2022-2023学年河南省鹤壁市第一中学高一下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省鹤壁市第一中学高一下学期6月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省鹤壁市第一中学高一下学期6月月考数学试题 一、单选题1．已知点是所在平面内的一点，且，设，则（    ）A． B． C．3 D． 【答案】D【分析】由，可得为的中点，由图形结合平面向量基本定理用将表示出来，再结合，可求出的值，从而可求得答案【详解】由题意作图，因为，所以为的中点，所以，因为，所以由平面向量基本定理可得，所以，故选：D2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，所以，则复数的虚部为．故选：．3．在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，在中，由求解.【详解】解：如图所示设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的体积为，故选：C4．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面【答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.【详解】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　　A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．【详解】解：某7个数的平均数为，方差为，则这8个数的平均数为，方差为．故选：．【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题．6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在内适合跑步训练，体重在内适合跳远训练，体重在内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（    ）A．4：3：1 B．5：3：1C．5：3：2 D．3：2：1【答案】B【解析】根据频率分布直方图分别计算出概率，从而得到比例即可得解.【详解】解：体重在内的频率为，体重在内的频率为，体重在内的频率为，，可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远投掷三项训练的人数之比为5：3：1，故选：【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.7．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】列举出所有可能的结果，再找到符合题意的结果种数，根据古典概型求得结果.【详解】有题意知：白球有个记三个红球为：；两个白球为：一次摸出个球所有可能的结果为：，，，，，，，，，，共种至少有一个红球的结果为：，，，，，，，，，共种所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查列举法求解古典概型的概率问题，属于基础题.8．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用树状图表示出所有可能的结果，由此可得输入由组成的一个四位数字，恰是密码的概率，由对立事件概率公式可求得结果.【详解】用事件表示“输入由组成的一个四位数字，但不是密码”，则其对立事件为“输入由组成的一个四位数字，恰是密码”，四个数字随机编排顺序，所有可能结果可用树形图表示，如图所示，从树形图可以看出，将四个数字随机编排顺序，共有种可能的结果，即样本空间共含有个样本点，且个样本点出现的结果是等可能的，，则，即登录时随机输入由组成的一个密码，该同学不能顺利登录的概率为.故选：B. 二、多选题9．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是A． B．C． D．【答案】BC【解析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A，，故A错误；对B，∵，，由正六边形的性质知，∴，故B正确；对C，设正六边形的边长为1，则，，∴，式子显然成立，故C正确；对D，设正六边形的边长为1，，，故D错误；故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是（    ）A．正四棱锥的底面边长近似为3米B．正四棱锥的高近似为米C．正四棱锥的侧面积近似为平方米D．正四棱锥的体积近似为立方米【答案】BD【分析】利用已知条件画出图像，设O为正方形的中心，设底面边长为，利用线面角的定义得到求得 a，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积、体积即可.【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，则平面，则为侧棱与底面所成角，且．设底面边长为．所以，．在中，，所以，正四棱锥的底面边长为6米，高为，侧面积平方米，体积，故选:BD．11．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI越小，表明空气质量越好，下表是空气质量指数与空气质量的对应关系，如图是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，则下列叙述正确的是（    ）空气质量指数（AQI）空气质量优 良轻度污染中度污染重度污染严重污染  A．该市2020年2月的空气质量为优的频率为0.8B．该市2020年2月的空气质量为优的天数多于2019年2月的空气质量为优的天数C．该市2020年2月空气质量指数的中位数大于2019年2月空气质量指数的中位数D．该市2020年2月空气质量指数的方差不小于2019年2月空气质量指数的方差【答案】AB【分析】A选项，利用频率计算公式求解；B选项，分析图中数据或计算出2020年2月和2019年2月的空气质量为优的频率，比较后得到结论；C选项，数据分析得到2020年2月空气质量指数的中位数不超过50，2019年2月的中位数必然大于50，得到结论；D选项，由图中数据的离散程度得到结论.【详解】对于A选项，由题图中数据可得，该市2020年2月的空气质量为优的频率为，故A正确.对于B选项，由题图中数据可得，该市2020年2月空气质量为优的天数明显多于2019年2月空气质量为优的天数（或计算得2020年2月的空气质量为优的频率为0.8，2019年2月的空气质量为优的频率仅为，故B正确.对于C选项，因为2020年2月的空气质量为优的频率为0.8，所以2020年2月空气质量指数的中位数必然不超过50，而2019年2月的空气质量为优的频率为0.325，故2019年2月空气质量指数的中位数必然大于50，故C错误.对于D选项，由题图可得，2020年2月的空气质量指数主要集中在内，而2019年2月空气质量指数分布较分散，故该市2020年2月空气质量指数的方差小于2019年2月空气质量指数的方差，故D错误.故选：AB.12．以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【分析】结合选项，利用树状图和列举法，求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，逐项求解，即可求解.【详解】对于A中， 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有种情形，结合树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有种情形，所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确；对于B中，设1名男生为，两名女生分别为，则从这3人中选取2人包含：，共3种选法，其中选中一男一女同学包含：，所以选中一男一女同学的概率为，所以B正确；对于C中，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，其中点数和为6的有：，共有5种，所以点数之和是6的概率是，所以C正确；对于D中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是，所以D是正确的.故选：BCD。【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用树状图和列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，以及计算能力. 三、填空题13．复数满足：，，，则      ．【答案】【分析】根据给定条件，结合复数模公式计算作答.【详解】设复数，，，由得，由得，由得，因此，所以故答案为：514．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是              .①平面EOF；②⊥平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.【答案】②【分析】对于①，利用线线垂直证明线面垂直；对于②，在①的基础上可证明；对于③，在①的基础上证明线面垂直；对于④ ，在①基础上证明出平面，④正确；对于⑤，在④基础上证明面面垂直可判断⑤.【详解】对于①，依题意，得，，，平面，平面，故①正确，对于②，由①可知平面，又，故与平面不垂直，②错误.对于③，由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.对于④，由①可得，又，，平面，平面，又平面AOF，，故④正确.对于⑤，由④知平面，又平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.故答案为：②.15．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为      .【答案】122.【解析】通过计算成绩在130分以下的学生和成绩在110分以下的学生所占比例，确定80%分位数所在位置，利用比例求解即可.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此80%分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122.故答案为：122【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用和分位数的计算，考查学生分析数据的能力，属于中档题.16．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为          .【答案】【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴. 四、解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，. 18．如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，E为AC上一点，过和点E的平面分别交BC，CD于点M，N．  (1)求证：平面平面；(2)若，，，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明平面，根据线面平行的性质证得，即可得证；（2）过点O作交于点F，根据面面垂直的性质证得平面，再根据结合棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）四边形ABCD为菱形，，又，，，又平面，平面，平面ABCD，平面平面，平面，，，，平面，又平面，平面平面；（2），，，，在中，过点O作交于点F，  ，，．由（1）知平面平面，因为平面平面，平面，平面，∵，平面，平面，∴平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则.19．如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.  (1)证明：;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意可得，，从而平面，再利用线面垂直的性质证明即可；（2）设与交于点，连接，首先证明平面，再利用顶点转化法即可求出三棱锥体积.【详解】（1）连接，∵四边形是正方形，.在正方体中，平面，又平面，.又平面，平面，平面.又平面，.  （2）设与交于点F，连接.在正方体中，.又分别是的中点，，∴四边形是平行四边形，.平面平面， 平面.又正方体的棱长为4，.20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：  (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数．(保留整数)【答案】(1)第四组的频率0.3，频率直方图见解析(2)及格率75%；众数75分，中位数约为73.3分 【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出第4组的频率，从而可补全频率分布直方图，（2）求出60分及以上的频率可得及格率，由众数的定义可求得众数，先判断中位数在内，然后列方程求解.【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为：，补全频率分布直方图如图所示：  （2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组频率和为，所以抽样学生成绩的及格率是75%，众数为最高小矩形底边的中点，是75分；因为，，所以中位数在内，设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分.21．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.  (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】(1)0.4(2)20(3) 【分析】（1）先计算出样本中分数不小于50的频率，然后算出样本中分数小于70的频率，由频率估计概率即可；（2）先由已知求出样本100人中分数在区间内的人数，然后估计总体中分数在区间内的人数即可；（3）先求出样本中男生女生的人数，由分层抽样的原理可知，样本中男生和女生人数的比例就是总体中男生和女生人数的比例.【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为.（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为，所以样本中的男生人数为，女生人数为，所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为.22．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）【分析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.