别为C、D,由题得A的坐标为由于,所以点B的坐标为所以的坐标为即.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数        .【答案】13【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解.【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，由根与系数的关系可得，整理得，设、、在复平面上对应的点分别为、、，则，可知A，B关于x轴对称，若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，即，解得，所以.故答案为：13.11．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为     ．【答案】13【分析】设，，则；建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出的坐标和、，利用基本不等式计算的最大值．【详解】由所以；设，，因为，所以；以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，，，因为，所以点；所以，，，所以；由基本不等式可得，所以，当且仅当即时取等号，的最大值为13．故答案为：13．【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．12．已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是         【答案】【分析】根据数量积的运算律及二次函数的性质求出，再由结合数量积的运算律及转化为关于的二次型最值问题.【详解】，因为的最小值为，所以的最小值为，又，所以，所以，又为钝角，所以，即，则，所以，所以，又，所以，所以当时.故答案为： 二、单选题13．下列函数中，周期为1的奇函数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的奇偶性与周期性计算可得.【详解】对于A：为奇函数，但是最小正周期，故A错误；对于B：为非奇非偶函数，故B错误；对于C：为奇函数，且最小正周期，故C正确；对于D：为偶函数，且最小正周期，故D错误；故选：C14．设、为复数，下列命题一定成立的是（    ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，是正实数，那么D．如果，那么为实数【答案】D【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的模判断C，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断D.【详解】设，对于A：∵，则，可得，不能得到，例如，满足，但显然，故A错误.对于B：若，，则，显然且，故B错误；对于C：∵，则，且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误；对于D：令，则，因为，所以，所以，则，所以为实数，故D正确；故选：D15．设单位向量和既不平行也不垂直，对非零向量，，有结论：① 若，则；② 若，则；关于以上两个结论，正确的判断是A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立【答案】C【分析】根据可得，从而可得，而根据推不出，故可得正确的选项.【详解】因为，，所以，，故，所以，若同时为零，则，，因为非零向量，都是非零向量，故，共线，若至少有一个不为零，不妨设，则，故，共线，故①成立.又，取，则即不垂直，故②不成立.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直与平行的判断，前者考虑数量积是否为零，后者可用向量共线定理来判断，解题中注意对参数的取值合理分类讨论，此类问题属于基础题.16．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于（    ）．A．以，为两边的三角形面积 B．以，为邻边的平行四边形的面积C．以，为两边的三角形面积 D．以，为邻边的平行四边形的面积【答案】B【分析】利用平面向量的数量积的运算公式求解即可.【详解】因为已知，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且，，故将所在直线为两坐标轴，两向量所指方向为正，又因为满足与不共线，故在直角坐标系中，假设与的夹角为， ，所以的值一定等于以，为邻边的平行四边形的面积，故选:B. 三、解答题17．已知向量，.（1）若，求的值；（2）若∥，求.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据向量垂直，得到，求解即可得出结果；（2）根据向量共线，求出或；再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】（1）因为向量，，，所以，解得：；（2）若∥，则，解得或；因此或，因此或.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，由向量垂直求参数，以及求向量的模，熟记向量共线、垂直的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.18．已知函数.(1)求函数在上的值域和单调递增区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)值域为，单调递增区间为(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间；（2）分析可知，直线与函数在时的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，当时，，则，由可得，故当时，函数的值域为，单调递增区间为.（2）解：由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数解，则直线与函数在时的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在时的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.19．某公园现利用改地建设两块三角形花圃ABD与BCD,如图所示,其中米，米,,且．(1)若,求的大小；（精到）(2)当为何值时,两块花圃的总面积最大？并求出此最大值．（精确到1平方米）【答案】(1)；(2)时,两块花圈的总面积最大,最大值为46213平方米．【分析】(1)在三角形ABD 中利用余弦定理可以求出,在由正弦定理求出的大小；(2)利用余弦定理求出的表达式,进而能求出两块花圃的总面积,最后利用辅助角公式求出最大值.【详解】(1) 在三角形ABD 中, 由余弦可得：,,即,解得(负值舍去),由正弦定理可得：,解得,因为,所以；(2) 由余弦定理得：所以有,当时,即时,面积有最大值,最大值为46213平方米.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力,考查了数学阅读能力.20．已知关于的实系数一元二次方程(1)若，求方程的两个根；(2)若方程有两虚根，，求的值；(3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围.【答案】(1)、(2)(3) 【分析】（1）利用求根公式计算可得；（2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值；（3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.【详解】（1）当时方程为，则，所以方程的根为、（2）因为方程有两虚根，所以，解得，此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以，所以，解得或（舍去）.（3）若，即或时，此时，，则，，，显然，所以，则，即，解得或，所以或；若，即时，设，（），则，，，所以，，所以，即，又，，所以，解得或，所以；综上可得的取值范围为.21．（1）如图，在中，为边上的高，，，，，求的值；  （2）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若、分别为线段、的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围；  （3）已知等边三角形的边长为，为三角形所在平面上一点.求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由余弦定理可得，由等面积法可求得，根据数量积的运算律得到，从而得解．（2）建立平面直角坐标，设，，利用坐标法表示出，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；（3）以的中点为原点，，分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，设，利用坐标法表示出，再根据完全平方数性质计算可得.【详解】（1）因为，所以，，所以，又，，，故由余弦定理可得，则，又，，，．（2）以为原点，为轴，反方向为轴，建立直角坐标系，如图，则，，设，，所以，，所以，因为，则，故，所以．  （3）以的中点为原点，，分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，设，易知，，，则，，，所以，故的最小值为，当且仅当时取到等号.