2022-2023学年四川省绵阳市南山中学实验学校高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年四川省绵阳市南山中学实验学校高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可.

【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期.

故选：B.

2．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.

【详解】根据题意，由于或，

因此可以推出，反之，不成立，

因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

3．已知，则．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】.

所以选A.

【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.

4．如图所示，函数（且）的图像是（    ）.

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.

【详解】，

根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，

故选：C.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系.

【详解】由诱导公式知：，，

在上单调递增，，即.

故选：D.

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角的范围求得，再运用余弦差角公式可求得答案.

【详解】因为，所以，，由得，

，

故选：D.

7．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则的值是（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．

【答案】A

【分析】根据题意，由函数周期性求得，即可代值求得函数值.

【详解】由题意，得T＝＝，∴ω＝4.

∴f(x)＝tan 4x，＝tan π＝0.

故选：.

【点睛】本题考查正切型函数的周期性，属简单题.

8．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值.

【详解】如图：

在中，设，

则，

在中，，所以，

，

设矩形A BCD的面积为S，

则

，

由于，

所以当时，，

故选：C

【点睛】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,求解问题的关键是根据图形建立起三角模型,将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题.

二、多选题

9．(多选题)有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（    ）

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）

B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）

【答案】AB

【分析】根据正弦型函数的图象变换的规律进行逐一判断即可.

【详解】A：的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，故本选项符合题意；

B：的图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故本选项符合题意；

C：的图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故本选项不符合题意；

D：的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，故本选项不符合题意，

故选：AB

10．已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（    ）

A．关于点对称 B．的最小正周期为

C．在上单调递减 D．关于直线对称

【答案】BD

【分析】根据三角函数的对称性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A项：对称中心纵坐标应为1，故A错误；

B项：的最小正周期：，故B正确；

C项：当时，，

所以在上单调递减，

而，应在上单调递增，故C错误；

D项：对称轴：，即，

当时，，故D正确.

故选：BD

11．关于函数的下述四个结论中，正确的有（    ）

A．是偶函数 B．的最大值为

C．在有个零点 D．在区间单调递增

【答案】AD

【分析】根据奇偶性定义可知A正确；根据与最大值无法同时取得可知B错误；根据时正弦型函数的零点个数，结合奇偶性可知C错误；由正弦型函数单调性的判断方法可知D正确.

【详解】对于A，定义域为，，

为偶函数，A正确；

对于B，当时，；当时，；

与无法同时取得最大值，即最大值不为，B错误；

对于C，当时，，

，当且仅当，即时，，

在上有且仅有一个零点；

由A知：为偶函数，在上有且仅有一个零点；

在上有个零点，C错误；

对于D，当时，，

，在上单调递增，D正确.

故选：AD.

12．已知函数若为奇函数，为偶函数，且在至多有个实根，则的可能的值有（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】BD

【分析】根据函数的奇偶性，明确其对称轴，利用正弦函数的对称性以及周期性，建立方程，可得答案.

【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以是对称中心，是对称轴，

所以，得，

由，得，所以不是的倍数，所以排除A、C，

对于B，若，且为奇函数，为偶函数，，

因为，解得，则由，

得或，解得或，

则在内的根为和，符合题意，故B正确；

D项：若，且为奇函数，为偶函数，，

因为，解得，则由，

得或，解得或，

则在内的根为和，符合题意，故D正确.

故选：BD．

三、填空题

13．=      .

【答案】/0.5

【分析】由诱导公式，逆用正弦和角公式得到答案.

【详解】

.

故答案为：

14．在中，若，则       .

【答案】

【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得，由此可得.

【详解】，，

，又，，，

，，解得：.

故答案为：.

15．若，则不等式的解集为                .

【答案】

【分析】根据正切函数的单调性及特殊角三角函数值直接求解即可.

【详解】当时，；

当时，且在上单调递增，；

综上所述：的解集为.

故答案为：.

16．函数的所有零点之和为         .

【答案】

【分析】由题化简函数得，令，将转化为曲线与直线的交点问题.根据对称性可知，，，则可求出所有零点的和.

【详解】，

，

又，，

令，则即可转化为，

作出与，

由图知：交点关于直线对称，

设函数的零点为，，，则有

，，

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，函数零点问题的求解，考查了数形结合的数学思想，转化与化归的思想.属于综合性较强的题.

四、解答题

17．已知，是第三象限角.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得；方法一：直接代入所求式子即可；方法二：分子分母同除，代入即可；

（2）利用二倍角公式和切化弦可整理得到所求式子为；方法一：直接代入即可；方法二：将所求式子化为，分子分母同除，代入即可.

【详解】（1），为第三象限角，，，

方法一：；

方法二：.

（2）；

方法一：；

方法二：.

18．已知的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据最值可得；由最小正周期可得；由可求得，从而得到解析式；

（2）由的范围可求得的范围，结合正弦函数性质可求得的值域.

【详解】（1）由图象可知：，，；

最小正周期，；

，，解得：，

又，，.

（2）当时，，，

，即的值域为.

19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且．

(1)求及的值；

(2)将射线绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，得到射线，且是角的终边，求的值．

【答案】(1)，

(2)7

【分析】（1）根据三角函数的定义，由其终边上的点，建立方程，可得答案；

（2）根据两角间的关系，利用正弦的差角公式，可得答案.

【详解】（1）由三角函数的定义：，解得，所以；

（2）由题意得：，所以.

20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．

(1)根据以上数据，求出函数的表达式；

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内何时能进入港口？

【答案】(1)

(2)该船可以在或进入港口

【分析】（1）根据最大值和最小值可求得；由最小正周期可得；利用可求得，从而得到解析式；

（2）令，根据正弦型函数值域可求得的范围，结合可得结果.

【详解】（1），，，；

的最小正周期，；

，，解得：，

又，，.

（2）由题意知：，即，

，，解得：，

，或，

该船可以在或进入港口.

21．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角关系得到，从而利用正切二倍角公式进行求解；

（2）计算出，结合（1）中所求，利用凑角方法，结合余弦和角公式进行求解.

【详解】（1）因为，，

所以，，

故

（2）因为，所以.

因为，所以，

所以

22．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)将的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上至少有2个零点.当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，根据正弦函数的单调性，结合复合函数单调性，可得答案；

（2）利用函数图象变换，写出函数解析式，根据整体思想以及正弦函数的值域，结合一元二次不等式的解法，可得答案.

【详解】（1）

令，的增区间为，

则，解得

的增区间为

（2）由题意得：，因为在区间上至少有2个零点，

所以，解得，所以的最小值为，即，

因为当时，，，

所以的最大值为3，故，，

解得：或.