2022-2023学年云南省红河州开远市第一中学校高一下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省红河州开远市第一中学校高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．

【详解】因为集合，，

则，

故选：D．

2．设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数z，然后由模的公式求解.

【详解】因为，

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．已知角终边经过点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得的值.

【详解】因为角终边经过点，且，

所以，所以，所以点的坐标为，

所以.

故选: A

4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可

【详解】由题意，因为，，

由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为

故选：C

5．三个数 之间的大小关系是（    ）

A．. B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.

【详解】解：，则，

，则，

，则，所以.

故选：B.

6．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.

【详解】,

即，得.

故选：D.

7．定义在R上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式整理为，解不等式即可.

【详解】因为为R上的偶函数，且在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以不等式可整理为，解得或.

故选：B.

8．设四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设易知、、两两垂直，则是外接圆的直径，根据四面体外接球半径与外接圆的半径、的几何关系，求，进而求球的表面积.

【详解】由题设知：、、两两垂直，

∴是外接圆的直径为，又，

∴四面体外接球的半径.

∴球的表面积为.

故选：C

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若 与的夹角为，则t＝0或

D．若与的夹角为锐角，则

【答案】BCD

【分析】选项A.根据向量平行的条件可判断；选项B.根据向量数量积为0，可判断；  选项C. 由向量的夹角公式可求解判断； 选项D. 当与的的夹角为锐角时，有，且不共线，可判断.

【详解】由，得，故A正确；

由，得，故B错误；

当与的夹角为时．，方程无解，故C错误；

当与的夹角为锐角时，有，且不共线，则解得且，故D错误.

故选：BCD．

10．下列命题中正确的是（    ）

A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内

B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交

C．若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面

D．若平面平面，直线，直线，则

【答案】AC

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析即可．

【详解】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故A正确；

对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相交或在平面内，故B错误；

对于C：若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，故C正确；

对于D： 若平面平面，直线，则平面，又直线，则直线或与异面，故D错误．

故选：AC

11．下列命题为真命题的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据不等式性质逐一判断命题真假即可.

【详解】对于选项A：因为，显然，由不等式可知，，故A正确；

对于选项B：因为，由不等式性质可知，，故B正确；

对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C错误；

对于选项D：因为，由不等式性质可知，，故D错误.

故选：AB.

12．下列说法不正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．已知：，：，则是的充分不必要条件

C．若，则函数的最小值为2

D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】求出不等式的解集判断A；根据充分条件，必要条件的概念判断B，基本不等式判断C，反例判断D.

【详解】对于A，不等式的解集为，所以A不正确；

对于B，：，即，：，：，则是的充分不必要条件，所以B正确；

对于C，若，则函数，当且仅当时取等号，显然不正确，所以C不正确；

对于D，当时，时，不等式恒成立，所以命题D中的取值范围是，不正确，所以D不正确；

故选：ACD．

三、填空题

13．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为        ．

【答案】36

【分析】根据斜二测画法直观图可得原图形的高及底边长，即可求出原图形面积.

【详解】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，如图，

则易得O′D′＝，所以原平面图形为一边长为6，高为的平行四边形，

所以其面积为6×6＝36.

故答案为：36

14．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为       

【答案】

【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由求得半径，再由弧长公式求解.

【详解】设弧长为l，半径为r，弧度为，

因为扇形的面积为2，

所以，

又因为扇形圆心角的弧度数是2，

所以，

所以扇形的弧长为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为     .

【答案】

【分析】设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，解出的取值范围.

【详解】因为在上，不妨设，则（其中），所以

.

因为，所以，

故答案为：.

16．已知函数，存在实数满足，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】作出函数的图象，结合图像与题中条件，分析出，，从而可得出结果．

【详解】由函数，作出函数的图象；

因为存在实数满足，

由图像可得：，解得；，

由得，所以，因此，

所以．

故答案为

【点睛】本题考查分段函数的性质，对数的运算，数形结合的方法的运用，熟记对数函数的图像与性质即可，属于常考题型．

四、解答题

17．在锐角中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；

（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长.

【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，

因为，所以，又因为，所以；

（2）因为，所以，

又及余弦定理得，，所以，

则，所以，即的周长为.

18．如图，在直角梯形ABCD中，，，，．将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周．

(1)画出旋转后形成的几何体的直观图，并说明该几何体是由哪些简单几何体组成；

(2)求旋转形成的几何体的体积．

【答案】(1)答案见解析，几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成

(2)

【分析】（1）根据旋转分式，得到该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成求解；

（2）由（1）的结论，利用锥体和柱体的体积公式求解.

【详解】（1）解：旋转形成的几何体直观图如图所示，

该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成；

（2）因为圆锥的底面半径为1，高为1，

圆柱的底面半径为1，高为1，

所以旋转形成的几何体的体积为：

．

19．设是不共线的两个非零向量.

(1)若与共线，求实数的值；

(2)若. 求的值.

【答案】(1)±4

(2)

【分析】（1）把 ， 作为基底，用向量共线的法则运算即可；

（2）有所给的条件计算出 ，再用向量求模的方法即可.

【详解】（1） 与 共线， 与 是一组不共线的非零向量，

因此可以把 ，看做一组基底，根据向量共线法则，

则存在实数 ，使得 ，

即 ，   ，解得   ；

（2）由 ，得 ，

，代入上式解得 ，

；

综上， ， .

20．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;

（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）见证明；(2)见解析

【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；

（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明.

【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点

故

∵面

∴面

（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点  

理由如下：由点分别为中点可得：

∵面

∴面

由（1）可知，面

且

故面面

【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．

21．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）

（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．

【答案】（1）；（2）万台时最大利润为万元.

【分析】（1）由题意有，即可写出利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式.

（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.

【详解】（1）由题意知：，

∴.

（2）由（1）知：，

∴时，单调递增，则；

时，，当且仅当时等号成立.

综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.

22．已知函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的单调区间；

（Ⅲ）若对任意都有，求实数m的取值范围.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅲ）；

【解析】(Ⅰ)根据三角函数的部分图象求出､和的值;

(Ⅱ)由(Ⅰ)写出函数的解析式,再求函数在,上的单调递增区间和单调递减区间;

(Ⅲ)由(Ⅱ)求出函数在,的最大值和最小值,得出的最大值,从而求得的取值范围.

【详解】(Ⅰ)设函数的最小正周期为,

由图可知,,所以,

又,,所以;

又,所以,

因为,所以,

所以,即;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,

因为当时,,

所以当,即时,单调递增;

当,即时,单调递减;

当,即时,单调递增.

所以函数单调递增区间为和,单调递减区间为;

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数在的最大值为,最小值为,

所以对任意,都有,

且当,时,取到最大值,

又因为对任意,都有成立,

所以,即的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用问题,也考查了运算求解能力,属于中档题.