2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期6月月考（第三次统练）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期6月月考（第三次统练）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期6月月考（第三次统练）数学试题 一、单选题1．下列命题中：①若，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若，则.正确命题的个数是（　　）A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【分析】根据复数的概念及复数相等判断各命题.【详解】对于①，因为，取，则，但不成立，故①错误；对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故②错误；对于③，因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故③错误；故选：A.2．已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.【详解】由条件可知，，由,解得.故选:C.3．已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意知是正方体内切球的半径，是正方体棱切球的半径，是正方体外接球的半径，从而求出，，，然后逐项判断即可.【详解】由题意得，所以，所以，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误；故选：C.4．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（    ）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得，由勾股定理可得，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为，底面圆面积为，因为，所以，得，所以圆锥的体积为，解得，所以，即圆锥的母线长为6.故选：C.5．已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据题意，由条件可得复数表示以为圆心，2为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得到结果.【详解】设，∵，∴，表示以为圆心，2为半径的圆，∴，表示圆上的点到点的距离，∴的最小值为.故选：A.6．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ）A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7【答案】D【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值.【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱体积，而，故，所以，故，所以.故选：D7．在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解；对于B选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解；对于C选项，由正弦定理得，所以有两个解；对于D选项，由正弦定理和大边对大角得为小于的锐角，故只有一个解.故选：C8．设△ABC的内角A，B，C满足，面积S满足，角A，B，C的对边分别为a，b，c．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ）A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】首先可由得到，然后利用所给公式结合和差公式、倍角公式可化得，然后结合可求得外接圆半径的范围，然后可判断②③④.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，故①正确；设的外接圆半径为，因为由三角形面积公式和正弦定理有，所以，所以，故②正确；，故③错误，，故④正确，故选：B. 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】AC【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D.【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误；对于C，根据圆台的定义，可知C正确；对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误.故选：AC10．设复数（a，）（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）A．“”的充要条件是“”B．若，则的虚部为2C．若，，则D．方程在复数集中有6个解【答案】ABD【分析】A由复数概念及充分、必要性定义判断；B应用复数乘方运算化简求虚部；C由复数的乘方及虚数单位乘方的周期性求值；D根据方程可得，讨论、求解的个数即可.【详解】A：若，则，此时，若，则，即，故，对；B：，则，故虚部为2，对；C：，则，故，错；D：由，则，若，则，可得，共2个解；若，则，可得或，共4个解；所以原方程共有6个解，对.故选：ABD11．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（    ）A．若是高，则 B．若是中线，则C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点【答案】BC【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.【详解】由题，，所以，若CD是高，，得，故A错误；若CD是中线，，所以，所以，故B正确；若CD是角平分线，则，即，得，故C正确；若D为线段AB的三等分点，或，，或，所以或，故D错误.故选：BC.【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（    ）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．勒洛四面体的体积大于正四面体的体积C．勒洛四面体被平面截得的截面面积是D．勒洛四面体四个曲面所有交线长的和为【答案】BC【分析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面为经过四面体表面的截面，可判定A不正确：由勒洛四面体的定义得到勒洛四面体的体积大于正四面体的体积，可判定B正确：由勒洛四面体被平面截得的截面，求得其面积，可判定C正确：由勒洛四面体的定义可知，根据对称性可知其圆心为线段的中点，设，求得得到交线总长度，可判定D错误.【详解】对于A中，由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面，即为经过四面体表面的截面，如图1所示，所以A不正确：对于B中，由勒洛四面体的定义及题示图形知，其中勒洛四面体的体积大于正四面体的体积，所以B正确：对于C中，勒洛四面体被平面截得的截面如图1，其面积为，所以C正确：对于D中，由勒洛四面体的定义可知，所有的交线形成6条相等的弧，先看，根据对称性可知其圆心为线段的中点，如图2所示．因为正四面体的棱长为4，所以，设，则，所以（为弧度制），所以，所以交线总长度为，所以D错误.故选：BC． 三、填空题13．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为      ．【答案】【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积.【详解】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为，．当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以，解得或（舍）；当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．综上，，故该球的体积为．故答案为：14．如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为      ．  【答案】/【分析】根据正方体的几何结构特征，得到过点的平面截正方体所得的截面为五边形，结合正方体的棱长，且为的中点，为的中点，进而求得截面的周长.【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点，连接交与点，连接交于点，分别连接，则过点的平面截正方体所得的截面为五边形，因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点，可得，所以,在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以截面的周长为.故答案为：.  15．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为           ．【答案】【分析】沿棱将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.【详解】将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，由展开图可得，沿爬行时，路程最短；因为，，所以，因此.故答案为：.16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为      ．（注：）【答案】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案为： 四、解答题17．已知复数使得，，其中是虚数单位．(1)求复数的模；(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设复数，，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为，解方程即可得到复数，从而求出其模；（2）计算复数，由复数对应的点在第一象限，可得的不等式组，解不等式即可得到的范围．【详解】（1）解：设复数，，根据题意，，所以，即；又，所以，即，所以，则；（2）解：由（1）可知，所以。在复平面内对应的点为，位于第一象限，所以且，解得，即的取值范围为．18．在中，分别是角的对边.设，已知(1)求角的大小；(2)设，当时，求函数的最小值.【答案】(1)(2)最小值 【分析】（1）利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值.【详解】（1）由题意可得：，由正弦定理得：，则，可得，因为，则，可得，即，又因为，所以.（2）由（1）可得，则，由题意可得：，因为，则，可得，所以当，即时，有最小值.19．已知的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若在上，是的角平分线，且，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可求出结果；（2）根据三角形的面积公式以及基本不等式可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，所以，而，故，因为，所以.（2）由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，又，从而，当且仅当时，等号成立，故，因此的最小值为.20．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）利用正弦定理将边化角，转化为角的三角函数，再由的取值范围，求出的范围.【详解】（1）由，即，得，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）由正弦定理，所以.因为为锐角三角形，且，所以，解得，所以，，所以，，所以的取值范围为.21．在平面四边形中，已知，.(1)证明：；(2)若，，，求四边形的面积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）分别在三角形和三角形中用正弦定理得到，，然后根据，，即可得到；（2）分别在三角形和三角形用余弦定理，再结合得到，，最后利用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）证明：在中，由正弦定理知，，在中，由正弦定理知，，因为，，所以，，所以.（2）解：在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，因为，所以，即，解得，所以，所以，所以四边形的面积.22．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得．(1)求BN和AM的长度；(2)求之间的距离．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到； （2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由题知,，所以，由正弦定理得，所以，在中，又因为，得到，所以.（2）在，由（1），，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以.