2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．设复数，则（    ）A． B． C．3 D．5【答案】A【分析】求得后再求模长即可.【详解】，故.故选：A2．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°【答案】A【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．故选：A3．已知向量，，，若，则实数m的值是（    ）A．－10 B．－8 C．10 D．8【答案】A【分析】利用向量的坐标运算即可.【详解】；故选：A.4．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解.【详解】,①,又②，由①②得.故选：D.5．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC为菱形,直接得到向量在向量上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC的外接圆圆心为O，，，所以,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形，所以.所以向量在向量上的投影向量为.故选：B6．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则，因为，可得，因为且函数在附近单调递增，故，所以，，将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，则，因为函数的图象关于原点对称，则，解得，当时，，故选：B.7．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，所以，，则为锐角，所以，，因此，.故选：B.8．已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用图形结合向量的几何意义求出最小值作答.【详解】依题意，作，使，如图，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，于是为点与直线上的点的距离，过作线段于，所以.故选：C 二、多选题9．已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（    ）A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为【答案】BCD【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，正四棱台的高，A错误；对于B，正四棱台的斜高，B正确；对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，正四棱台的表面积，C正确；对于D，正四棱台的体积，D正确.故选：BCD.10．如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）    A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点【答案】BD【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A错误；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；对于C，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；对于D，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.故选：BD.11．下列说法中正确的为（    ）A．若，则B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数取值范围为D．非零向量和满足，则与的夹角为【答案】ABD【分析】对于A，根据数量积的定义分析判断，对于B，由基底的定义分析判断，对于C，由且与不共线可求得取值范围，对于D，设，平方化简可求出，然后利用向量的夹角公式可求得结果.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确，对于C，因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，由，得，得，由与共线，得，得，所以当且时，与的夹角为锐角，所以C错误，对于D，因为非零向量和满足，所以设，所以，得，所以，设与的夹角为，则，因为，所以，所以与的夹角为，所以D正确.故选：ABD12．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．若，则D．若，则的最小值为【答案】ACD【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.【详解】设，则，三式联立解得，对于A，，A正确；对于B，，则，B错误；对于C，若，则，则，即，即，则，，C正确；对于D，若，则，取中点，连接，则，显然当时，最小，此时，则，则的最小值为，D正确.故选：ACD. 三、填空题13．写出一个同时满足下列两个性质的函数：          .①为偶函数；    ②在上的最大值为2.【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知条件可结合基本函数的性质可求得答案【详解】因为为偶函数，在上的最大值为2，所以满足条件，故答案为：（答案不唯一）14．中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则           .【答案】【分析】根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】根据三角形面积公式得，解得，根据余弦定理得，解得.故答案为：.15．如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为          .【答案】【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解.【详解】在直角中，可得，所以，因为中，，所以，由正弦定理，可得，在直角中，因为，可得.故答案为：300m 16．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为      .【答案】【分析】画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.【详解】如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为故答案为：. 四、解答题17．已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．(1)求复数z；(2)求的模．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.【详解】（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数.（2）由（1）可知复数，则，所以的模为.18．已知(1)求的值(2)求的值【答案】(1)(2) 【分析】(1)由求出，最后利用两角和的正切公式求出结果.(2)方法一：利用诱导公式和平方关系得到，求出结果；方法二：利用平方关系求出，，再利用诱导公式求出结果.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）方法一：.方法二：因为，所以，所以.19．已知.(1)将表示成的形式；(2)求在上的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简变形即可，（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其最大值.【详解】（1）（2），得，所以，所以，所以，所以，所以在上的最大值为20．已知的内角的对边分别为，且(1)求角；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.【详解】（1）已知，由正弦定理得，，显然，所以有，得，因为角为内角，所以.（2）由正弦定理可知，由（1）可知，因为，由余弦定理可得，，所以有，，解得，.21．如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可知，即可求解；（2），从而即可求解.【详解】（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2). 【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可.（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.【详解】（1）∵，∴，∴由余弦定理得：，即：，由正弦定理得：，∴，整理得：，即：，又∵，∴，即：.（2）∵，∴，又∵，，，∴由正弦定理得：，又∵，∴，令，则，，∵对称轴为，∴在上单调递增，当时，；当时，，∴，即：的范围为.