2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期4月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期4月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】设扇形的圆心角为，则，即，解得.故选：C.2．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A. 3． 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数定义和诱导公式化简三角函数式，从而判断选项的正负.【详解】因为角的终边在第三象限，所以对于A，对于B， 对于C，；对于D，故选：D4．已知平面向量，，，若∥，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的坐标，再由∥，列方程可求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出【详解】因为，，所以，因为∥，，所以，解得，所以，所以，故选：C5．在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，则在上的投影的数量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据几何图形，确定与的夹角，再根据投影向量的数量公式，即可求解.【详解】过点作，且，所以四边形是平行四边形，则，且，，所以是等边三角形，所以与所成角为，所以在上的投影的数量为.  故选：B6．将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到函数关于原点对称，函数的图象关于轴对称，得到和，进而求得，结合，即可求解.【详解】由函数的图象向右平移个单位，可得，又由函数的图象向左平移个单位，可得，因为函数关于原点对称，可得，解得，即又因为的图象关于轴对称，可得，解得，则，即，因为，可得.故选：D.7．八角星纹是一种有八个向外突出的锐角的几何纹样（如图1），它由八个均等的向外伸展的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角，，如图3所示，则（    ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根据图形的结构特征求出，，然后利用两角和的正切公式求解即可．【详解】如图所示，连接BC，则中，，，，在中，，，，所以，又，所以. 故选：B．8．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先化简函数的解析式，再利用复合函数的值域，求实数的取值范围.【详解】，设，，函数的对称轴为且，，，因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.故选：C 二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数是奇函数B．函数的最小正周期是C．函数在上单调递增D．函数图象的对称中心是【答案】ACD【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断，对于B，利用周期公式判断，对于C，利用正切函数的性质分析判断，对于D，由分析判断.【详解】对于A，的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，的最小正周期为，所以B错误，对于C，由，得，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以C正确，对于D，由，得，所以图象的对称中心是，所以D正确，故选：ACD10．如图是函数的部分图像，若图象经过点，则=（    ）  A． B． C． D．【答案】BC【分析】将点的坐标代入中结合图象可求出的值，从而可求出【详解】因为的图象过点，所以，所以或，的周期为，当时，由图象可得，得，所以，所以，当时，由图象可得，得，所以，所以，所以，故选：BC11．如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）  A． B． C． D．【答案】BC【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解.【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误，将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确，由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.  故选：BC12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为B．的最小值为1C．的图像关于直线对称D．的图像与直线恰有2个公共点【答案】BCD【分析】根据诱导公式，计算的值，即可判断A；利用周期去掉绝对值，化简后求函数的最值，即可判断B；计算的值，即可判断C；画出函数与直线的图象，即可判断D.【详解】A.，所以函数的最小正周期不是，故A错误；B.由以上可知，是函数一个周期，设，，，所以函数的最小值为，故B正确；C.，所以函数关于对称，故C正确；D.如图，画出函数和的图象，当时，两个函数相交，设，，，所以在区间，存在一个零点，如图，没有其他的零点，所以的图像与直线恰有2个公共点，故D正确.  故选：BCD 三、填空题13．已知向量满足，则与的夹角为     .【答案】/【分析】根据，得到，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：因为向量满足，所以，则，所以，因为，所以，故答案为：14．若角A是三角形ABC的一个内角，且，则     .【答案】/【分析】由已知条件可判断角为锐角，然后利用同角三角函数的关系结合完全平方公式可求得结果.【详解】因为角A是三角形ABC的一个内角，且，所以角为锐角，所以，故答案为：15．在长方形中，，，点P为长方形内部的动点，且，当最小时，     .【答案】/【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，由可得点在以为圆心，1为半径的半圆上，由此可得当共线时，最小，从而可求出点的坐标，进而可求出.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，1为半径的半圆上，所以当共线时，最小，过作于，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：  16．已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是    .【答案】/【分析】根据题意可得，则将问题转化为关于的方程，在上存在唯一的实数，然后结合正弦函数的性质分析求解.【详解】由，得，则，所以，则，因为对任意的实数，都存在唯一的实数，使，所以关于的方程，在上存在唯一的实数，当时，该方程有一个解或无解，不合题意，当时，该方程有唯一的解，符合题意，当时，不符合题意，所以，所以实数的最大值是，故答案为：       四、解答题17．已知角终边上,  且，求的值．【答案】2或0【分析】首先根据正切函数的定义，求，再将关于的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.【详解】由于，故，解得.当时, ，当，18．在中，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，整理可得一元二次方程，结合三角形的几何性质，可得答案；（2）根据三角形的内角和，整理所求式子的函数关系，利用三角函数恒等变换化简函数关系，利用三角函数的性质，可得答案.【详解】（1），即，解得，又，所以.（2）在中，，且，则.，在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由题意得，结合即可得解；（2）由，求解即可.【详解】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在实数，使得．20．设函数（）的最大值为.(1)若是图象的一条对称轴，求的值；(2)若是图象的一个对称中心，求函数在上的单调递增区间.【答案】(1)(2)和 【分析】（1）利用辅助角公式对函数变形，则由函数的最大值为，再结合是图象的一条对称轴，可求出的值；（2）由是图象的一个对称中心，可求出的值，然后利用正弦函数的性质可求出函数的递增区间.【详解】（1）由, 所以的最大值为.  因为的最大值为，得，故. 当时，，则是图象的一条对称轴，所以符题意，当时，，则不是图象的一条对称轴，所以舍去，综上，，（2）由（1）可知当时，的图象关于对称，不合题意，当时，，，所以是图象的一个对称中心，满足题意. 由，得.所以的增区间为.所以函数在上的单调递增区间为和.21．已知函数(，).从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.条件①：；          条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；  条件④：图像的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数图像上各点横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，得到函数的图像，若，求；(3)若是函数的一个零点，求的最小值.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选择条件①④，；选择条件③④：(2)(3) 【分析】（1）分析条件后，可以选择①④或③④，再结合三角函数的性质，即可求函数的解析式；（2）首先根据三角函数图象变换求函数的解析式，得，再根据角的变换求的值；（3）根据零点的定义，求的集合，再求的最小值.【详解】（1）因为，不是函数的最值，所以函数不是偶函数，故不能选择条件②，选择条件①④： 因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以. . 因为，所以.故. 选择条件③④： 因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以. . 因为函数的最大值为1，所以. 故;选择条件①③条件③能确定，条件①，得，且，不能确定的值，所以也不能确定函数的解析式.（2）由已知，，即，所以．（3）因为是函数的一个零点，由，可得，即，即，可得或，即或，又因为，所以的最小值为.22．函数的部分图像如图所示.  (1)求的解析式；(2)若，恒成立，求的取值范围；(3)求实数和正整数，使得函数在上恰有2023个零点.【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可；（2）根据余弦型函数的单调性，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由图可得，函数过点，∴，∴，解得，又，∴，；（2）∵，∴，∴，令，则由题意得恒成立，由二次函数图像可知只需，，解得．所以的取值范围为；（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2023个交点．在上，，①当或时，的图像与直线在上无交点．②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，若此时的图像与直线在上恰有2023个交点，则．③当或时，的图像与直线在恰有2个交点，的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2023个交点．④当时，的图像与直线在恰有3个交点，此时，才能使的图像与直线在上有2023个交点．综上可得，当或时，；当时，．【点睛】关键点睛：根据余弦型函数的有界性分类讨论是解题的关键.