初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定教案

第27章   相似

27.2 相似三角形的判定（二）

第3课时

一.教学目标

 1. 知识与技能：

掌握三角形相似的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两对应边的比相等，且相应的夹角也相等，两个三角形相似．

  2.过程与方法：

感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．

  3.情感态度与价值观：

培养学生严谨的数学思维习惯.

二.教学重点，难点

  1. 教学重点： 对相似三角形的判定“三边法”及“两边及其夹角法”的理解与掌握.

  2. 教学难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．

三．教学方法

问题引入——新知讲授——巩固总结——练习提高

四．教学用具

课件，三角板。

五．教学过程

  1. 问题引入

 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

推进新课

（板书课题：相似三角形的判定）

  6.2 新知探究

问题1   在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

师：请同学们将准备好的方格纸上，任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，然后度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？（学生画图，度量角度）

生：相等.（让k值不同的同学展示）

师：那么，这两个三角形相似吗？

生：相似.

师：从而我们得出一个命题：如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.下面我们一起证明这个命题正确性.

板书

证明:在△A´B´C´的边A´B´(或延长线)上截取A/D=AB,

过点D作DE∥B´C´交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ .

∴△A/DE≌△ABC（SSS),

∴△ABC∽△ A/B/C/

最后师生共同归纳总结：

（板书/课件）

判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

可以简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．

师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：我们可以利用它证明已知两个三角形的三边长的两个三角形是否相似.接下来，我们利用判定定理1探究一下问题2.

问题2   下面两个三角形是否相似？为什么？

师：（指图）这两个三角形三边长已知，我们很容易计算出三边的比，看是否相等来判断是否相似，那么谁比谁合适呢？即找出对应边.（稍停）

生：AB与DE、BC与EF、AC与DF.

师：其实是最短边与最短边，最长边与最长边．谁能说一下过程？

生：……

（板书/课件）

解：　△ABC∽△DEF

理由：∵　， ， ，

∴　，

∴　△ABC∽△DEF

问题3    利用刻度尺和量角器画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，（1）量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？

（2）另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？

（3）△ABC与△ A´B´C有什么关系?

师：请同学们将准备好的方格纸上，任意画一个三角形，再画一个三角形，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？（学生独立操作并判断，教师巡视指导）

学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B′C′的比都等于k，另外两组对应角∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.所以△ABC∽△A′B′C′.

最后师生共同归纳总结：

结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：接下来我们一起研究问题4，证明刚才结论正确性.

问题4  如图，在△ABC和△A′B′C′中，＝，∠A＝∠A′，你能否证明△ABC∽△A′B′C′，若能，试说明理由．

在△ABC的边AB上，截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC，再由边成比例，得出△ADE和△A′B′C′全等，即可得出△ABC∽△A′B′C′.

教师引出辅助线后，让学生小组交流、讨论，试着进行证明．

证明后，师生共同归纳两个三角形相似的判定方法：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单地说：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

问题5   对于△ABC与△A1B1C1，如果=，∠B＝∠B，这两个三角形相似吗？试着画画看．(让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例)

强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似

6.3   典例剖析

例1   根据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由.

（1）　AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm；

（2）　∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．

解：（1）∵　，

，

，

∴　，

∴　△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．

（2）∵　，

，

∴　，

∵　∠A＝∠A′＝40°，

∴　△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．

（先让生尝试，然后师边讲解边板书）

例2   如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2=AC•AD．

求证：∴△ADB∽△ABC．

6.4   巩固提升

1.如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足　　　　条件时，有△ABC∽△AED．

2．如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？说明理由

3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

答案

1. =

2.解：△ABC∽△A′B′C′，

理由：∵　，

∴　△ABC∽△A′B′C′

3.（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴，

∵DF=DC，

∴，

∴，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴，

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10．

6.4 总结结课

   （一）学生总结

这节课学习了什么？你有什么收获？（小组说--组内总结--组间交流）

1．三角形相似的判定方法1：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

2.三角形相似的判定方法2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．

3．本课用到的数学思想方法：类比的方法，即类比三角形全等的判定方法．

（二）教师总结

今天，我们通过自己的努力，学会了这么多知识，老师真为你们骄傲！同时我们还发现很多数学知识都是相互联系、相互贯通的。我们在学习时要做到举一反三，运用旧知识来学到更多的新知识。

７ 作业布置

课本：习题27.2    1、2（1）、3

８　板书设计

　　　　　　　　　　　　　　　　相似三角形的判定

一、判定定理1：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．

二、判定定理2：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

简单地说：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

三、典例剖析

例1                            例2