2022-2023学年广东省肇庆市封开县广信中学高一下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省肇庆市封开县广信中学高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．复数的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据共轭复数的概念，即可得出答案.

【详解】根据共轭复数的概念，可知复数的共轭复数为.

故选：C.

2．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（    ）

A．3 B．2 C．5 D．9

【答案】D

【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.

【详解】，解得：

故选：D

3．为了得到函数 y＝sin的图象，只需把函数 y＝sin的图象（    ）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据图像左右平移对解析式的影响即可作答.

【详解】将 y＝sin的图象向右平移个单位长度得到y＝sin ＝sin的图象，故选：D．

4．如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可求出斜二测图形的面积，再结合原图的面积与斜二测图形面积的关系即可求解.

【详解】原图的面积是斜二测图形面积的倍．该四边形的斜二测图形面积为，故原图面积为．

【点睛】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：．

5．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】由面面垂直的判定定理可判定A正确；根据，则直线和平行或异面，可判定B错误的；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据面面垂直的性质定理，可判定D正确.

【详解】由题意，是两个不同的平面，是两条不同的直线，

因为，，所以，又，所以.故选项A正确；

因为，所以直线和平行或异面.故选项B错误；

因为，，所以，又，所以.故选项C正确；

因为，所以由面面垂直的性质定理，可得.

故选项D正确.

故选：B.

6．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可

【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，

所以

,

故选：A

7．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，据说阿基米德对这个图最引以为自豪，则该圆柱的体积与球的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可

【详解】由题意,圆柱底面半径等于球的半径,

圆柱的高,则,

故选：C.

8．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.

【详解】依题意，由正弦定理得，所以，

由于三角形是锐角三角形，所以.

由.

所以

，

由于，所以，

所以.

故选：B

【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，属于基础题.

二、多选题

9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（    ）

A． B．

C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限

【答案】BD

【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.

【详解】因为复数满足，

所以

所以，故A错误；

 ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误；

复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

10．已知向量，其中，下列说法正确的是（    ）

A．若，则；

B．若与夹角为锐角，则；

C．若，则在方向上投影向量为；

D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据向量垂直的坐标表示直接求解可判断A；注意向量同向不满足题意可判断B；根据投影向量的定义直接求解，可判断C；根据性质可知与同向，然后可判断D.

【详解】若，则，解得，A正确；

若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；

若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；

若，则与同向，由上可知，此时，D正确.

故选：ACD

11．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（    ）

A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B．骑车时间的众数的估计值是21分钟

C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟

D．坐公交车时间的方差估计值大于骑车时间的方差的估计值

【答案】BCD

【详解】对于A，骑车时间在，的频率为，

骑车时间在，的频率为，

骑车时间的中位数的估计值是分钟，故A错误；

对于B，骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；

对于C，坐公交车时间在的频率为，

坐公交车时间的40%分位数的估计值是，故C正确；

对于D，坐公交车时间的平均数的估计值为：

，

方差

骑车时间的平均数的估计值为：

，

方差

故坐公交车时间的方差估计值大于骑车时间的方差的估计值，故D正确．

故选：BCD．

12．如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（    ）

A．点与点到平面的距离相等

B．直线与直线垂直

C．三棱锥的体积为18

D．平面截三棱锥所得的截面面积为12

【答案】AD

【分析】证明面，点与点到平面的距离相等，再由点与点到平面的距离相等可判断A；证明平面，假设，则平面，而过点有且只有一条直线与平面垂直可判断B；计算三棱锥的体积可判断C；取的中点，连接，，计算截面四边形的面积可判断D，进而可得正确选项.

【详解】

对于A：因为、分别为棱、的中点，所以，因为面，面，所以面，所以点与点到平面的距离相等，因为是线段的中点，所以点与点到平面的距离相等，所以点与点到平面的距离相等，故选项A正确；

对于B：因为平面，面，所以，因为，即，，所以平面，因为、分别为棱、的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为

平面，面，所以，因为，所以平面，因为面，所以，假设，，则平面，而过点有且只有一条直线与平面垂直，假设不成立，所以直线与直线不垂直，故选项B不正确；

对于C：因为、分别为棱、的中点，所以，且，因为平面，所以平面，因为为的中点，，所以

，所以，

故选项C不正确.

对于D：取的中点，连接，，则四边形即为所求截面.因为分别为，的中点，所以且，同理可得且，所以且，，所以四边形为矩形，，所以截面面积为，

故选项D正确；

故选：AD.

三、填空题

13．已知平面向量，，若，则实数        ．

【答案】

【分析】根据向量平行的坐标表示，求解即可.

【详解】由题知，因，

则，解得.

故答案为：

14．已知函数,则的最小正周期是        ．

【答案】

【分析】利用三角恒等变换对函数进行化简，结合正弦函数的周期性即可求解.

【详解】解：因为，

所以的最小正周期是

故答案为：.

15．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为      ．

【答案】20

【分析】这是解三角形的应用问题，利用正弦定理解三角形即可.

【详解】在中，，，

所以，又，

在中，由正弦定理有：

，解得BC=

在直角中，因为，所以

.  

故答案为：20.

16．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是          ．

【答案】

【分析】由题意结合正弦定理及三角恒等变换即可得解.

【详解】由题意，b不为最大边，也不为最小边，不妨设a为最大边，c为最小边，

由题意有，即，

整理得，.

故答案为:

四、解答题

17．已知复数，，为虚数单位.

(1)求及；

(2)若，求的共轭复数.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据复数的运算法则即可求出，结合共轭复数的概念和复数的几何意义计算即可求解；

（2）根据复数的乘、除法运算可得，结合共轭复数的概念即可求解.

【详解】（1），，，

，

．

（2）由，

所以.

18． 已知，，．求：

(1)与的夹角．

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把展开，代入已知数据，结合数量积的公式求出夹角的余弦公式，即可得夹角；

（2）由，利用向量数量积计算.

【详解】（1），，，

，即，

．

又的取值范围为， ．

（2）

可得．

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求B；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理边化角，将化为，再根据三角形的内角关系结合两角和的正弦公式即可得解；

（2）由，，利用正弦定理求得变，结合三角形的面积公式即可得解.

【详解】解：（1）∵，

由正弦定理得，，.

∴，

∴，.

∴，而，

∴，∴，

又，∴；.

（2），.

.

由正弦定理得，

，.

∴.

20．如图，中，，是边长为1的正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：面；

（3）求和面所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）连接，证明，利用线面平行的判定定理即可求证；

（2）由勾股定理证明，由面面垂直证明平面，可得，由线面垂直的判定定理即可求证；

（3）由（2）知即为和面所成角，在中求即可求解.

【详解】

（1）连接，因为四边形为正方形，是的中点，

可知是的中点，

因为是的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

（2）在中，设，则，

所以，所以，

因为平面平面，平面平面，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，所以面，

（3）因为面，所以即为和面所成角，

在中，，，，

所以，所以，

所以和面所成角的.

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可证明平面平面；

（2）根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解．

【详解】（1）证明：由题意，，

，

平面平面，平面，平面平面，

平面，

又平面，

平面平面；

（2）解：设的中点为，连接，

，所以是等腰三角形，

，即是梯形底边上的高，，

由题意知，，所以，

是的中点，到底面的距离为，

四棱锥的体积为；

综上，四棱锥的体积为．

22．某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数．

(2)求月平均用水量的中位数及平均数；

(3)在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？

【答案】(1)x=0.075；众数为

(2)中位数为6.4；平均数为

(3)4(户)

【分析】（1）根据频率和为1，即可求，根据最高矩形数据的中点求众数；

（2）根据频率分布直方图求平均数和中位数；

（3）按照这一组所占比例，计算抽取的户数.

【详解】（1）根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，

解得x=0.075；由图可知，最高矩形的数据组为[6，8)，所以众数为；

（2）[2，6)内的频率之和为

(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；

设中位数为y，则0.45+(y−6)×0.125=0.5，

解得y=6.4，∴中位数为6.4；

平均数为

（3）月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为

，

∴月平均用电量在的用户中应抽取22×=4(户)．