2022-2023学年山东省淄博市临淄区临淄中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省淄博市临淄区临淄中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为复数，

所以复数在复平面内对应的点在第一象限，

故选：A

2．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.

【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.

故选：D.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及齐次式法计算作答.

【详解】因为，则.

故选：A

4．已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，若，，则，故A正确，

对于B，若，，则或者相交或者异面，故B错误，

对于C，若，，则，C正确，

对于D,若，，则,D正确，

故选：B

5．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【分析】确定，利用数量积的运算律计算，得到答案.

【详解】，则，，

故.

故选：D.

6．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由侧面展开图求得圆锥底面半径、高，然后由体积公式计算．

【详解】记圆锥的底面半径为r，则，解得，

∴圆锥的高，

∴该圆锥的体积为．

故选：D．

7．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在中由余弦定理可得答案.

【详解】取的中点，连接，所以，

直线与所成角即为直线与所成的，

所以，，

，

在中由余弦定理可得,

因为，所以.

故选：C.

8．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论错误的是（    ）

A．直三棱柱的体积是1

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置有关

D．的最小值为

【答案】C

【分析】由柱体体积公式计算直三棱柱的体积验证选项A；由直三棱柱的结构特征求外接球半径和表面积验证选项B；判断三棱锥的底面积和高的特征验证选项C；把侧面和侧面展开在一个平面上求的最小值验证选项D.

【详解】直三棱柱中，，，，如图所示，

直三棱柱的体积为，故A选项正确；

直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，点为三棱柱外接球的球心，外接球的半径为，外接球表面积是，

故B选项正确；

因为O是与的交点，则的面积为定值，由，平面，平面，

可得平面，所以到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；

把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确.

故选：C

二、多选题

9．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A．

B．向量在向量方向上的投影向量为

C．

D．若，则

【答案】ABD

【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项

【详解】由图可得，

对于A，，故A正确；

对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；

对于C，，

所以，故C不正确；

对于D，因为，，所以，故，故D正确.

故选：ABD

10．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A．

B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递增

D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象

【答案】AB

【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得，然后利用的性质可得.

【详解】，

因最小正周期为，，故，得，

故，

选项A：

，故A正确；

选项B：

的对称轴为，，

即，，

当时，，故B正确；

选项C：

令，，

得，，

故的单调递减区间为，，

当时，的单调递减区间为，故C错误；

选项D：

将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，

故D错误

故选：AB

11．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则

B．若，，则外接圆半径为10

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则三角形面积

【答案】ACD

【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确.

【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；

由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；

因为，所以，即，

整理可得，即，

因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；

因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确.

故选：ACD.

12．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ）

A．，，三点共线

B．平面

C．直线与平面所成的角为

D．到平面的距离为

【答案】ABC

【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离．

【详解】由于为正方体的体对角线，

在平面内，据此可得平面平面于，

又交平面于点，故点在上，故项正确；

很明显平面，平面，故，

同理，，于点，故平面，故项正确；

设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，

点到平面的距离为，故，，故项正确；

设到平面的距离为，，，解得，故D项错误；

故选：ABC．

三、填空题

13．已知两条相交直线a，b，且a//平面，则b与的位置关系是            .

【答案】b//平面或b与平面相交

【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交.

【详解】  

由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行，

当所在平面与平面相交时，与平面相交.

故答案为: b//平面a或b与平面相交.

【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.

14．已知，则的值为          ．

【答案】

【分析】根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以

.

故答案为：

15．在中，，，其面积为，则       ．

【答案】

【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案.

【详解】依题意，，

由余弦定理得，，

由正弦定理得.

故答案为：

16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：        时，平面.

【答案】答案表述不唯一)

【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.

【详解】连接交于O，连接OE，

平面平面，平面平面 ，

.

又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，

故为的中点, 为的中点，

故当满足条件: 时，面.

故答案为: 答案表述不唯一)

四、解答题

17．在梯形中，．

(1)用，表示，；

(2)若，且，求的大小．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）应用对应线段的位置及长度关系，结合向量加减、数乘的几何意义，用，表示，即可；

（2）由题设得，根据（1）及向量数量积的定义和运算律，列方程求的大小.

【详解】（1）根据向量加减法则知：，.

（2），，．

，

，解得，

由，故．

18．已知函数的最大值为.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若，求函数的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；

(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒

【详解】（1）．

由，解得．

又，

则，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，；

（2）由，则，所以，

所以，

所以函数的值域为．

19．如图，直三棱柱中，，，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解；

（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：∵为直三棱柱，∴

又平面，平面，

∴平面

（2）解：在中，，，

则，的面积为

∵为直三棱柱，∴平面，

∴，从而

取的中点，连接，则，

∴的面积为，

设点到平面的距离为，

由于

∴，解得

故点到平面的距离为.

20．在锐角中，角的对边分别为，已知

（1）若，求；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，进而得解；

（2）根据正弦定理边角互化可得，结合锐角三角形的范围可得解.

【详解】（1）由，得，得，得，

在，，

由余弦定理，

得，

即，解得或.

当时， 即为钝角（舍），

故符合.

（2）由（1）得，

所以，

，

为锐角三角形，，，

，

，

故的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.

21． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.

【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；

（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.

【详解】（I）证明：连接，易知，，

又由，故，

又因为平面，平面，

所以平面.

（II）证明：取棱的中点，连接，

依题意，得，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）解：连接，

由（II）中平面，

可知为直线与平面所成的角.

因为为等边三角形，且为的中点，

所以，又，

在中，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

22．在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且．

(1)证明：平面平面；

(2)证明：

(3)求二面角的余弦值

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）先证明PD⊥平面，即可根据线面垂直的性质定理证明结论；

（3）说明为二面角的平面角，解三角形即可求得答案.

【详解】（1）∵平面，平面，∴，

∵在菱形中，，且，平面，

∴平面，

∵平面ACE，∴平面平面，

即平面平面；

（2）连接，则平面平面，

由（1）知平面，平面，

则，

又∵，平面，

∴PD⊥平面，平面，

∴，即．

（3）由于平面，平面，

则，又，

且平面平面，平面，平面，

故为二面角的平面角；

在菱形中，，，则△ABC是等边三角形，

而O为AC，BD的中点，则，

又，∴，

故，

∴，

即二面角的余弦值为．