2022-2023学年广东省深圳科学高中高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省深圳科学高中高一下学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳科学高中高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：D2．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法计算即可求解.【详解】所以，所以，故选：B.3．底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据圆锥的侧面积和底面积的关系列方程，从而求得母线长.【详解】设圆锥的母线长为，依题意，圆锥的底面半径，则.故选：C4．已知，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，然后根据对数函数、基本不等式等知识确定正确答案.【详解】依题意，，，，则，A选项错误.，B选项正确.，即，D选项错误.，C选项错误.故选：B5．已知函数，则（    ）A． B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，可得答案.【详解】由题意可知：，，.故选：A.6．已知，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【详解】依题意在上的投影向量为.故选：A.7．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围.【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，整理得，令，则，解得或.故选：A8．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个值的区间可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简题目所给不等式，结合三角恒等变换以及三角不等式等知识确定正确答案.【详解】由于是偶函数且在上单调递增，且，所以，则，所以，，时，，所以符合题意的区间为，D选项正确，其它选项不符合题意.故选：D【点睛】函数的奇偶性和单调性中，如果函数是偶函数，则函数在轴两侧对应区间上的单调性相反，如果函数是奇函数，则函数在轴两侧对应区间上的单调性相同.解三角不等式可以考虑整体代入法来进行求解. 二、多选题9．关于平面向量，下列说法不正确的是（    ）A．若，则B．C．若，则D．【答案】ACD【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.【详解】对于A，若，则不一定有，A错误；对于B，根据分配律即可得到，B正确；对于C，若，则可能，那么，C错误；对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.故选：ACD10．将正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，从而得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期是B．若为奇函数，则的一个可取值是C．的一条对称轴可以是直线D．在上的最大值是1【答案】AC【分析】根据三角恒等变换的知识求得，由三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值等知识确定正确答案.【详解】图象上所有的点向右平移个单位长度得到，把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到.的最小正周期是，A选项正确.不是奇函数，B选项错误.，所以的一条对称轴可以是直线，C选项正确.，所以在上的最大值是，D选项错误.故选：AC11．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线平面B．存在点，使得直线与所成角为30°C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于直线【答案】ACD【分析】对于A，由正方体的性质可证得平面，则，同理，从而由线面垂直的性质可得结论，对于B，当点在点时，可求出直线与所成角为直角，当点在点处时，可求得直线与所成角为，从而可进行判断，对于C，可证得∥平面，从而可进行判断，对于D，利用线面平行的性质分析判断.【详解】对于A，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，平面，所以平面，所以A正确，对于B，当点在点时，因为平面，平面，所以直线与所成的角为直角，当点在点处时，因为∥，所以是直线与所成的角，此时， 当点不与或重合时，延长到，使，连接，过作于点，连接，因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为∥，所以∥，所以为直线与所成的角，设正方体的棱长为1，，则，所以，，所以，因为，所以，所以，，所以，综上，直线与所成角的范围为，所以不存在点，使得直线与所成角为30°，所以B错误，  对于C，因为∥，平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确，对于D，设平面与平面交于直线，因为∥平面，平面，所以∥，因为∥，所以∥，即平面与底面的交线平行于直线，所以D正确，故选：ACD  【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查异面直线所成的角，考查棱锥的体积，考查面面平行性质的应用，解题的关键是运用正方体的性质结合已知条件分析判断，考查空间想象能力，属于中档题.12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．当时，函数有两个不同的零点B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点C．函数的图象关于直线对称D．若函数有四个不同的零点，则【答案】AD【分析】对于选项A，当时，作出函数和的图象，利用数形结合进行判断即可；对于选项B，利用当时，即可得出判断；对于选项C，函数的定义域为，关于直线不对称，从而得出判断；对于选项D，利用函数与方程的关系，转化为当时，函数有两个不同的零点，构造函数，利用导数研究函数的极值进行求解即可.【详解】函数的定义域为，定义域关于直线不对称，所以函数的图象不可能关于直线对称，故选项C错误；当时，对任意实数都有，即函数的图象与轴有交点，故选项B错误；对于选项A，由得.设，当且时，；当时，，作出函数的图象如图所示.设，当时，，作出函数的图象如图所示.由图象知，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，即函数有两个不同的零点，故选项A正确；  对于选项D，由上述分析知，当时，函数的图象与函数的图象不可能有4个交点，故不满足函数有四个不同的零点.当时，如图所示，当时，函数的图象与函数的图象没有交点，当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，故要使函数有四个不同的零点，只需要满足当时，函数有2个不同的零点.  当时，，得.令，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，故当时，函数取得极大值，极大值为；当趋向于时，趋向于；当趋向于2时，趋向于，故当时，与在上有两个不同的交点.综上所述，要使函数有四个不同的零点，则，故选项D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查函数的零点个数，解决策略是利用函数与方程思想，将原函数转化为两个简单函数，通过考查两个简单函数的图象的交点个数问题进行解决. 三、填空题13．已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为      .【答案】【分析】根据幂函数的定义以及单调性，建立方程与不等式，可得答案.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.14．已知直线与函数，的图象交点的横坐标分别为，，则      .【答案】【分析】根据函数图象对称性求得正确答案.【详解】由得；由得；画出的图象如下图所示，与的图象关于直线对称，由解得，所以.故答案为：  15．已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为          ．【答案】【分析】取中点，过点作交于，说明为三棱锥外接球球心，再根据基本不等式和体积公式得，进而得其外接球半径即可得答案.【详解】解：如图，取中点，过点作交于，则，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，即为三棱锥外接球球心，为球的半径，因为，所以，，因为，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立所以，球的半径，所以，，所以三棱锥外接球体积的最小值为故答案为：16．在等腰中，底边，底角的内角平分线交于，则的取值范围是      .【答案】【分析】根据等腰三角形底角角平分线的性质，结合正弦定理，建立方程，利用三角形三边关系，建立不等式，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：  底角的角平分线交于点，，在中，由正弦定理可得，则，同理，在中，，在中，，化简可得：，，则，，设，，则，解得，在中，根据三角形的三边关系有，，，，，，且有，的取值范围为.故答案为：. 四、解答题17．已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【详解】（1），，解得：或，当时，，；当时，，；综上所述：或10（2）若共线，则，解得：或，当时，，，此时同向；当时，，，此时反向；若与的夹角为锐角，则，解得：且，的取值范围为.18．设函数，.(1)求函数的单调递增区间，并写出对称轴；(2)设为锐角，若，求的值.【答案】(1)单调递增区间是；对称轴是.(2) 【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间以及对称轴.（2）根据三角恒等变换的知识求得的值.【详解】（1），由，解得，所以的单调递增区间是.由，解得，所以的对称轴是.（2）依题意，，所以，，所以.19．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本万元.(1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；(2)当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？【答案】(1)；(2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；（2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得，，又因为，所以，所以该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系为（2）化简，因为，所以，由基本不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，所以，当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元.20．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.【详解】（1）依题意，，由余弦定理得，整理得，由于三角形是锐角三角形，所以，则.（2）由，得，，当且仅当时等号成立，则，所以，由于为锐角，所以，此时，所以三角形是等边三角形，所以.21．刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广。刍，草也。甍，屋盖也。求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶。……”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.(1)求证：；(2)若已知，求该五面体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用线面平行的性质定理即得；（2）过点作，作，过点作，作，利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得.【详解】（1）五面体中，因为平面，平面，平面平面，所以.（2）过点作，作，垂足分别为，，过点作，作，垂足分别为，，连接，，如图，取中点，连接，由知，，因为，，且，是平面内两相交直线，所以平面，因为平面，所以，又，是平面内两相交直线，所以平面，在中，，，可得，所以，四棱锥和的体积均为，三棱柱的体积，所以，该五面体的体积为.22．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.(1)若，，求函数与的“偏差”；(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.【答案】(1)；(2)时，函数与的“偏差”取得最小值为 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差；（2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”.【详解】（1），因为，所以，则，所以函数与的“偏差”为.（2）令，，因为，所以，，当，即时，此时，则的“偏差”为，此时， 当，即时，此时，则“偏差”为，此时，无最小值， 当，，且，即时，则“偏差”为，此时，无最小值， 当，，且，即时，则的“偏差”为，此时，无最小值，当，，且，即时，则的“偏差”为，此时，当，，即时，则的“偏差”为，此时，无最小值，当，，即时，则的“偏差”为，此时，综上， 时，函数与的“偏差”取得最小值为.【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，解决此类问题，一般需要结合函数的性质进行分类讨论.