2022-2023学年福建省德化第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省德化第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省德化第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知向量，，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据平面向量减法的坐标运算和模长公式可求出结果.【详解】因为向量，，所以，所以.故选：D．2．等于（　）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】由题得原式=，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=.故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．在△ABC中，，则边AC上的高为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD＝x，则CD＝4﹣x，利用勾股定理可知和中分别用勾股定理求，建立方程求解的值，再利用勾股定理求得BD.【详解】由点B向AC作垂线，交点为D.设AD＝x，则CD＝4﹣x，∴，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形中勾股定理的应用.属基础题.4．在中，，则k的值是（    ）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先写出，再利用向量垂直得到，解出即可.【详解】，， ，解得，故选：A.5．在平行四边形中，下列结论错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.【详解】如图，易知A正确；根据平行四边形法则，B正确；，C错误；，D正确.故选：C.6．（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦差的公式进行合并即可．【详解】．故选D【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算．7．函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（    ）A．是增函数 B．是减函数C．可以取到最大值 D．可以取到最小值【答案】C【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，，而函数在区间上先增后减，所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D. 二、多选题9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ）A．函数的最小正周期为πB．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象【答案】CD【分析】A选项，由图象求出，A错误；BC选项，根据图象求出，进而代入验证得到的图象关于直线对称，B正确，C错误；D选项，根据左加右减求出平移后的解析式，D错误.【详解】A选项，由图象得，，解得，A正确；BC选项，因为，所以，故，将代入解析式得，故，解得，因为，故只有满足要求，故，当时，，故函数的图象关于直线对称，B正确，C错误；D选项，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数，故D错误.故选：CD10．下列论述中，正确的有（    ）A．正切函数的定义域为B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角C．第一象限的角一定是锐角D．圆心角为且半径为2的扇形面积是【答案】BD【分析】根据正切函数的定义判断A，根据象限角的定义判断B，C，根据扇形面积公式判断D.【详解】对于A：正切函数的定义域为，故A错误；对于B：若是第一象限角，则，可得，所以表示第一或第三象限角，故B正确；对于C：是第一象限角，但不是锐角，故C错误；对于D：圆心角为且半径为2的扇形面积，故D正确．故选：BD．11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）A．是的充要条件B．若，则P是的垂心C．若面积为S，，则D．【答案】ABC【分析】A.根据三角形的性质和正弦定理判断；B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；C.根据三角形面积公式，和余弦定理求解；D.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.【详解】A.，再根据正弦定理，，所以是的充要条件，故A正确；B. ，所以，同理，，所以P是的垂心，故B正确；C.由条件可知，，即，所以，所以，，所以 ，故C正确；D. ，故D错误.故选：ABC12．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形内接于扇形，记．则下列说法正确的是（    ）A．弧PQ的长为B．扇形OPQ的面积为C．当时，矩形的面积为D．矩形的面积的最大值为【答案】ACD【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求出矩形的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角，故弧PQ的长为，A正确；扇形OPQ的面积为，B错误；在中，，在中，,则的面积 ，当时，又，故，则，则，则，即矩形的面积为，C正确；由C的分析可知矩形的面积，当，即时，矩形的面积取最大值，D正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边的长，从而表示出矩形的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误. 三、填空题13．试写出一个满足下列条件的函数解析式           .①以为最小正周期；②以为一根对称轴；③值域为【答案】（答案不唯一）【分析】结合三个条件，对余弦函数进行变形得到，满足题意.【详解】，满足三个条件，符合题意.故答案为：14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          m. 【答案】【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.【解析】正弦定理及运用． 15．已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为          ．【答案】【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解作答.【详解】向量，，则，与同向的单位向量为，所以在上的投影向量为.故答案为：16．定义平面向量的一种运算，，其中，是与的夹角，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是        .【答案】①③【解析】根据已知中的新定义，，，其中，是与的夹角，结合平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，逐一判断四个命题的真假可得答案．【详解】，，其中，是与的夹角，若，，则，，则，故正确；②，则，夹角为，则，故错误；③若，则，故正确；④若，，则，，， 则，，故错误；故真命题的序号为：①③故答案为：①③【点睛】本题以向量运算的新定义为载体，考查平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，难度为中档． 四、解答题17．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求【答案】（Ⅰ）函数f(x)的最大值为,最小正周期.（Ⅱ）【详解】试题分析：(1)首先将函数化简为＝，根据三角函数的性质即得.函数的最大值为，最小正周期为.(2)由，得到，应用诱导公式及两角和的正弦公式，解得(1)＝，所以函数的最大值为，最小正周期为.(2)，所以，因为C为锐角，所以，在中，，所以，所以，【解析】三角函数诱导公式，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质. 18．已知 ​三个顶点的直角坐标分别为,,..(1)若​，求​的值;(2)若 ​，求​的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示可求得；（2）由数量积夹角的坐标表示求得，再求得．【详解】（1）由 ,,,得到​，则​，解得；（2）当 ​时，．则，，同理，，，因此为锐角，所以．19．在中，已知内角，边.设内角，周长为.（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．【答案】（1），（2）最大值.【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化到最简；（2）由（1），根据的范围求得的范围，由此求得的最大值.【详解】（1）因为，且，所以，由，得，即.由正弦定理得：，所以，所以，所以.（2）由（1）得，因为，所以，所以当时，取得最大值为.【点睛】该题考查的是有关三角函数以及解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，两角差的正弦函数公式，辅助角公式化简函数解析式，求三角函数的最值，属于简单题目.20．的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.【解析】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 21．已知函数.（1）求的最小正周期及在区间上的最大值（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.【答案】（1）最小正周期为，最大值；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.【详解】（1），所以的最小正周期为.因为，所以于是，当，即时，取得最大值（2）在中，，，，.由正弦定理，，，，，.22．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；(3)存在，. 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R，，即，成立，所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.（2）因，是上的P级周期函数，则，即，而当时，，当时，，，当时，，则，当时，，则，……当时，，则，并且有：当时，，当时，，当时，，……，当时，，因是上的严格增函数，则有，解得，所以当时，，且.（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，即，恒有成立，则，恒有成立，即，恒有成立，当时，，则，，于是得，，要使恒成立，则有，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，此时恒成立，则，即，当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，所以存在，符合题意，其中满足.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.