2022-2023学年山东省东明县第一中学高一下学期3月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年山东省东明县第一中学高一下学期3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．对下面图形的表示恰当的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.

【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.

故选：C.

2．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）．

A． B． C． D．与不能比较大小

【答案】A

【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：

则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，

则飞机飞行的路程为，，

所以.

故选：A.

3．下面给出的关系中，正确的个数是（    ）．

①；②；③；④；⑤．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据向量数量积的定义式与运算律，结合数乘的性质，可得答案.

【详解】对于①，，，故①正确；

对于②，设向量与的夹角为，则，

，

当且仅当时，取得等号，故②错误；

对于③，根据数乘的性质可直接判断，，故③正确；

对于④，设向量与的夹角为，则，

，故④正确.

对于⑤，，显然⑤错误.

故选：D.

4．已知，，且，则的坐标是（    ）．

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由题意，设，由可求出的值，进而得解.

【详解】由，，可设，

又，所以，解得，

所以或.

故选：D

5．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量定义计算即可.

【详解】为单位向量，则 ，

则向量在向量上的投影向量为.

故选：C.

6．若非零向量与满足，且，则为（    ）

A．三边均不等的三角形 B．直角三角形

C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.

【详解】解：，

的角平分线与BC垂直，

，

，

则是顶角为的等腰三角形，

故选：C.

7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】由题意可得为等腰三角形，故有米，在中，利用求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，

所以为等腰三角形，

所以米，

在中，，

所以米.

故选：B.

8．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）．

A．2 B．4或 C．5 D．2或5

【答案】D

【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，

即，，两两的夹角为或,

当夹角为时，，

当夹角为时，

，

所以或.

故选：D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）．

A．若，则

B．若四边形满足，则四边形构成平行四边形

C．若，，则与可以作为基底

D．在中，恒成立（注：，，）

【答案】BCD

【分析】根据平面向量数量积的定义、向量相等的性质，结合基底的定义、余弦定理逐一判断即可.

【详解】，

显然当时，满足，但是此时共线不互相垂直，

故选项A不正确；

因为四边形满足，所以且，

因此四边形构成平行四边形，故选项B正确；

因为 ，所以与不是共线向量，因此可以作为基底，故选项C正确；

因为，

所以选项D正确，

故选：BCD

10．化简下列各式，结果为的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据平面向量加、减法法则及运算律计算可得.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：

，故D错误；

故选：BC

11．如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题.

【详解】由，知A正确；

由，得知B正确；

由知C正确；

由N为线段DC的中点知，知D错误；

故选：ABC.

12．在中，角的对边分别为，若，则角可为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用余弦定理化简可得；分别验证各个选项中的的取值，根据可确定正确选项.

【详解】由余弦定理得：，

又，，整理可得：；

对于A，，则，A错误；

对于B，，则，B正确；

对于C，，则，C正确；

对于D，，则，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知，是两个不共线的向量，与共线，则实数          ．

【答案】

【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求.

【详解】与共线，

，

，

又，是两个不共线的向量，

，解得，

故答案为：.

14．若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”，以此规定，能说明线性相关”的实数依次可取的一组值是            （只要写出一组答案即可）

【答案】

【分析】利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解．

【详解】设k1+k2+k3，

则

依次可取的一组值是

故答案为

【点睛】本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．

15．在中，已知，，，则          ．

【答案】

【分析】根据三角形内角和求得第三个角，根据正弦定理，结合正弦差角公式，可得答案.

【详解】在中，由，且，，则，

由正弦定理，则，可得，

.

故答案为：.

16．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是          ．

【答案】

【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.

【详解】由题可得，，，

，

所以

，

，

，

所以，

则.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，.

（1）当为何值时，与垂直；

（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由与的数量积为可得；

（2）由与的数量积大于0，再去除两向量同向的情形．

【详解】（1）由已知，，，与垂直，

则．解得；

（2），，又时，，两相向夹角为0，

所以且．

18．对于任意的a，b，c，，试用向量方法证明不等式．

【答案】见详解

【分析】根据题意，设，，结合，即可求证.

【详解】证明：设，.

∵，

∴，即，当且仅当与共线，即时，等号成立.

19．已知，，分别是三个内角，，的对边，且．

(1)求；

(2)若，的面积为，求，．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；

（2）根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】（1）根据正弦定理，，

即为．

因为在中，，所以，

即，

因为，，所以，

所以，即；

（2）由，，得．

由余弦定理，得，

因为，所以，即，

又，所以．

20．在中，角所对的边分别为，.

(1)判断的形状，并加以证明；

(2)如图，外存在一点D，使得且，求.

【答案】(1)直角三角形，证明见解析

(2)5

【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；

（2）根据正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，结合中垂线性质即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得

又，所以

化简得：，，

所以，，

所以，是直角三角形

方法二：

在中，由余弦定理得

整理得，

所以， 是直角三角形

（2）方法一：

在中，由正弦定理得.

由题设知，，所以.

由题（1）知，.

在中，由余弦定理得

.

所以.

方法二：

作 ，垂足为 ， ，垂足为,则，

在中

所以，为的中垂线

所以

21．重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆点，后又沿着南偏西的方向行走到达国旗杆下点，经过测量发现.设，如图所示.

(1)设国旗杆底点到行知大道的最短距离为，请用表示的解析式；

(2)求小王走过的路程的最大值.

【答案】(1)

(2)米

【分析】（1）根据题意可得出，再由正弦定理可表示出，再结合与即可得出答案.

（2）利用正弦定理表示出与，即可化简求出的最大值.

【详解】（1）由已知得，

在中，由正弦定理得，所以.

又因为，且，所以.

（2）在中，由正弦定理得，

，

于是.

因为，所以当时，取得最大值米.

22．如图，过△ABC的重心任作一条直线，分别交边，于点，（不含端点），若，，，，记△ADE，△ABC，△ADG，△CEG的面积分别为，，，，试探究：

(1)的值；

(2)用分别表示，，并且求出的最小值．

【答案】(1)3

(2) ；，

【分析】（1）设出基底，由， ，三点共线的基本性质，利用共线向量的性质列出等式，求出即可；

（2）利用三角形重心的性质，三角形面积比的基本模型即可表示出，，利用换元法及不等式的性质求出最小值.

【详解】（1）设，，则向量，

由， ，三点共线，可设，则，

即，整理得，

可得，

消去得，其中.

（2），

由为的重心，可得、、的面积相等，

所以，，

令，则，

当且仅当时，有最小值.